Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 61
Текст из файла (страница 61)
— 2я/а <А- < — я/а, равная по объему первой зоне и прилегающая к ней (рис. 7 — 11). Все последующие зоны, границы которых соответствуют векторам и )г =+ — 1, (/ — целое число), г! оиредсляются аналогично. Зоны Бриллюэна для двумерного н трехмерного случаев рассматривались выше (пп. 2.4.3, 2.4.4). Зк 2я я я я 2я Зя и и и и и и Вторая зона Брнялюэна Рнс. 7 — 11. Первая я вторая зоны Брндлюэна дяя одномерной цепочки атомов Поскольку все зоны Брнллюэна содержат физически эквивалентные наборы волновых векторов, то волновым векторам, отличающимся на (2п/а)/, должны соответствовать одни и те же значения энергии, что приводит к периодической зависимости энергии от импульса (рис.
7-12)- Если эффективный потенциал равен нулю, электрон движется в решетке /к Лй Эленентарные возбуждения электронной снстепы.иазпиь»логэ 37! КаК СВОбОдиая ЧаСтИца С ЭНЕРГИЕЙ Е=(йя) /12я>я) (Пунхтнрияая КрИВая На 2! рис. 7 — 12), где 7> может меняться от нуля до сколь угодно бг »лысой величины. При наличии даже сколь угодно малого пернодическог о потенциала ситуация качественно изменяется: пространство значений веэлнового вектора разделяется на области физически эквивалентных знеччени>! (зоны Брнллюэна) н одновременно — возникает периодичность в зависимости эяергин от импульса.
Зпкпн г)ггснерснн и ггрггпедеггггпг) энне. >кно есп>ь завис>ьиость энерсчт электрона от еео »игн)ь»ьсп, получается псдвигом всех '> > частей параболической зависимости Е=(йпг) /(2>яо) для своЮодноц> электрона на векторы обратной решетки С =/(2п/п)е„(1=+1,+ ~, ) в область (7.36) приведенных значений 1г'. Результат таких траисляцнкй показан на рис.7-12 сплошными линиями.
Ветви закона дисперсии в приведенной зоне (кривые Л'В' и ЛС) получаются путем сдвига частей пар аболического закона дисперсии ЛВ (на вектор С= — (2п/а)е,) и А'С"' (на вектор С =+(2п(/п)е ). В результате получаем, что различным эн ергетяческим состояш>ям электрона соответствует одно и тоже значение приведенного вектора. -Зп/и О уо 8~/а 7> Рис. 7 — 12. Измененнс кяалратичного закона дисперсии электрона (»штриховая кривая) под влиянием перводического потенциала решетки: эквиааяе пгный сдвиг на векторы обратной решетки всех участков закона лиспсрснн в облас-ть приведенных значений волнового вектора. Результирующий закон дисперсии элпектрояа изображен силошнымн линиями Следовательно, не только разным )с соответствует один н тот же приведенный волновой вектор )г', но, как видно на рис.
7 — 12, ь >ожет существовать много электронных состояний с одним и тем же зна-чениеи приведенного волнового вектора )г', но соответствующих различнь-гм энергиям. Таким образом, нгренкднцитннгя инппрнпгнинпсть реппиетьи приво>)ит к янппгознпчнпснги нмнульсп и энергии электрона а р~игетке. 372 . ((РВ Элел7е777иариые позбуэкде77ня электронной системы метачяов 373 ЧАСТБ В 7.5.2. Влияние величины периодического решеточного потенциала. Запрешеипыс энергетические зоны Особенности движения элелтрона в металле нслосрслственно связаны с распространенном в периодической стрултуре крнстачла электронных волн — волн Блоха. Выше в 552.! были рассмотрены условия отражения пернолнческими структурами электромагнитнь7х волн.
Электронные волны можно рассматривать аналогично элслтромагнитпым, так как атомы, расположенные в узлах кристаллической структуры металла, являются рассеивающими центрами для коллективнзнрованных электронов, то есть элелтронньт волн. Будем рассматривать только упр)тое рассеяние, ири котором длиип элеки7роииой еп.7иы ие иэмеиятися. Для большинства валентных электронов, свободно перемещающихся по кристаллу.
рассеяние па атомах решетки мало. Условия рассеяния электронных волн рассматриваются аналогично условиям отражения злелтромагнитных волн. Прн этом кристалл представляется в виде семейств эквидистантных плоскостей, образованных атомалш решетки и проведсннь7х таким образом, что кшкдый атом решетки обязательно находится на какой-либо нз плоскостей данного семейства. Тогда, благодаря интерференции рассеянных атомными плоскостями волн.
эффелтивно отражаются только электронные волны, длины волн которых удовлетворяют устпп7ип Отн закал!) Брэееа — Вульфа дифракйии реиишеиопскнс лу !ей и криста!и!ее 2г(=Я. плп (с = 7//г( ((= (,2, 3..., Н вЂ” расстояние между атомными плоскостямн), кп;да рпзлптль фпз Б.77еэ7сду пи7раисеииын7! от спседтс! итпмиых нлпскотией иплиахт состпнтет целое число 2я. Сравнивая (7.37) н условие Брэгга — Вульфа, можно заключить, что электроны с волновымн векторами, соответствующими границам зон Брнллюэна, испытывают брэгговское отражение, так же как и фононы, с такими же волновыми векторами (см. п. 6.2.2).
Прп начожеиии падающей и отраженной волн образуются стоячие волны. Стоячая волна не переносит энергии и соответствует электрону с групповой скоростью Ук,=дЕ/др = 0 равной нулю, в отличие от бегущих р волн, для которых )7 „= дЕ/др = — е О . Существует только два типа стоян! чих волн. соответству7ощнх узлам или пучностям па отражаю7цих плоскостях. Для рассматриваемой ранее одномерной цепочки атомов, расположенных вдоль осп ОХ, с межатомным расстоянием а условие БрэггаВуяьфа принимает внд й = /, ((=+),+2 л- и Тогда, например, для электронов с импульсом р = п(7/а (волновым 'елтором (! = и/а) суперпозиция нада!ошей Ч'- е(!" и и отразкенной Ч' — е ' ск(и)х волн приводит к образованию двух стационарных состояний (дв) х стоячих волн) я,я ! — х -! — х т! Ч! -е и +с и со5 — х, а (7.38) ! — х -! .7 П Ч! е п с, и 51п х (7.39! а На рис.
7 — )3 под графиком потенциальной энергии электронов в линейной цепочке атомов схематически изображено распределение плотности заряда 7(!Ч7(х)! (9 — заряд электрона, !Ч7(х)! — плотность вероятности обнаружения электрона в точке с координатой х), для трех волновых функций: плоской бегушсй волны Ч7(х) (7.32), Ч' (т) (7.33) и Ч"(х) (7.39). Для свободного электрона, волновая функция которого представляет собой плоскую бегущую волну '17(х)-еа', распределение электронного заряда однородно, электрон равновероятно может находиться в любой точке кристалла. Для функции Ч' (х) плотность вероятности вблизи точки х = О, а также вблизи любого другого узла рассматриваемой линейной цепочки, больше, Рис.
7 — !3. (а) — потенциальная энергия электрона в од7юиерной цепочке атомов: з : (б) — распрслеленис электронной плотности д!Ч7(х)! лая электрона описываемого ш7оской волной (7.32) (штрихпупктирная прямая) и стоячими волнами (7.35) н (7.39) (штриховая и сплошная кривые) 374 Пз У!Б Элемелгпаряые возбуждения электронной свалены метл»»оп 375 ЧАСТБ и чем между узлами. Так как потенциальная энергия элелгронов вблизи ио нов отрицательна, то состоянию с функцией 'Р (х) соответствует значение энергии меньше.
чем прп равномерной плотности распределения заряда, на величину, пропорциональную потенциальной энергии электрона в поле эффективного решеточного потенциала ~/,„. По той же причине энергия состояния, описываемого функцией 'Р+, будет на величину пропорциональную (l,п больше, чем для состояния, описываемого плоской бегущей волной Ч'(х), так как дяя Ч'+ плотность заряда сосредоточена в основном в межатомиых областях.
гетичеслая зона о — д хЪ й зла аз а а зяй и гетическая 0 яй а Рис. 7-!4. Изменения закона дисперсии электрона при учете, как величины эффективного потенциала (а! так и его псриодичцости в приведенной зоне Брил»кои» (б! и я схеме расширенных зон (в) 3яй зк11 вп а д а На рисунке 7 †!4 а для одномерного случая показано изменение параболического закона дисперсии электронов на границе первой и второй зон Бриллюэна, связанное с брэгговским отражением н образованием двух энергетически различающихся состояний Ч" (точки В и В') и 'Р (точкп А и А').
На рис. 7 — 14 (б, в) в схеме приведенных (б) н в схеме расширенных (в) зон нзображен результирующий закон дисперсии с учетом, как неодно- значности электронного импульса в периодической структуре, так и брэгговского отражения электронных волн.
Энергетический спектр электро»се рпздеяяется на золы рпзрешенпых зничений и облпсьзц заиреиченлых зла«шлеи энергии — энергетические щели (значения энергий между точками А и В на рис. 7 — 14 а). Величина энергетических щелей в спектре связана не с кинематикой. а с потенциальной энергией взаимодействия электронов с ионами. Она зависит от величины эффективного потенциала ионов решетки (7га(г) для данного направления движения электрона и определяется соответствующей фурье-компонентой разложения потенциала 0„л по велторам обратной решетки (2л/а) / . Возникновение разрывов в энергетическом спектре означает, что определенным значениям энергии не соответствует никаких электронных состояний.
Достаточно слабый периодический потенциал (1,в(г) не может существенно изменить закон дисперсии вдали от границ зон Бриллюэна. При малых импульсах электрон в решетке движется, в первом приближении, как свободная частица с групповой скоростью У „= дЕ/др = р/ш. С ростом lс (и импульса р), приближаясь к границам зоны Бриллюэна, электрон как бы тормозится решеткой. При значениях х =+/(и/и) групповая скорость электронов Ъж = дЕ/др с импульсами р =+/(пй/и) становится равной нулю. Условие Ъ'„-дЕ/др = 0 на границе зоны Бриллюэна означает, что к ивая Е должна по ходить к г ани м зон с н левым наклоном касательной то есть нове хность Фе ми может пе есекать г ани 1 зон Б иллюэнатолько по и ямыми гламп. Обратим внимание на то, что трансляция отрезка кривой Е(р), расположенного в первой зоне Бриллюзна, приводит к образованию 1 энергетической зоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
