Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 63
Текст из файла (страница 63)
7 — 10 а). и являющиеся кривыми Ферми в первой энергетической зоне. Аналогично, нз "кусков" кривой во второй зоне Брпллюэна, образуются замкнутые, выпуклые изоэнергетические 330 ЧАСТЬ И Гл. ЛУ. Элеиента)энне возйуэкдени» электронной системы.иеталлав 331 крияые Ферми. расположенные нз сторонах квалрата первой зоны Бриллюэна (рнс.
7 — 19 б), соответствующие 11-ой энергетической зоне. Причем на одну зону Брнллюэна приходится одна вогнутая н две выпуклые изоэнергетнчсскне кривые Ферми. Рис. 7-!9. Обрязоззние замкнуть~я листов поверхности Ферми и 1 (з) и !! (б) энергетических зонах при трансляции на вектора обрвгной решегки кусков разорвавшейся иа границах первой зоны Бриллюзиа олружности Гаррисона (рис. 7 — 13) Концентрация вакзнтных мест (незаполненных состояний) в первой энергетической зоне определяется по формуле (с учетом вырождения по спину): 2У (2пй) где з — площадь, ограниченная кривой Ферми в первой зоне Бриллюэна (заштрихованная область на рис. 7 — 19 а). Концентрация электронов во второй энергетической зоне равна 4оп 11, = (2пй) гле 5 — плошадь одной из лвух нзоэнергетических кривых Ферми во второй зоне (заштрихованная область на рис.
7 — 19 б). 7.7.3. Построение поверхностей Ферзю методом Гаррисона для трехмерных решеток Методом расширенных зон удобно строить изоэнергетические поверхности для двумерных решеток. В трехмерном случае эта процедура усложняется необходимостью построения несколъких, примыкающих друг к другу зон Бриллюзна (1-й. 2-й, 3-й и т.д.), что в общем случае сложных хонфигураций 2-й, 3-й и т.д. зон приводит к потере иаглялности.
Поэтому вместо построена» нес»ольках зпн Бри.аюэпа (в методе расширенных зон) в методе Гаррисона рассматривается обратная решетка, представляющая собой шра»слираваннута первую зону Бршлюэна. А вместо л~рансзяг!ии отдельных л3с»ав павврхнасп!и Ферми (в методе расширенных зон) в методе Гаррисона строится множество сфер Гаррисона с радиусом рр из каждого узла обратной решетки. Рис. 7 — 20. Иллюстрация металз Гаррисона построения кривых Ферми лля плоской квадратной решетки.
Окружности Гаррисона проведены из узлов (черные точки) обрапюй решетки (центров первых зон Бриялюэнз в схеме рзс!знренных зон). !!зошзль 2 (заштрихованная), ограниченная воп~утыми линиями, нршшллежит только одному кругу Гаррисона и является дырочной поверхностью Ферми зо второй энергетической зове. Плон!али 3 и 4, ограниченные выпуклыми линиями, образованы наложением. соответственно, 3 и 4 кругов Гаррисона, представляют собой поверхности Ферми в Ш и !Н энергетических зонах, соответственгю Совокупность всех изоэпергетических поверхностей, получаемых при пересечении сфер Гаррисона, называется поверхностью Ферми.
Поверхности Ферми классифицируются следующим образом. !. Поверхности, ограничивающие состояния, незаполненные электронами, называются дырочными поверхностями Ферми, заполненные- электронными. 2. По топологии изоэнергетические поверхности делятся на два типа: открытые н закрытые. У залрытых поверхностей линии пересечения ее с любыми плоскостями замкнуты. Если существует хотя бы одно плоское сечение, которое дает незамкнутую кривую, то такая поверхность называется открытой. 3.
Замкнутые поверхности (в двумерном случае — »ривые), образованные кусками поверхностей (линий) отрицательной кривизны (вогнутыми внутрь) и ограничивающие обьем (площадь), принадлежащий одновременно и сферам (акрулснослшм), являются дырочными нзоэнергегическим поверхностями (кривити) в (л + 1)-й энергетической зоне. 4. Замкнутые поверхности (кривые), образованные кусками поверхностей (линий) положительной кривизны (выпуклыми линиями) и ограничившощие объем (гшощадь), принадлежащий одновременно л и более сфе- зз2 ЧАСТЬ и рам (окружпошняи), являются электронными изознергетнчсским поверхностями (кривыми) в л-й энергетической зоне. На рисунке 7 — 20 показано построение поверхности Ферми дя» пляской квийрптяпй решенвки с и периодом и и валентностью атолюв 4, В этом случае ==4, -И=4/п2, и аналогично (7.4!) вычисляем радиус окружности Гаррисона Ь Г2(2пЬ ) пй рк — — ~ — — = 1,6 —.
си П(а) а Первая зона Брпллюэна оказывая ется полностью заполненной. Лннцвг, ограничивающие плошадь 2, которая Рис. 7 — 21. Квазидвумериая кристаляи- находится внутри только одной окчсская структура Ь»а ружности Гаррисона, образуют ды- рочную пзоэнергетическую кривую во второй зоне. Кривыс, ограничнвшоише плошадь 3, хоторая находится внутри трех окружностей и включает центральную часть, принадлежащую четгярем окружностям, образуют электронную изоэнергетнческую кривую (розетку) в третьей энергетической зоне. И, наконец, кривые, ограничилшошпе плошадь 4, которая принадлежит четырем окружностям, образуют электронную изоэнергетическую кривую в четвертой энергетической зоне. Изменим теперь симметрию кристаллической решетки.
Рассмотрим, например, простую модель слоистой (квпзпдвунерпяй) решетки, у которой элементарная ячейка является прямоугольным параллелепипедом со сторонами а и Ь (рис. 7 — 2!). Слои имеют простую плоскую квадратную решетку с периодом и и раздеяены интервалами Ь > а, так что силы связи атомов в слоях существенно превышают силы связи между слоями. Ячейка обратной решетки (в импульсном масштабе — зона Бриллюэна) представляет собой параллелепипед со сторонами 2кя/а, 2пй/а и 2пй/Ь. Определим радиус сферы Гаррисона, счизая металл одновалентным (е = 1): 3~ 2яб пя Ря = и ~з вп! (г . о/з * (, о/з' Проведем сферы Гаррисона из узлов обратной решетки (центров зон Бриллюэна). Их сечение плоскостью (р„р ) приведено на рис. 7 — 22.
Черныс точки на рисунке обозначают узлы обратной решетки, пунктирные линии изображают сечения первых зон Брнллюэна. При а/Ь < /3/и = 0,93 Гя. ЫБ Эленеятаряые возбулсдения эяелвироняой систеиы жешиляов 383 выполняется неравенство пл/Ь< р1- <кя/а. В этом случае сфера Гаррисона пересекает верхшою и шпкнюю грани зоны Брнллюэна, не достигая боковых граней. ! Рис 7 — 22. Обрюовжшс сткрьпой изознергстической поверхности в квазилвумсриой структуре.
При пересечении сфер Гаррисона (рис. слева) обрюззстся чечевичной формы электронные поверхности во второй энергетической зоне (зтгемпены на рис.). Оставшиеся листы сфер Гаррисона формируют открытую электронную поверхность Фсрми в первой знергстической зоис (заштрихованная область в центре и справа). Отличие ог пуля эффсь гивиопз потенциала привалит к стяаживвиию поверхностей в местах их пересечения с границами зои Бриллюзиа (рис. справа) Изознергетическая поверхность в 1 зоне представляет собой гофрированный цилиндр (заштрнхован на рис. 7 — 22), простирающийся через всю обратную решетку в направлении оси рг.
Поверхносгь ограничивает обьем, принадлежащий одновременно одной и двум пересекающимся сферам. Замкнутая поверхность положительной кривизны, имеющая форму чечевицы (темная на рис. 7 — 22), ограничивает объем, принадлежащий двум сферам. Она образует электронную изоэнергетическую поверхность во В энергетической зоне. Если теперь учесть отличие от нуля эффективного потенциала, то острые углы вблизи линий пересечения сфер с гранями зоны Бриллюэна, исчезнут и зацепятся плавным переходом одной сферы к соседним. При этом пзоэнергетическая поверхность пересекает границы зоны Бриллюэна под прямыми углами (рнс. 7 — 22, справа). В трехмерном случае разделение нзоэиергатических поверхностей на электронные и дырочные усложняется тем, что открытые изоэнергетичсские поверхности (поверхности, переходящие из зоны в зону, например, типа гофрированного цилиндра) имеют одновременно участки положительной и отрицательной кривизны.
Поэтому открытые поверхности нель- ЧАС7'Ь П Тай«ноя Ъ'11-1 (7.42) (7.44) зя однозначно отнести к какому-либо определенному типу, но можно отнести к опрслелеиной энергетической зоил. Из рассмотренных выше примеров двумерных и квазндвумерных структур следует, что форэм поверхности Ферми зависит, во-первых, от валентнос ~ и атомов, определяющей радиус сферы Гаррисона, и. вовторых, от симметрии и параметров кристаллической структуры, определяющей форму и объем зоны Брпллюэна. Рассмотрпм теперь, как изменяется пвзъкя гиты Бргтлгпэиа иря иэлге«еиии шмсчепьрии крит««ля«ческий решетки «а «ризчере дв3сяерпыа струкиьур. Пусть все струлэуры имеют елпиичную плошадь !У=!.
В таблице Ъ'!! — ! сверку нзобра'кена плоская квадратная решетка (!) и соответствующая ей квадратная зона Бриллюэна, имеющая площадь ье =(.тй,п~ ~—— Р7 Й,, где и — ллина стороны элементарной ячейки, Ап =)У/пз = !/пз — число атомов (черпые точки) в структуре, Й, =(2п«) /гк =(2пЛ) — площадь одного электронного состояния в импульсном пространстве. Решетка (П) — квалратная центрпрованная, получена из решетки (1) добавлением атомов в центры элементарных ячеек. В структуре П на каждую элементарную ячейку тех же размеров приходится 2 атома, так что и э !т' = 2% .
Объем зоны Брнллюэна центрированиой решетки увеличивается в2 раза: «2ч'2п«2пл 2 и Решетка (П!) получена из (!) путем слабой деформации: каждыег четный слой атомов (светлые точки), перпепдикулярньш оси ОХ, слвигается на небольшое расстояние б вдоль осп ОЛ. Сколь угодно малая деформация приволит к удвоению периода стрултуры в направлении ОХ и, как следствие. — сокрапьению в 2 раза объема зоны Бриллюэна: йгц = (!/2)(2пй/п) = (1/2) Л/ш!2! . (7.43) Аналогичных результатов следует ожидать и в трехмерном случае.
При переходе от простой кубической решетки к ОЦК или ГЦК (размер элементарной ячейки и остается неизменным. а увеличивается число атомов) пръея зпиы Б итлшэ«а ваэ встает «и лситетея ав«ьчлг числ' и илга«гивиььг ячеек в к иеталяе: ~луцк =2(2~М~)э = Агэцк~! йгцк = 4(2пЧп) = А!гцк(2! ° (7.45) где !Уоцк — - 2И'/пэ, А!гт!к = 4%/пз — число примитивных ячеек (число атомов) в этих структурах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
