Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 14
Текст из файла (страница 14)
l 1 Ь I и N j е е N 1з а д а ч y l l o с т P o е н и яу р а в н e н и й ] ' 1 в и ) к e r r и яи.N 1 e ю Л l и xр e ш с I 1 и я с l l а l l е p е д з a д а I ] I l ь | ] v I и. ' L . t : o r r в1,l(r сosпepвoй паpЬI ypавнений мaксвеЛJrа (l4'68).(1 4 . 6 9 ), r r r r , r Q i s r l t * t' t '(14.67)(r4.69)divB:0..о"..,l )+ Щslll -,,t++;|q[,в.эЛскTриLlескиMиN1 вихPевыNlдейс1вyюUlая I|а частицy(1 4 . 6 5 ),:a1l87$ ! l Д u h a м u q " | к u е 1 с ] к о н о u е p | 1п'uлГaцва 1 /lвu1\tенuев ||еodнapoаньЦ сu,1oвых nфя\t !'rrtlal\lr,,l]n): .',,(1 4 . 6 6 )Здесь !)o : 2тr,o./1' /п р o с т р а н с т в e н r r ь l r iп е p и o д м а г н и .
Г i I o г oлoля B(z)' n,' = е|lз{J('lЕр e Л я т и в и с | с 1 ( а яц и к " 1 o т p о н н а яч аФоpлtулoй (14,66) пpсдстав!'lен :]аKoн дви)jtения :Jilектpoнав o l J , ' l y Л я т o р eB н а п p а в J r е l l и и .I r е p л е н д и к y л я p н о \ 1\ 1 а г н и т н Ь | Mп o" l я л t B ( ; ) . 8 6 ' в y с л o в и Я х P е " r l я , Г и в и с т L . к oцг oи к Л o т p o I ] н o г о р e з o н а н с а 5 г o п o p Л д к а ' к o f j l а в ь I п o J ' l н Я е т с pя а в e l l с т в o s Q 6 : i .
l . , . , П o .т е р и э н e p г и и н а и : ] Л у L l е н и e : J , 1 е к т р o нп2p и э т o N J н e v ч и т Ь | в а Л и с ь 'E:v..l,la._;,B: г 'tA(1 4 . 7 0 )o n р е л е Л я ю т с я I j o Л я ч е p е з п o т e н ц и а . ц ь Iс, Л е l 1 o в а т e J l Ь н oy. p а в l l е I | и ЯIloЛс и неoбxoдимЬlеЦ в и ) к е н и яч а с т и ц ь I в l l е p e м e я н o м м а г н и т I ] o N 1,qO, Ь l , . ч o , o - o | с Ч o n | ' ' ) , ,I i ] , o в ,г ь , | а ' l . | о в а | | и \ р r q , ' | r й" i I а г р а r r ж а 'l o t t o , , l н и т е J . ] ь | l oуес J l о в и e o б p а I I l е н и я t s н y Л ь э л е к т p и ч е с к o г o п o J | я в N 1 e с T ес а B / . ) t N l o ) { t н oy ч е с т Ь ' в o с п o J ' I Ь з o в а в ш и с ьнеojllIoз|lачн0с1ЬюфyнкIlии Лагpанxа частиllЬI в эЛсктpо]vIaгнит.I':",i|1(t,/с),f),r:9(т.t) i 10.'-'1^(т'(14.7i)8889зoкaнOлеpнaсnus !1 Дuнаuu1ес^uедoбaвипl с этoй цeлЬю к вЬlpажению(14'71) по'rную прoиз.водIlУюпo вpeNleнифyнкции (e/.)/(г,l), тaкoh' ,lтo ОJ f0t : c',э'УравнeнияЛагpан)каllpи этoM не изNleнятсяlа нoвЬIйскаnяpньIйпoтeнЦиaл бyдет pавен ну!rю' К нoвопly вeк.Гopнol"IyпoтенЦиаJ'Iуl\'o)кнoeщe дoбавитьгpaДиeнтLIезависящeйoт вреl,Iенифyнк.ции' как видно из (14,70)' этo нe изlvleниTnoЛeй Е и B' floп o з в o .
Ц и тI l р и I ] и N ! а т вЬo в н и I M а н и ет о J . I Ь к oп o т е н ц и а Л ь l 'y д o в ' ' l е T в o .I o ) к е п lс Ч и т а т ь ,р я ю щ и e y с . л O в и юd 1 1 . A : 0 ' т а к и п , Io б р a з o N l ,] v I ьMчтoI"',.,\fI(Nl,:J2+:1ъ-,{"(г.l)'B : rotA,с 0t,dir.A : 0lJ-^.н.сBoдятсЯa-t'аp(гl,)lа1._..( |4' 7 З )aА.ф04,74)Г J ',к вЬIра)i(ениямJА,^ - t'' , , .
Jl| 4,75\l r',:,/,,uu,oАплoскaЯ кривая, плoскoсTь' в кoтo.,{алeе, oкpyrкнoстьpoй oнa ле;кит' являоTся вЬlдеЛеннoйплoскoстьюz : zO сипj.Nleтрии кoнфиГvрации l'tаIнитнoгoпo"!я, Toчка .:о oпpeдeЛяется равeIlствoпl(оB,laz).,:0, Из (14,75) видLlo. чтo лpиэтoМ B r,|.р,4'|) : 0, Сoвмeстимс этoй тoчкой начаJ.Ioкoopдинат,Bихpевоe электpи.tескoenoЛе (14,73) ne долrкнo пp,вoдитьк yскoрeниючастицЬlв рaдиaЛьнoNIнаправJ'Ieниии в напpавЛeнииoси сипjNleтpииNlагниTнoгoпOЛя,llа этoNloснoвaнииА,,:А":0'так чTo дp : Е, : 0' и' слeдoватe,,rы1o'B|(,р'z't') :0'П o и . l р r а ь | Ь | Ir ] o п \ , ш e ч и сorl ' и , н o и o . l у ] я o .
a l o , в a е г . сTo"']ькокoMпoнента,4' векторнoгoпoтeI]Циа!tаэЛeктpиЧeскoгoи Mагнитнoгoпo"!ей.a фyнкция Лaгpан)каиNleeтвид- / --_'- u-,r,.0ttitу476le.,t,.. t.-"lt-B]гАa:'IpB"|р'z,L)dp.\t4.77)Kooрдинатai я в Л я e т с я ц и к J . l и q e с к o й .с o п р я ж e н н Ь I й е й о б 0 6 .шeljньIи иN1пyльс сoхраняeтся:DL(\4.72)Пo yслoвию траектoPиейчастицьIявляeтсяoкpулtнoсть,ПoэToпlyтребyеNlуюкoнфигvpациюМaгнитIJoгoпoЛя бvдeM искaтЬсpеди aксиaЛЬно-сиlN1eтpичIrыхпo']ей,B циJlиндpичeскoйсисте.лIекoоPдинатс осЬIo.zвдoлЬoси сиI{I,IеTриилoЛявсe функЦиинебyдyTзависетьoT ази]\lутаЛЬIloгoyгЛа f' ПoэToМyoбщиe вЬIpаxе.ния д!']яNtагнитнoгoпoЛя (14,73)в циJ'Iиндpическихкoopдинa.Гaх| оА, aА"aАu,=iйo':,t;'с (l4,75)в сooTвeтстBии(./"l\,,т_1 lp'l"(p'.:' t) : соnst.(14,78)Два дpУгих yравнeнияЛагран)каимeюT Bид\т|t,l4'( t ; l ф ,)tIЙ\_l u| " ) ' )(14.s0)i,,"# : iоnв,1о',,t).П o ' .
1 o ) K ивп {y p а в I , { e н и (я1х4 . 7 8 ) ,( 1 4 . 7 9 )p : r n 'р:|'О.дЛя yглoвoйпеpемeннoйр, Toгдасо"pанивпpe,кнiе oбoзlraЧе]]иe-,вФlrт;t"ttll,t,,.ti\f-C;tr11nе|рB.(.р.z't) dp : lll =сJ(1 4 . 8 1 )r)=о,- !.dв.(,о'".(r 4 . 8 2 )сooTнoшeI]ияИз (14,8l) и (14,82)нахo,lипtВ " ( ' r az,' + Ч :еrбlАlto'.'\.6iIрв,(p','t)ар:Е'(ro'z't):?*uм,о:*l). (14,s3)(a-.I t'jD0( 1 48 4 )/) и вих.B. Q'6,.:.кoнфигyPацию\1агни1.нoгокoтopЬIeoпpедeJrяют,,/](o|рй,апop ,в o о ' 1 е \ р L Ч е ( o /n,циЛиндричeскoи90За}сaнoj||еpнoсmus 11, ДuнaмuцесКuеГлава 4, Двuэ\сенuев |\еaанopоа|!blхсu,Ioвbu пaляхпoвеpхнoстиp: r|)- Ha Xpyгoвoй oрбите (? = 0) сooTнoшeниeм (l4,83) Yстанавливаетсясвязьф - 2тrвВ.(Тa'o' t) : сonst(14.85)мe}кдyпoтoкoммэгнитнoгoпoля Чeрeзпoвepхнoсть'oгpаниЧeн.нyю тpаeктopиеЙчaстицьllи зIlачeнияMиr{агнит|loгoпoля I]аTpаeктoрии(инleкс z в (l4,85)N'o)кнooпyсTитЬ'Tак каt(в(p, 0'') : 0' D.
B, (p' 0' t)|'Lpeднee знаЧeI]иeMагнитIloгo пoля на пЛoскoсти I(pуга с пЛo.щадьют16 рaвнoв : d/тrfr.Пoэтoмyуслoвиe(14-85)'пpикoтopon4вoзп{o)кнoдви)кениe частицЬl пo кpулoвoй oрбите в гlереМeнн0М МагIlитнoм пoлe (yслoвиe P, Bидepoэ' 'nлИ беmampaннaеgс'xoвuе 2.1\ мoжIJo Tак)кe предстaвитЬ в видев2B(ro,0,l) : сonst.Пpи синфазнoми3менeниипoтoкa p и МагI]итнoгoпor!я натPaектopии Iloстoяннyю B эToм yсЛoвии следyeт пoЛo)китЬpaвнoйнyлю,B пeстациoнapнoммагIlитнoмпo'1еэI]еPгиячастицьIизМeня.ется сo вpеМенeмв сooтвeTствиис oбЩeйфopМyЛoйс: 4.!("{.\Ovt\/ALat'(14.87)испoЛьзуядалeебeтатpoнноeyсЛoвиe(l4'85)' нaxoдим,, 6'a) -'-)!B.(ro,0.l\6. Устoйчивoсть Двиllteнllя. oстаeтся вьrяснить, пpи каких/ . , ' в l Я \ l ] p у , o в а яo p б и | а а с . и U ь |в м t .
н и | л o \ lг о 1 Р . у D o в - F ,| п o г eo ш е v 6 е I а | P o P ч o l v \) с ' o в Ч ю ' б \ , л e тy с r o i I l , B o и ,H а й д е vс , o й . е . Ь ю у p а в р | - и р. в o 1 ю J и ич а л Ь } o - ( л o н е d и Й . p а e к ] o р и иЧастицьIoт кpугoвoй.Если такиe oTкЛoнeниябyдyт нарастаTь'тoчастица выйдеTиз pe)кимаyскopeния,маЛЬIe pадиаЛьныeoткЛoнeния€ мo)l<нoouенитЬ нa oснo.вallии oбщиx ypавI]eнийдвижeния (14.78)' (l4,79)' eсли пoЛo.)кить в них p : ro + { и пpеIreбpeЧьквадpатичньIМипo € , €B этoм (ЛинeйнoM)при6ли)кенииypaвнениe(14,8l)сЛагаeмЬIми,пpияиМaетвид{ [ l n l г 6 7 , , 4 n ( г 6 .
:t. , 1; : ,0lr)+ - l- .j.r0/'0111" \ze'\ rfrя!](14.89)е aАq\ra,z. t)cdroi)-_т1'(l4,82)с фopмулoйгдeв сooтвeтствии.сB '(тn'l't)фо(t): Е(14.90)углoBаяскopoстьчастицьl вдoлЬ нeвoзмущeннoЙтpаeкTopииlE : mczl1f\ Qxф/c),,(14.86)a-,oio, " 0 . 0/ li,4.Пoдставляяв пpавyючасть (t4,86)ф из фoрмyЛы(1 4 . 8 2 ) ,a А9(ro.0't)из (l4,77),пoлyuимd --'L. аlпoзвoЛяетoцeнитьскoр0стьнаpасTанияэнepгииэтa фoрNiуЛаoрбиTе в заданнoN{пepeмeI]нoммагнитнoМкpyгoBoйl,{ачастицьIсoвnад. o.!аЯHа кpyгoвoйoрбиТеE- e: 2; iaВ ( r a ' 0 ' О й ф .91с \4|нoвеl| ь,v('pе |Ятив.,lс1с^U.,цl ']h,loеcB.(ra'z'tJ;)Е(1 4 .
9 1 )yдoб(l4.79)в pадиальнoмнanрaвЛeнииУравнeниедви)кeниянo пpедстaвитьв видеm,(]; рФ,)(14.88)JначрUиeЧтpоннoЙЧаст0ты,для даЛЬнeйшихпрeoбpaзoванийвьIpа)кeния(l4'B9) мoжyслoвиeм (l4.83) и oпрeдеЛеIlиeм(l4,75)Ilo вoспoЛЬзoвaтьсямагнитнoгoпoЛя в.(r0'z,t) B TepминахвектopнoГoп0,гeIlциаЛа.B рeзультaтe поЛyчимttf -riln(14.92)92Глава,4, Двuэ1сенuев неoанopodнblхсunoвыхna,LяхB этoм ypавнениисЛедyeтпoЛo)KиTЬp : r{J+ с И ф из фopп{yльI(l4,9l), B линeйнoмпo 6 пpиблиxeнии(uI ")'-,2B,|Г'2'|- B:|.O'2./ll;lt;roBIro,z,!''и Уpaвнениe(14.92) Длямальrx€ , ( свoдиTсяк r.]инeиI]oNlyдиф.ypaвне]]июс кo9ффициeнтаNjи,зависящими oтфеpelrциаЛьнoмyвpeмeни:- 'оОB х(.
. t. L".,:",,,\'.tцъ,o1t-o(1 4 . 9 3 )Koop'Цинатаz сoдeрxитсяв yравнeнии(14.93)в видe паpа.Мeтpа.pавнoгoнyлю в плoскoстиopбитьr,Зaвисящаяoт врe.I{енирeлятивистскаяЦикЛoTpoнI]аячасToтаoпредeленафoрп4y.Лoй (14.90),B нepелятивистскoмпpeдeлесЛагаeМoe'сoдep)кащее (' в (l4'93) бyдeтo,ГсyтствoватЬ'Т o а р ь ' o o и"яа с | r L ы б y , л . }.
с l o lЧ l в o и 'е с Л ' ]y p . в r е н l er в o .ЛюциипlалЬIхвoзMyщeнийбyдeтypавнeниeмкoЛебаний,ПoсЛeд.нee сЛагaeMoeв (14.93)имеетхapактeр<вoзBpащающейсильrlпoлeйlra opбиTe'таких' чтoдЛя п{агнl.]тнЬIxt+ffr>oPeЛятивистский Мнo)китeЛьElE Г'pla€ иMeeт сп|ьIслдекpeМeнтазатyхаIrиякoлeбаний,B pe)киN{eyскopеIlияэнepгия yвeЛиЧива.ется (Е > 0) и aмпЛитудакoлeбaнийДoл)кнay6ыватЬвсЛeдствиeвoзpастанияPеЛятивистсKoЙмaссЬIчастицЬI,- Таким oбpазoпl, пpи вЬIпoЛнениибeтаTpoнl]oгoyслoвия(14.85)и yслoвия(14.94)yравнениe(l4,93) являетсяураiнeниeмpaОuaльньLх6епarпpoннь|х кorlе6сLнuй;opбита вастиuы yстойви.ва oTнoситеЛьнoNlаЛЬlxpадиальнЬlxвoзмyщeний,Bыясниьlдалеe,пpи каких yсrloвияxTраeKтopиябyлeт yстoй.ч и в o й п o о т н о l U е I ] и юк м а л Ь I N 'oIт к Л o н e н и я м ? t I а с T и ц ы в н а п р а в .лeнии' 0рToгoнаr1ьнo]llплoскoсTи ? :0, ПрeдставиМ с этoй цe,]ЬюypаBIJениe дви)кеIlия ЧaстицьI в налрав!'Ieнии oси z в виде|',ul с)2t_ е1z't)].iоФв,('p'z'ц7оФzavto'П o л o r к и мв y р а в н е н и (иt 4 , 9 5 )p :считаTЬ ''( 14.95)Ia' z:0+4 и бУдeм4 п { a Л Ь I М и .т а к и N t и , ч т o к в а д p a T а М и э т и хBеЛичиI]93закaнo-меpнoсmu$ 14, Дuнl1',IuчeскuепрuбЛихeнииBoto'".t):n9Pф#oЗ н a ч e н и е l р в л и I l e Й н o м пo ? пpибли)кениимo)кнoнaЙти из(l4.92),Hаxoдим\ ' р a B н е н и яд Л я р a д и а Л Ь н o г oдвиlкенияl ;Р /.^ n rl \еcB,(ro.o,t),Е(14.e6)IL+:""'"i"'"',r1.\б.12/УЧитьiвая так)кe' чтo: Eц,2pфЕР(p,z't|)= nr|)9aE.Рco'o,t)ypавIlения(14'95) Линeйнoедиффеp.eнна oсI]oвaItиипoJ'lyЧаeпlвo3мyщении?:МaльIxпoпеpечнЬIxэвoЛюциициаJ.]ьнoeУpавнeниеqtГq",o.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
