Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 64
Текст из файла (страница 64)
рк У!!. Элеиентир«ые поэбуэкде«ия элекл~рп««пй систеиы металлов 335 Небольшая деформация в олпом из направлений приводит к увеличению в 2 раза периода решетки в этом направлении и умсньшению в 2 раза объема зоны Бриллюэна, так что число состояний в зоне становится равным половине от числа примитивных ячеек (числа атомов) (сравните (7.43) и (7.42)). 386 ЧАСТЫ1 7.7.4. Поверхности Ферми реальных металлов Построим теперь поверхность Ферми для некоторых реальных металлов. Начнем с элементов 1-» группы таблицы Менделеева. К ним относятся щелочные мен>аллы 1 Ь )Ча, К, РЬ, имеющие и и комнапюй темпе атпе ОЦК решетки и металлы Сн, А8, Ан, имеющие ГЦК решетки.
У щелочных металлов ([л, [Ча. К, РЬ) первая зона Брнллюэна — доль- ~А. ГА. Я,,А расстоянии Лт[[>/а от центра зоны, где и — период решетки. Объем долекаэдра равен 2(2нй/а) (7.44). >!исло состоя>пш в зоне Бр>шлюэна равз но числу атомов А> в кристалле (7.44). Поскольку элементы первой группы ол~овалентны. то в зоне Бриллюэна находится А> электронов. В каждом состоянии может находиться два электрона с противоположно направленными спинамн.
Таким образом, заполненный электронами объем составляет половину объема зоны Брпллюэна, то есть (2пЛ/а) . Приравнивая 3 данный> объем объему сферы с р>щиусом у,:, находим рв — — (6/и) 'и[>/а =1,24па/а. Проведем сферу Гаррисона радиуса рг из >/3 центра зоны (нулевое приближение). Минимальное расстояние между проведенной сферой н границами зоны Бриллюэна равно: А/2 и[>/а - рв = О, 17 тй/а, то есть радиус сферы составляет 83% от минимального расстояния от центра до границы зоны Брнллюэна. Учтем теперь отличное от нуля значение эффективного потенциала.
У ионов >целочных металлов заряд ядра относительно мал, а электронные оболочки заполнены, поэтому эффективный потенциал не может быть болыпнм. Прп небольшом расстоянии сферы от границ зон и малом эффективном потенциале дисперсия мала. Она привалит только к образованию на сфере12 неболыних выпуклостей в направлениях к центрам граней ромбического додекаэдра (рис. 7 — 23). Из эксперимента следует, что высота этих выпуклостей составляет приблизительно 0,3% у Ь[а; 0,9% у К, 17» у РЬ и 2% у Сж У СА АА А Р . БА — АА ~~ЩД АА >А . ТГ 2А). Наиболее близкие к центру восемь шестиугольных граней отстоят от центра на расстоянии Г[. = А/3 па/и, а шесть квадратных граней — на расстоянии ГХ = 2т~й(п, расстояние до вершины кубооктаэдра ГА=2,24>>>А/а.
Объем кубооктаэдра равен 4(2пй/а) (7.45). Поскольку рассматриваемые химические элементы также одновалентны. как предыдущие. то коллсктивнзированные электроны заполняют половину зоны Бриллюэна. Заполненный электронами объем соответствует сфере радиуса (3/2н)>[з 2яй/а = 1,56пл/а, Так~~ обра зом, радиус сферы только на — 9% менъше расстояния от центра зоны Бриллюэна до ее шестиугольных граней. Посколъку дисперсия определяется величиной разрыва энергии на границах зон (порядка удвоенной величины эффективного потенциала ионов), а величина эффективного потенциала у Сп, Ай и Лп должна быть существенно больше, чем у щелочных металлов в результате ббльшего заряда ядер, то можно ожидать сопрнкоснове>шя поверхности сферы с центрами шестиугольнык граней зоны Брнллюэна.
Это должно привести к разрыву сферической поверхности и образованию открытой поверхности Ферми в направлениях соприкосновения сферы с гранями зоны Брнллюэна (рис,7 — 25). Такая поверхность получила название «монстра». Как установлено экспериментально именно такие поверхности имеют металлы Сн, АдиЛц. Известно, что у щелочных металлов прп низких темпе а ах термодинамически устойчивыми являются плотно упакованные решетки: ГЦК и ГПУ.
Возникает вопрос: образу юз ся ли у щелочных металлов в этих кристаллических модификациях открытые поверхности Ферми, как у Сн, Ай и Лп? Этот вопрос, поскольку пока нет экспериментальных данных, остается открытым. Гл. ЛД Эте>>е»п>а[н>ые аозбужделия элен»Фаиной системы Ачетолшоа 387 Рис. 7-23. Зоил Брнллюэиа (рок>бичсский лодекаэлр) и поверхность Ферми у шедочных металлов Ь[. [Ча, К, РЬ Рис.
7-24 Первая зона Бриллюэнв ГЦК решеток (кубооктаэдр). Черные точки и точа à — узлы обратной решетки Х д [юй [1!0 [пв) () (б) Рис. 7-25. Поверхность Ферми (А>мопед»>) металлов Сщ Ай и Аи в обьемном изображении (а) и в разрезе (б) ЧАСть и Рис. 7 — 26. Дырочная изоэпсрге- тическая поверхность во ю.орой энергетической зоне алюминия. Рис. 7 — 27.
Элелчронные нзоэнергстические поверхности (трубки треугольного сечения) в третьей энергети кокай зоне алюминия Г!рименим теперь метол Гаррисона построения поверхности Ферми длл тр«гкялотогьтмегнялслов с ГЦХрешетлтн! с периодом и, например ° ЛГ Г-. БГ. У ГЦЛ Г. ° ° квл щЩ».. Л2ЯЛ Л.„. ус сферы Гаррисона лля трехвалентного металла находится пз условия равенства объема сферы Гаррисона 1,5 объемам зоны Брпллюэна 173 рг = (9/Зл) ~ 2пй/а = 2,2бял/а. Величина пг превосходит расстояние ГА от центра зоны до вершины кубоолтаздра. Таким образом, сфера Гаррисона, проведенная из центра зоны Г охватывает всю зону Бриллюэпа. Это означает, что первая энергетическая зона трехвалентных металлов с ГЦК реп~сткой полностью заполнена элсктропамп. Сферы Гаррисона, проведенные из центров соседних зон, расположенных в точках обозначенных на рис.
7 — 24 черными кружками, пройщут внутри первой зоны Бриллюзна, оставляя объем, ограниченный поверхностями отрицательной кривизны и принадлежащий одной сфере Гаррисона (рис. 7 — 2бд По приведенной выше классификации эта поверхность является дырочкой нзоэнергетнческой поверхностью во второй эпергетнческон зоне. Она представляет собой кубооктаэдр с вогнутыми внутрь гранями. Сферы, проведенные нз центрального узла ! и всех соседних узлов, пересекак тся, образуя вокруг всех ребер кубооктаэдра трубки, соединяющисся в вершинах, имеющие треугольное сечение и ограничивающие объем, принадлежащий одновременно трем сферам (рис. 7 — 27).
Трубки ограничены поверхностямн положительной кривизны. По классификации, следователыю соеднняюпщяся система трубок образует электронную изоэнергетическую поверхность в третьей энергетической зоне. Четыре сферы, пересекающиеся вблизи вершин зоны Бриллюэна, вырюают маленькие объемы, окружающие вершины зоны Бриллюзна. Ограничивающие их поверхности положительной кривизны образуют электронную изознергцтическу|о поверхность в четвертой энергетической зоне. Гл. Лй Элемепвляряые «озб>окдепвл электроняов) сясь«гяы,нет«плов 389 Заметим, что в модели Гаррисона построение поверхности Ферми проводится в нулеволг приближении, то есть в предположении, что модуль эффелтпвного потенциала равен нулю, но зоны Бриллюэна, образующиеся только при отличном от пуля потенциале решетки, тем не менее, существуют.
Прн отличном от пуля эффелтпвпом потенциале, очевидно, наиболее сильно должны нзьчеииться нзоэнергетические поверхности, ограничивающие малые объемы. Прп !!I,я! я 0 сфера Гаррисона трансформируется так, чтобы пересечь все границы зоны Брнллюэна под прямыми угламн. При увеличении !!7,я! электронные и дырочные поверхности в зонах уменьшщотся. Это связано с тем, что при увеличении !7/ла! увеличиваются ' энергетические разрывы на границах зоны Бриллюэна.,' в результате чего энергетически более выгодно заполнение ниже расположенных знерютическнх зон. При достаточно большом разрыве энергии нижняя энергетическая зона, имеющая дырочныс изознергетичсские поверхности в углах зоны Бриллюэпа, может заполниться полностью.
При этом дырочные поверхности в этой зоне исчезнут и, соответственно, уменьшаться !или также исчезнут) электронные изознсргетнческие поверхпосги в верхней зоне. Поскольку общий объем в р-пространстве, заполненный электронами, измениться не может, то при увеличении !с/,в! происходит лишь перерас' пределение электронов между энергетическими зонами.
В результате единая система электронных трубок в третьей зоне может разорваться в вершинах зоны Брнллюзна, образуя систему изолированных «булочею>, вытянутых вдоль ребер зоны. Прп этом электронные нзоэнергетнческпе поверхности в четвертой зоне всчезиут. Одновременно закругляются все стрые ребра у дырочной нзоэнергегической поверхности во второй зоне ребра электронных «булочек». Сформулируем теперь удобную скелгу длл ггостроеиггя поверхности Бермн методом Гаррисона в нулевом приблюкении. Она состоит из четыех операций.
!. Для данной решетки металла строится обратная решетка. 2. Около каждого узла обратной решетки строится ячейка Вигнера— Зейтца П зона Бриллюэна). Изменением масштаба в й раз осуществляется переход в р-пространство, заполненное примыкающими друг к другу зонами Брпллюэна. 3.
Определяется радиус сферы Гаррисона рг, выраженный в единицах пл/а, где а — параметр кристаллической решетки. Выбирается некоторый узел обратной решетки и вокруг него и соседних узлов проводятся сферы Гаррисона. 4. Изознергетические поверхности, образующиеся в результате пре! сечения сфер, классифицируются по правилам привелснным выше. Гл Г7! Энеиеинт~рные возбуждения электраииай системы металлов 391 390 ЧАС7Б 7! 7.7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
