Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 21
Текст из файла (страница 21)
_tnc- tttl1.в Л-сисTеп'e на-.,;a.r"\'JtL.2\2!,)Jll| а*o, ' .|Фyнhц,rю-:nal в д;фрepeнциальz^[L-tn1*(',,сeчениeс yчетoпlфopмyл(21,27),(2|,З2) диффepeнциaлЬнoeлe (2I,27)).ЭЛeмeнTтeлеснoгoyгЛап{eждyкollyсап{ис yгЛамиpаствoраlсюдаи 1+dX pавeнd,o:2тsiпуdу: -2тd(сos1), ПoдставЛяянаxoдиМсos1- из (2l,26)и диффеpенциpyя,t3l'+j-.в,1/l (Ч;}).z' л".,*]--)(2r.33)МьI пoлунилидиффeренциaЛЬныесечeния pассeяниянaвстpечIlЬIxMассами,)l : m2'пyчкaх частиц с 0диr]ак0вЬIмис 1 а к . r (се v а с с а \ 4 и) Д. o вe. , в o p 9 ю ш и vчиe p а s ес |I в y m 2 , З m 1 .(2l,26)'вьIтeкающeпIy(2l,29),изФopмульIдЛЯуглoвpассeяния(2i.27)oстаютсяспpаведЛивЬIмимасс'и пpидрyгиxoтнoшeI]ияхyдoвЛeтвоpяющиx(21,29),нeравeнстввсeвoзMoжнь]п{знакaмoстaется в сиЛе и схeма выЧислeниядиффepeнциaлЬвЬ|хсeчeнийpассеяниямасспoсЛеoпpeдeЛeниядЛятак x oтнoшeнийнeoбxoдиМoгoна6opавeтвей(знaкoв<+'. < '\ B \2| '26)'\2|,27),в1аuмadеiсnвцющuxчaспuцs 22,Дuнa u|сасuсmемb!главa 6сисTЕll{ьIB3AимoДЕЙсТBующихчAстицчaсTиц иl]тo зависимoстЬ rз(t) лoлxна oпpеделяTьсяypaвнeния.лpихoдим к функциими !'B|4,<e\1Йя.:,(rl.12' rз'vl,v2'vз)_ _, л;1_.
,t] _ m l с ]n ,1 о ]I/13(|г1 т3 )$ 22. .{инaмикaсисlеluьiвзaипiol{ействyroщихс энepгиями взаип{oДefic'rвияUi,( rir; ) мoxeт бьIть yстaнoвле.на, eсли пpeдваpитeльfloypавнениядви)reниясфopMуЛиpoванЬIсисTемьl,пpи усЛoвии,чTo функция Лaгpан}каявляеTсяTpех.мepньlмскалярoМ,ee пpoизвoднЬIе0L/0ri, DL/0vi обpазyют2NвeкTopoв, ПpeдставЛяя импулЬсьIРi Частиц в ьидe 0Lf0vi' уpaвнения дви)кeния Мo)кllo заЛисa'ГЬв Teрп{инахпpoизвoдных фyнк.yстанoвитьee яBный вид. Этации Лагранжа и oдI;oвpeмel]нoпpoграмМалишь ЧисЛoмпepeменIJьlхoтЛичаеTсяoт испoлЬз0ваннoй вЬIr]]едЛя oднoй часTицьI.oбраTнaя пoс'1eдoватeЛЬнoсTьдей.сTвий сoстoит в oтьIсканиифyнкции лагpaн)ка систeмы Частици yстанoвЛeI,jииУpавненийдвиxeния как yрaвнeнийЛaгpанrкa'явньIй вид функции Лагранжa системьIN частиц Мo)кlloустан0виTЬ пpи пoMoщи рассyждениЙ, на oсl'loве кoTopьIх BышeпoЛyчeна фу!]кция Лагpан)r(a для -ly': 2, действитeЛьно, дЛяДвyх Частиц в0 внeшIlем пoЛе с пoтeнциалoм'прoпopциoнаЛьньIм ./(I' l)'_., 2-.
. ,. . , 2( 2 2| \U|) 1т| r, _щ!r|,!\ Ult 'l2,;.истo.{никo]uвIlешнeгoпoЛя (пo oтнoшeниюк выдеЛeннойсисTeмeдвyx частиц) мo)кeтсЛужить тpетьяЧасTица.Toгдa еeп0тeнциаЛьнаяэнePгия будeт зaвисeтЬoт вpeМенипoсpeдствoп|известнoЙзависиMoстиoт вpемeникoopдинаттpeTьейчастицьI,так чтoU | ( т 1 ' t *) I / 2 ( r 2 , t :) U l з ( l г l т 3 ( t ' )+l ) L l , 3 ( i т , 1 3 ( t )) ,L\uaстиц1. Фyнкция Лaгpан)ка и уравнeния дви)l(еяия систeMьIвзаимoдeйствyroщих настиц. Функция Лaгpан)кэ систeN{ь].Д/частицl : l ( г r , .' , , т л , v r ' , , ,, v л , l )K фyнкuии^(22,1)мoxнo дoбавиTьизвестнyюфyнкциювpeмeниm3(i3(t))z/2,Учитываядалeе'ЧToфyнкЦияЛагpан)касистeМьIтpeх частиц не дoЛ)кнaзависeTь0т l]opядкaнyмepации133t"';iu,^rrrr ilU23\r2, ',2i=l-т3) =iIr,.r,.
122.2'i,i=lсиNtпlетpичнoЙ oтнoситeЛЬнo пepeсTаIloвки инДексoв любoЙ паpьIrrастиц, штриj( пpи знaкe двoйнoй сyММЬI oзначает ,i + ',i И |1ск л ю ч a е т с а п { o д e Й с т в и еЧ a с т и ц ,PассNlатpивая дaЛеe тpeхчастичI]yю сисTеп!у как пoдсистеМyсисTе]\{Ьl'сoстoящей из чeтьIpех Частицi мo)кнo yстанoBить Bиди T , д ' з а N l е T и N t 'o д I ] а к o l ч т o в с яфyнкции Лагран7ка ДЛя ..{:4инфopМацияo чисЛе часTиц сoдеpжится ЛиlljЬ в веpxнем пpеделeсумlt (22,2), Пoэтoмy фyнкuия Лагpанжа системьl ll взаиNloдeйс T в y ю щ и х Ч а с т и ц в o в f l e l ] ] н e мп 0 Л e р a в н а:-L(т]',,,.тN'vl',,,'vN't)_ Ё u,,{_",11_Ё*o,,,,, .,,,,,}",ЗдесЬфyнкцииUi:UjlpaзличныдЛя разнь|хсopтoвчастиц'r ( г , / ) п o г е i ] U и| Ьа н а Я, ь е р . и cч a с , и , Ьс| | - o .
l р p o' vв o в ч 'У р а в н e н и я д в и ж е н и я с и с т е п I ы / { ч a с , Г и цM o г y т б Ь I т Ьп o л y ч e н Ь !из ypавнeнийЛагpанжаdаLd,t0vд0L :F.iОrу(t: r....,N),(22.4)гдеFlв фyнкцииЛaгpaнxa.силЬI.нe ЛpeдстaвлeнныeПoдставляя(22-З)в (22'4)' нaйдeм\-лl'i"'Чa4+гo(.o'..o,,)( a: r . . . .
, 1 { ) .\22.5)134чaсnuцhaвa |j сuсmемы в\аu',|odеЙсnвaющuх(22,5)oднoзначнoсoстoяниeoпрeдeляютУpавнeнияДвиrкeнияс и с т e N ! ьгIl ( f ) ' . . . ' г N ( t ) . v 1 ( t ) , ' ' , ' v 1 ' . ( t )в м o М e н т в p e M e н и ' ' e с .Л и и з в е с т I J oе е l l а ч а Л ь н o е с o с т o я н и e г l ( t o ) ' , . . ' г ! . ( t о ) . v l ( . o ) ' . . . ,v1(lq) в пroмевт10'Пpи бoльrrrих ]Y i]paктичесKи нeвoзltloжIjo oднoвpelleнflo из.lepить пpoстpаllствeнныe пoЛoжeния и скoрoсти частиц систeмЦ(звездв ГаЛактикe.атoмoвтвeрдoгoтeла и т-n,), Для такиxсистeмнe имеетпpахтичeскoйценнoстии oбщeepeшениeyрав.нeний ДBи)кeнияг , t ) : г l t ' г l ( i о ) ' .
. . .r д ( 1 6 )v' 1 ( / 6 ) ' , ,',v , 1 ( l 6 ) ) ,B с в яl и с c т и v д л q с и с г е м ы v в a а и v o Д e й с | в у ю д иЧха с т и цoсoбyю ценнoсTьпpиoбрeтаютзaкoньlсoхранeния,2. изМelteние вo вpeмeни иlипyльса сlrсTeпrьI; дви)кeциeтeлa с пeрeмellнoй мaссoй. слoxиМ вeктopнo yрaвнeния дви.)ке!lиясистемЬIN частиц (22,5),Пoлyчим(22.6)'_чaсmuцE22,Дu||а'|uкaсuсmемыв?auмaoеnсmвgющuх135м0)кнo г0в0pитьтoГда o сoxpанеLlиипoЛнoгoимпyлЬсасисTеМЬlмассv(п):ск0рoстисoхpанeниицеI]тpаoтак '(е' какNNp = r|I,|Lllli=v\т,||i=lLlIlI';=1(22.t0)Koopдиt]аты цeнтpа l\4асссистeмы нe мoгyт быть нaйдeныназакoньlдвижeнияoснoвeих oпpeдeлeния(22.9)'пoка нeизвeстнЬlчасTицтi(.), oднакo в oдllopoДнoмпoлe уpавнениe(22,8) имеeт.(,,) L t п , : s L n iи Лeгкo интегpиpуeтся' КoopдинатЬI цeнтра Масс г(,l)(t)в этoм сЛyчae пoлl]oстью oпpeдеЛяются eгo начаЛЬнЬIмсостoяниeМг1-1(t0), i{,,,1(to),Если система сoстoит из частицс кvЛoнoвским взаиМoдeйствиeми I]ах0дится вo внeшI]eMoдnopoдno^,магнитяol'1пoЛe в' тo вмeстo ypавнения (22,8) бyдeмч-lЁ,"'::Ё".,""\'\-z-...,.'L,l -aтhl \-r,,Lrц a2 (-' \ оrц(*,*):;Ё*)=.\22.71Слeдoвательнo,uмnb,lbс сuсmе,мь| o = iв р e м е ь е N lп o 0 д е ! ] с т в и е \ Iс \ v м ь ..J,]","'""'.NN.,.г:yj'" : г F- '.o, измeняеTсясo-..JrL\22.8)Если прoeкuиясyltlмыaнешних сиЛ на нeкoTopoeнапpавлellиenв пpoстpанствeравнануЛю.тo' как виднoиз (22'8)'пpoекuияиl\{луЛьсасистeмы частиц на этo llапpaвлeниeсoxpаняeтся.pn =pадиyс.вeктopмассг(,п)систeмыN частицoпpeдeлимцeнтPа(тeopeмаoсpеднемсyмrм)д"1яравeнствoмNN\ - , , , t -L r12ti=l--' \.t r l \ - - .12'ttL.i:l(22.s)J т o у p а в н e н и яе в J я e т с яa в ] o н o м н ы чп o o т н o ш е н и юк г l ' ' , ' { l ).l]ишЬдля частиц с oдинaкoвьlм oтнoшIeниeмэлeктpическoгo заpяда к массе еifmi.Ilp|1 зтoм yслoвии цerrтp мaсс гlеремeщаетсяв ltpoстpансTвекаK часTицас oтнoшeниeм3аpядак мaссе сi/m',oднaкo этo yс'.]oвие!]е вьlпoЛняeтся дЛя атoмнo.мoлекyЛяpнЬlхгIoЛe'т0 пpаваясистeм,Если систeма нахoдитсяв нeoднoрoДI]oм0т кoopдинaти' вo3"часTЬ (22,8) бyдeт сoдеpжaтьзависип{oсTьNlo)кнo.скopoстейчастиц в кoмбинацияx'нe свoдящихсяк кoм.(22,9),(22,l0).B такихслyчаяхкаxдаячaстицaпoбинациямoтдельнoсTи бyдет давать вKлад вo Bзаимoдeйствиe с в!]eшниltloтдeльныхлoЛeпrв правoйяасти (22.8)'Измeнeниeполох{eвийпoЛеза счeтсистeМывo внешнeмЧастицили кoнфигypации(вtlYтpенIlих'сиЛ мoжет пpивoдитьк дoпoлвитeЛьвoмуускopе.(22,8)эвoЛюцииимпyльсасистемы|lиюцeнтpамaсс.Уpавнeниeвo внeшнeMнeoднopoднoмпoЛe.таким oбpазoм,нe запpещаeтизмeнeний дBижения цeнтpа масс системьI за сЧeт действия(внYтpенниx'сил, B oтсyтствиевнeшIнeгoпoЛя такoе и3мeневиeи\1пyЛьсaсЙстeмЬII]ев0змo)кн0'3акoн сoхpaнeнияиМпyлЬсалeх(ит в oснoвe аI]ализаявЛeний самoпDoи3вoльнoгoDаспаДачастиц, oбеспeчиваяв сисTeмeoтсЧeTапеpвичнoйчастицьl pавeнствoнyлю сумМьl импyЛЬсoв,s 1",^.I9ЯfФЕ;бsБху;laЕ6iЁi:3;;*€ й'9;=^+ iEЕ;Еъ-6я{9-яi:оli'9'ъ<q* ; з=.]:чJo*зf=jjР;'l";кв'.^lтЕ|Ёa"-' -rL l .
\l],эz.6;ё.< Бэ-'"ъsъ€n:Еa L^l ltaИ! ц*jlG|Ф.'а11".:l S,9й9:=ъ|бEсlae]Ёьs=Gr€хё=:й? . 3=эr-zи! ц:-;]Р=&<i ^>'st*. I|g!'-lХ_ L!.rla И],l!IЦц1.хLrБ=,€, -и ] l L.еl€-'v;r2.!^'l:iЦi-. lИ . llr iaи{ ]1tаИ! цa.иJц.a,ЕЁi"Ёiii'.Ёiil; Ё.Ё :Ё:эЁ:Ё;:;iЁ:iJэ.:iiн.ЕЕ",.",.r ;::;i :ЁЁii :ЁР:ЁЁ:.?=iЕЁtЕЕЁi;i ;*Е:i€;ЕЁiЁ:;Ё1Ёg1iI.tЕseЕя6;;эЦ-i s Чq:з:ё2{*Ё*-=.= -;:,-i3sЕ.=:}: i:ЕЁ1ЁЁ::зэ!Е;аt a:::i ;;.j;iЁi*s.ii;iЁЕiЁЕёЕ};*дЕЕlsЕ::g:-i; !д9i* зя&=+9 я ?Е ] Е;E э1Y 3n ё >$: i g .
"э Ё *siEт-ас,iхсa,зЕаa138Г авo с" сu'.РrUtrвaющu\в вuvod2i'ц ц |Й L LIvlы видиl'{, чтo oбoбщенная энepгия такoй систe[Iьl частицпредставляeтсoбoй пoЛнy|oNIeханическyюэнepгию как сyммyкинeтичeскoiэнepгиисисТемЬlчасTиц?i(t):в { а и ! ! o , l е й с т в ичяа с l и L / , - "INl',!"с и с т е ] l t Ь lч а с т и ц с o х p а П я e т с я :z2Цr .j - lLi-l! Г,'l''tll 'с и п а ^ ] и B н Ь | рс и . 1 ь | o , l с y т . | ь v ю ]B JIo\l сЛ},b" пoс|oЯнPoя д.в ( 2 z , l 4 l п o л н o . т Ь ю o п D е 0 е Л я е| \ я н а ч а r 1 ьj |o , \ 4л и P a l I и Ч e с F ' ] \ ' (o.стoяниeмсистeмьl,4.
изп'енение вo врeмeяI,r мoмeнта импyльсa (хинeти.чeскoгo мoмeвта) систeмы. Пpeдставиltl ypавнeHия Лви)кeниЯсис,ГeIмыN частиц (22,5)в KoNпoIJеIJта^тtl)+}]1l'-,)(.'.l)'\22.1s)lг,гl\,\-,/,Гi',v,,:lJ,,.-./'|l]',,'lг, r,,7'122.t4)g Ц1с.'N,N|..'-'гд|) пo noлIloilуаpгуlteнтy:ФoрlIy.lа (22,17) пoзвo,'lяетпpсr'lставитЬуpавнение (22,l6),если внeшнeeпoлeявЛяeтсястациoнаpl]ыir'auilцt :o',,,.,: .*Ёl,l^t"]',J'п''ГPнuP.]'.Ьнoй,'rеplиисистeмЬIчастиЦвo внeЦ|lемлoлеf t,r;1.,.t;'Пo'']нaяэяеpгия' - - tчлpoи3Boднаяt|1.(г,;1r-k',t" l.,ir!rrl;r'|/2' энepгии' ' - t - *. s ,-! ,, .
, ' \ - u ' . . . r .'139часmuц$ 22,цuяa,quкa сшnе}ablвЗаu'цodеuсmвцющuх\,l'],,')-\_,д''1 - ' , i '"I\l 9" 9' ' o '| я lBтopая сyl1]vаслeва в (22.l8) и пepвая сyNlмаспPава явЛятeнзopаllи.Слeдoватeльнo,oста,1ЬныeдBe1l'Iсяси]\tNleтpичнЬllttитeнзop,I]oэToмyв (22,l8) тaк)кеoбразУютсиNtN1етpичныйсуNlNlьi\,1\-,, '' \-. д.'._,",-.rt z-'- 1"' Zt=t;i, ,, ,,,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
