Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 10
Текст из файла (страница 10)
l ltt(at.\I ldlaLota;1 Й|тta-'1 ,o."'Jн.,|a,\т,,,,)_(д: l'2'3).Часrи л!oeк.каждoе из )тих \ pавнений( oдepжи1.в- пpав0Й- и ю o 6 o б щ e н н o . п o I e н ц и а Л ь н oсйи Л ы l l z , l / ]и сиЛы lilz,lo''Go.'o*"o. нe пpедставимoйЧepeзoбoбщeнныйпoтeнциалU),к кoop.на ваправЛeниeeдиничнoгoвектopа nд, Kасaтe.']ьнoгoqд.вoзpастallиявстopol]yqдинаIlpавлeннoгoлиниидинаTнoйyмнoжeннyюна массучастицыв ЛeвoйЧасти(l2,18)сoleря<итпpoекциюусl(opенияt.'д на вектopnд.
Мы пoлyнаeмунивepсаль'yсKopeниявдoльсoставЛяющих'lvю фoDvv,']vдЛя вычислениясисIемыкoopдинaт:кpивoЛинeйнoйвентopoв""np,Ьni.юЬ"*,u,, -r |a 1аroi ацln|]t,|dl\бd")oqуJкoopдиtlатB частнoсти' дЛя сфepичeскoй систeмыuэ : н2 i'2 + н3o2 + E,'ф2'H,: 1, Ho: r, HQ:rsiг.9,и функцияЛагpан)кa.o имeеTвид__ lА2 _ 120ln"iu2 р21'" |2у'2(l2'l9)62Глава 3, Ф!нкцuя 'qaеpанэl{аu gpавненuяЛa?paнI{а,,_{r..o n,'d\/JПoэтоMу-, : |i. r0, -,'|"2 0ф,l'"":i|* r,,о r, snrdсos0я,],(12.20),.':;Ь[#с.,,"''rо1,JpавнeниядвижeяиЯ частицьIв тepминахl(oмпoнeнтyскopе.ния d-! в кPивoЛинeиньIхKoopдиtlатах пoлyчаются пyтe]!1yмнo.)кeнияуpавненийЛагpав)кана oбpатнЬIезначeниякoэффициeн.Toв ЛаMe: rl' ) lJaмeтим Teпepь' чтo фopма ypавнений Лагpан)ка oстаеTсянeиЗменнoиoтIjoситeльвoЛpеoбpазoваний(l2.2)' зависящих oтвpeмel]и явнo, B ка.reствeкoopдинат qд в (l2,2) мoгут бЬIтьдeкартoвьI кoopдинатьI ЧастицЬI в дрyгoй систeМе oтсчeтa S,.ЕсЛи.9 и.9/ _ инepциальныeсистeмаoтсчeTа'тo кoopдинаты;rjoи c! ЧастицьIB l]epeлятивистскoймeханике сBязэны лDeo6Dа.з o в а н и я мг a Л и Л 0 я,.r " _ .
r , . , + u ' l ' к o 1 o p ы P1 а к ж e п p и н а д Л е ) к а тк пpeoбрaзoванияi',t( l 2'2).ЕслисистeмаS, _Ilеинеpциальнаяoтсчeтa' тo связь J.tи тf, мoх<eтбыть yстанoвЛeналpиyсЛoвииlЧт0 задан зaкoн дви.)кeнияR: R(l) начала,roopди.I]ат D' и oPиeнтация кooрдиl.]атньlхoсeй ,s, oтнoситe"lЬнo,9в ка)кдыйMo]MeI]твpeп{eI]и,Тoгда(pис,4)r : R(l) + r'.Р и с . 4 к o o p д и н а т ь Iг и г , o д .нoй и тoй )ке тoчки в Pа3ньlхсистеl'ах oтсчетa{t2.2tIгдe г и г, - pадиyсьгвeктopЬl час.тицьI в s и S, сooтвeтствeннo.Умнoxaя этo pавевствo на opты ndсистeмы s, пoЛyЧиltlr;.': Х"(t) 1n" .r,.Hoкaopduнапaхв |ipuвoлuнеЙньlхE |2 уpав||е|Iuя"1а2pан1|аr' = x:t"r+(t),(t2.22),гдe n!(t) _ opTысистeMыS/' Cлeдoватeльнo'z.l : &(l) + na , n;(t).t|" : х,'1t11",""111."'".(|2'2З)н а п p а в Л я ю L д и e к o с ' , 1 н vЬ( | o с е ' , ] , , d o т ь o с и т e Л Ь .n o r o p ы дe o л ж н ыб ы т ь и ] в р .
т Ь ь . чфиу н K u и я мвиp e м е н и ,]^"^.к классупpeoбpaзo.(l2,23l такжепpинaдЛе}hатПЪеoЬpазouания.r'pавнeнийЛаГpанжанe из^leяится|12 2\, пooтoмyфopМаЬaни'aсисIeмы0тсчета'J';-неичepциальнoЙк кoopдинатaмпpи. прpехoдечaстицыв нeинepци.ypавнeнийдBи)кениядля сoставлeниясистeмe oтсчeта дoстатoЧtloнайти явный вид фyнкцииа,1ЬIjoйЛa(paЮI<aB этoй системe, нaйдeм с этoй цeЛЬю сooтl,]oшeниe''eждv скopoстямичастицы в S и S,.c учeтoм (l2'22) имeeмИ. (1.2'21')i: R(t)+ ti"n;(f)+ cl"nl(t)(12.24',)o D ' , l P Р ,o ц J я в р K , ] o p o вn , ' 0 1 н o ( и , l е Л Ь ч o н е л o д в ' , l ж н Ь | хopтoв na_ o,, '(l\n ., пo.
o|\.y, . д а е l l я p а в e н с I в а l t ! иn : , l i li,,, = h.onl:a.вaoBoL.(t2.25)tlтo сЛeдуeтнeп0сpeдTензop аo]зod,_ антисиMмeтричнЬ]й,стBeннo из услoвия opтoгoнальt]oсIu aa9аo3:6.p, Емy мorкeтбыть поставлeн B сooтвeтствие nсевдoвектop цZ]|oвoa сKopoсmuсистeмыS,:LцToгДаI=(r2.26)'€ - IIJvaФavв.|[аi]udl:(12.27',).aб1l!1(|2,25).'(12.27'в (l2.24)'нахoдимПoдстaвЛяяi : R(.) + (j.l + € " "1l."tt)ri)l1l'(t),(|2,28)систe.t]ачaлaкooPдинатIteинеpциаЛьr{oйзleсь в(i) - сKopoстЬ,',"' o,'.""'".iiп p o e к ш и сик o p o с г yЧ а \| и U ь lu , н а l o д в и ж н ы eI o o P к u и ,в]e K т o p н o -пop 0 ,o р | ь jn : t / ) с и с т р v Ь S| ', :',.'*It\''.,изведeнияr.r х т, на тe же opTы. эти oбoзначенияпoзв0ляютвeктopнoйфopмe:прeдставить(l2,28) в симвoЛиЧeскoйx г,).v : R(') + v,+ (с.,(1)(t2.25)п0 .вpeп!ePавeнствo (l2,2l) мo)кнo гlpoдиффеpeнциpoвэтьсистeмы 5' такnt инepциaльнoйни и llри нeпoдви)кныхс (l2,29),пpихolимэтo выpа)кeниeв(t)+ t,.
Сpавнивaя":"'os oгIepатopаS,ксистeмeсистeмыoтк фopмyЛeпpeoбpaзoваllиявeктopов:пoвpемeнидиффeрeнциpoвания!:!*wot,(12.30)nj'.в S, пpи фиксиpoванньrxпрoизвoднaягдешTрихoMoтмечeна64Г,1ава 3, Фцнкцuя ']laеpа|!Jltаu цpaвненuя !qa?pа]1x1{|1,,-Телepь,чтoбы IloЛyЧитьв систeмеs,'фyнкциюЛагpанx<алoдставитЬдoстатoчнoг и v из (12,23),(l2'29) в вьIра)кениядЛяк и н е т и ч е с к o й и п o т е н ц и а Л Ь н o йэ I J e p г и и ч а с T и ц Ь I ,П o Л у Ч и М+ v . + { Ф ( t ).
г ) . +'t((t)+ 2 R ( , ). ( v , + ( & J ( fx) t , ) + 2 У l - ( Ф ( | )x г / ) ) U ( r / , l ) . ( l 2 . 3 l )Ilo_ г,тi(i)'R(.) .(v,+ (ц,(,)х г,) : (d/.lt)(т/R,(f))(|2,З2)причeпlпoJнyю лpoи3вoдl]yюпo вpeмениoт (г/R(r))' a такжe R(f).
в вьlpа)кeниимoл<нooлy.дЛя фyнкЦииЛагpан>каститЬ вслeдсTвиeее нeoдяoзнaчIJoсти,oкoнчатеЛЬнoдля фyнк.'|зс]ицо..vn IIaГpaнА<aв нeичеpU.]аЛЬЬoисl--стe'l.о|сче|аиrIcем. =l-=тv.+lllv,l ' . J ( I ). г ) +t1''l 'r]'l', |12,3з|r,)/,,г,,Rl/iь3десь R(.) и u,(t) зaданнЬIeфункции врeMeни,Tак как фopпlаyравненияЛагpанжа гlpи пeрехoдeк пepеIlleв.ньI]\1систeмы 5, oстаeтсянeизпlеннoй.ypавнeниядsи)кeниячастицЫ в сисTе]!leS, мo;кнoлoлyяитьпyтeм подстанoвкифyнкцииЛалpанжaв ypавненияJ.Iarpa|1'Кa(l2,l).
Beктopol/dvi являетсяпo oпрeдeЛениюo6o6щенньtм ш11nф|bсo'1ЧасTицьIи pавенs l3' Цuк!|uцескuекoоpduнamь|u 3акoньlсoхpl1не|Iuя65l L и а . ] l ь н o йс и с т e ] \ l ь lo т с ч e т а 5 ' , o т н o с и т e Л Ь н o к а к o й ' Л и б o и I ] е P ц иа l i l , н о й с и с т е N l Ь |S , B т o p o e и т p e т ь е с Л a г а e п ! ы eв э т o м y p а в н е l l и ии ценmpoбеJltнoi сu!|oi,i сao\Beт|]азЬ|ваются сuLaЙ KapualucaУравl]ениeдвижeния(l2'35) пroжнoпoЛучитьи нeЛoсрeдypаBнeнийизнЬютoна'исЛo',]Ь3yяпpи вь|чисЛеIJии.тв€ н нoускo'(l2'29)'(!2.30),фoр]\1УJ]ьI|)cl|ияs l3. цикличeские кoopдинaтьl и 3aкoвьr сoхpанeнияДля тoчeчнoичастllцьIкoopДинaтN1o){<нoвoс.ПрoизвoЛoМв выбoрeкpивoлинeйньIxинтeгpирoвaнияll0JЬзoватьсяд.i|яyпрoiIleвияпpoцедypЬ|уpавнe.llрoстран.l|ий]ви)кeния.Если силoвoепoле ип!еeтoлpeделе!lную',.д |нуo (и]\l\,е|pиюн а, | | ] t и ! l Раp],, a \ ! у ||аЬ | - v о к.
р и в o 'r Ь е и | { L | .мoгут быTь ввeденьlтак' чтo функция Лагpaнжа нelioopдинатЬIкoоPдинаTьl(азиNIyTаЛЬнoгoбyдст зависeтьoT сooTвe'ГствyющейypaBненисТoг,rаЛагpан)каBoтсутствиесиЛ тpениясвe1''г.la;),1l,]ся.lрo.Г't к Pавeч(тBу||у.,]юnoЛнoйпpoи{вoднoипo вpc]\!ениo,r aбoбщен||o?o u'мnцlьсa pi = |]L/Ui, coлPыr<енHoгoкoopди(12.34)- r r r t . , t t 1 . ( - , , , / , .r ) l .
J jrr2.J5rПoэтoптyypавнeниячастицьlв нeинеpциалЬнoйДвижeнияси.сTeNIеoтсчета иNIеют вид"li'= _ - Ё 1 4 - 2 r | L ( ь , (xt;), )m ( u , ' ( 1х)( Ф ( i ) x r l ) ),n|i,!|t,|]L,rt2,JьrЗдeсьR(t) yскopeниeнаvала.a'(t) yгЛoваяскopoстьBpаrцe.ния к00pдинатныxoсей дeкаpтoвoйсистeМьIкoopдинатнeинeр.IloэтoruyoбoбщeннЬtйиМnyлЬсрaвеIlРp: 1n'РZi и пpсдставляетсoбoй пpoекци|oмоментаи]ljпyЛьсачастицы нa oсЬ ?'Boo6xJr 060бщеннI'1е ||!цnцLbcbLPo = а./iJ4а. сoпрях(eнньIe oбo6щеннb|м цuклuцеcкu}| кoopdu||аmам qo (таки]tl''пo DI'/0ч" = 0)' в oтсутствиe диссиnативнЬIхси''] яв'.]яютсяпepвьIмиинтегpалаМидвижeния'ЕсЛи диссипaтивнаясила пpoпopциоI]аЛьнаскopoсTичастll.-}v.:Fla,сooтветствующaяoбoбLцeннаясиЛацы.РавнаQj/=гJr#,=,+ - l .qo+#)(r3 .
2 )B пoтeнциальнoмпoлeaLл0r/0тdт\оqroQtorlt\o1oot 1(13.3)ПoэтoмyуpавнeвиeЛагрaнжаиМеeтвидх0L(r3.4)qд в (|3 '4) 0L / 0q, : o уl, cлeдoьa..Цля цикличeскoйкoop'динатытeльн0'сyщeствyетпepвыиинтeгpаrlp"/ l \ _..ttst'"хp (!:lJ(l3,5)6?s l3, Цuклuчеcкuекoopduнtlmыu 1aкoнb|сoхpане||uяГлaвa 3, Фgнкцuя Лаzpаt|1lсаu gpt'вненuя JIа2pa|]э!са..,пoслeпoдстaнoв.кoopдиtiатаxTак' в циЛиндPичeскихчастипьr,(l3,9)пoлунаeмв(13,l)ки2-)_IJ\r,.z't),н =',^tр- p,i2"aPй я А е н l o ч; iа с т и - Ь |" е , l я т и в и с I с кз oФ 1 rк u l я Л а г o а н жDL _ .., utl on";_!Ь,vпo"le р: ii(r), A: A(r) неэЛектpoмагнитнoмB стациottаpнoмСлeдoватeльнo.имeeт мeстo закoн сoxpанe.зависитoт врe[1ени,ния oбoбщеннoЙэнepгии( r3 .
1 0 )свидетeЛьствующийoб эxспoненциаЛЬнoмyбьIванииpр сo вpe.I{eнеM,УМнoжиMдаЛеeypавнениeЛагpaн)каd ( aL\0L _^@)(lз,6)dt\a4!)0чl,на 1iди лpoсуМмиpyeмпo д, ПoЛyчимdlitl _Q''i'q,.AL\ _'"ЙA ,LAL _ _ы.aL|137)4,;;,'i\',й)iтpи пoслeднихсnагаeмыхв левoйчaсти(l3.7) пpедставляютсoбoйпoлнyюпpoЙзвoднyюпo вpeмeниoт фyнкцииЛагpаIr)ка,Cледoватeльнo'*("*щ'")=_ff+o|i)a, ( r 3 . 8 )(или ими мoжнo лpе.Если диссипативныeси]'rЬIoTсyTсTвyюTнeбpeчЬна некoтopoминтеpваr1eвpeмeнидви)кeния)и фyнкцияЛагpан)кaнe зaвисит явнo oт вpeмеIlи,тo, как виднo из (l3.8),\oб oб ще н|1ая э нepеuя)фУ I1|<ЦЙяH ((l,a,t)= al'Lщ9!'( r 39 )прeдставЛяeTсoбoй кoМбинациюдинa]MичeсKиxпeрeМeннЬIх1Ko.тopaя oстаeтся пoстoянl]oйвдoлЬ TpaeкToриидви),(eнияна тaкoм иI]теpвалe вpеп{ени, lJ декapтoвЬlх кoopдинатах' а тaкжeв кoopдинатаx0o' свяJаннЬIхс декаpтoвD|t1икoopдин"таvифop.l,lyЛамиJA : xа\q|'q2.ц), нe сoдержащимиявlloи зависим0стиoт вpемeни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
