Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 67
Текст из файла (страница 67)
После этого реакция решетки становится больше внешней силы, что соответствует эффективному возрастанию отраженной от решетки компоненты электронной волны. Скорость электрона начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при квазиимпульсе р, =тй/и (на границе зоны Бриллюэна). При этол> значении импульса и!>/а электрон отражаетса от границы зоны Бриллюэна, его импульс изменяется на противоположный, что соответствует перебрасыванию в точку Р = — тй/а. Теперь электрон ускоряется в обратном направлении (скорость становится отрицательной) под действием сил реакции решетки, превышающих внешнюю силу (при значениях квазиимпульса -гй/а< рх < — Р ). При Р = Р ЧАСТБ В Ет Г71 Элеиептарпые возбуждения электраипай светел|ы метазлав 401 силы сравниваются, скорость достигает максимального отрицательного значения.
Прн — р < р <О электрон ззмедляется под действием силы ~о~б, так что его скорость обращается в нуль в центре зоны Бриллюэгш прн р = О, что соответствует второй точке остановки электрона в реальном пространстве. Движение электрона напоминает движение шарика, падаюгцего на упругую плиту в поле силы тяжести. Эффетпитюя .иасса у впитывает действие на электрон внутренних кристаллических сия и позволяет, таким образом, описывать движение электрона действием только вненшей силы.
Чтобы описать зависимость Ч„от р„, нрнзелениую на рис. 7 — 31 б, эффективная масса юя должна увеличиваться при увеличении импульса от р = 0 до р, при р = р изменить знак и стать отрицательной. При этом в точках р и — р эффективная масса обращается в бесконечность. То, что эффективная масса (рис. 7 — 3( в) не опрелеленз внутри энергетической зоны (вблизи р'), не позволяет записать аналитически закон дисперсии сразу' лля всей зоны. Простая аналитическая запись закона дисперсии возможна, как мы вплели Я7.9), только вблизи дна и потолка зоны, гле масса слабо меняется и можно считать т = сопзь В одномерном случае представить двилсеипе элекпгргтп одновременна и в г —, и в р — прастрппспгвах можно с помощью рнс 7 — 32.
На рис. 7 — 32 а изображены валентная зона и зона проводимости, дно которой находится в некоторой точке зоны Ьрнллюэна. Энергию и импульс будем отсчитывать от дна зоны проводимости. Потолку зоны проводимости соответствует максимальное значение импульса р „=+яй/а. Разрешенные (дважды выршкленные по спину) энергетические состояния в каждой зоне условно изображены горизонтальными линиями. Без поля электрон находится на одном из уровней энергетическая зоны и может перемещаться ядоль кристалла на любые расстояния, имея патпаяинае значение кинетической энергии и квазииипухьса.
Пусть без поля (Е=О) электрон находился на дне зоны проводимости (р, =О, В=О) и в момент включения электрического поля г = 0 имел координату х, = 0 (рис. 7 — 32 а). Во внешнем электрическом поле с напряженностью ( — Ее„) к кинетической энергии Е электрона добавляется потшщиальная энергия Е „= = — ~О~Ех (при нормировке Ежи(х=0) = 0), так, что теперь лалла» энергия Е„= Е+ Е,„ж остается ластаяппой во время движения. Таким образом, двигаясь вдоль осн ОХ под действием силы Е (пунктирная линия на рнс. 7 — 32 а) электрон приобретает кинетическую энергию, равную убыли потенциальной ЛЕ= — ЬЕ „. В точке хз = Е„ /ЦЕ электрон достигает потолка зоны. Далее, поскольку скорость электрона становится отрица- тельной (элел-трон перескакиваег в область — тй/а < р,<0 на рис.
7 — 3! б), то он возвращается в точку х, = О. Таким образом, электрон совершает колебательное движение в координатном пространстве между точками, в которых его кинетическая энергия минимальна (точка х,) и соответствует дну зоны и максимальна (точка хз) и соответствует потолку зоны. ,=0 хз х,=О хг (а) (б) Рис. 7 — 32. Изменение кинетической энергии Е(х) при движении электрона в г линейной цепочке атомов в электрическом палс с напряженностью о, направленной противопояо;кно оси ОУО Элекгрон совершает колебательное движение между точками с координатами х, и хь в которых скорость электрона равняется пулю Если по осн ординат откладывать полную энергию Ео = Е+ Е „то, ва-первых, колебательное движение электрона изображается горизонтальным отрезком прямой, параллельной оси ОХ (рис.
7 — 32 б). Ва-вторых, зсе уровни энергии в зонах (горизонтальные при 6=0 на рис. 7 — 32 а) одинаково наклонены за счет добавления потенциальной энергии. Наклон границ зон в координатном пространстве определяется зависимостью потенциальной энергии Е „(х) от координат. Энергии, соответствующие дну и потолку зоны проводимости, зависят от х, соответственно: Ео'(л) =-М!Ех; ЕОГ(х) =Е „,— ~4Ех. Таким образом кинетическая энергия электрона, атсчи|панпая ат дпа зоны правадтиасти, в потенциальном поле яволется функцией координат Е(х) = Ео Еги(х) = Ео — !д~ Е .т. При отсутствии сил трения (диссипацни энергии) колебательное движение электрона будет продолжаться до бесконечности с постоянной амплитудой.
Изменение кинетической энергии, совпадающее с шириной оЕ Ча(ОТЬ и энергетической зоны, равно работе, которую совершает постоянная сила !в!Е при перемещении электрона хз — ха и 2хо (между двумя точками ос- тановки в кристалле): гзЕ = )(7аб2 го .
Отсюда амплптула колебаний равна ЬЕ «о = (7.56) 2ЦЕ За один период Т колебаний под действием силы !д! Е импульс электрона изменяется на величину — 2паа/а = !а)!а'Т, откуда частота колебаний равна ойб й7.11. Электропроводность металлов. Квазиклассическое описание 7.11.1 Модель Лифшица Рассмотрим металл единичного объема со сферической поверхностью Ферми (близкими поверхностями обладшот металлы первой группы периодической системы элементов Менделеева) и квадратичным законом дисперсии я Е=— 2ааа* (7.57) Т 2пл Ширина энергетической зоны ЬЕ в металлах составляет величину порядка нескольких электрон-вольт.
При значениях напряженности электрического поля Š— 10 В/и амплитуда достигает величин -10 м. Колебания -4 4 с такой гигантской амшаитудой должны были бы совершаться с низкой частотой е — 50 Гц. Так ьак длина свободного пробега электрона значительно меньше ожидаемой алаплитуды колебаний, то такое периодическое движение электрона в кристалле не осуществляется. Электрон совершает не колебательное, а поступательное движение на коротких участках пути между последоватсльнымп актами рассеяния. Мы приходим к парадоксальааоьау заключению, что отсутствие рассеяния привело бы не к бесконечному росту электрического тока, каь это было бы в свободном пространстве, а к возникновению переменного тока с частотой (близкой к промышленной частоте 50 Гц), зависящей от напряженности а)риложеааного электрического поля.
Гх. ЛЕ Элемеятврлые возбуэасдвааия элекшролной системы мвщаллов , вщаллов 403 Пусть т — время релаксации процессов рассеяния электронов на тепловых колебаниях решетки, связанное с длиной свободного пробега г = пят. Во внешнем электрическом поле с напряженностью Е, направленной по оси О'а', все эле сны п поб етают дополнительный с дний импульс др и Ьр„= — ебт .
з = (7.53) Поверхность Ферми целиком, как жесткий каркас, сдяигается на величину Ьр,. В результате сдвига электроны уходят из состояний в полумесяце 3, а заполняют состояния в полумесяце 1 (рис. 7 — 33 а). Выделим объем средней части ферми-шара (заштрихованная область на рисунке), электроны которого не дают вклада в элелтропроводаюсть, так как их суммарный импульс равен нулю. При этом остается еще один полумесяц — 2, заполненный элелтронами, и граиичащии с полумесяцем 1. П лу 1. По месяцы 1 и 2 имеют примерно одинаковые объемы вследствие малости смешения Ьр, по сравнению с рг. Электроны, заполняющие состояния в объемах 1 и 2. имеют нескомпснсированные импульсы и ответственны за электропроводность металлов, двигаясь со скоростью Чг влево.
! в б Рис.7 — 33 . в — сдвиг поверхности Ферми на — аьч,. в электрическом поле, направленном вдоль оси ОХ В Раоультате сдвига электроны уходят из состояний в полумесяце 3, а заполняют состояния в полумесяце 1. Электроны средней чисти Ферми-шара (заштрихованная область) не лают вклада в эяектропроводносгь. так как для каждого электрона в этой области существует парный электрон с противоположным импульсом. о — модель Друде — Лореитца: смещение поверхности Ферми в электрическом поле с напряженностью Е па величину !ор~ = Ьва — — ебт Вычислим плотность электрического тока, создаваемого электронами одного из полумссяцев, например, — !. Для вычисления количества электронов разобьем объем полумесяца на кольца, оси которых совпадают с осью ОХ.
Радиус произвольно выбранного колечка равен рг гйпо, ширина — оп — р аИ, плошадь — а!5 = 2пррайпба!6, а толщина соответствует со- ЧАСТБ П ставлякидей Лр„перпендикулярной гИ Л»»яг — — Лр, соз б (6 — угол л»ежду осью ОЛ и направлением импульса электронов рк). Объем колечка »112 =г15.ЛР,, Число элелтронов в колечке (удвоенное за счет разных направлений спина) равно числу элементарных квантовых состояний в объеме»11): »(ьг 4лрьг . Лр, 5к. ЛР »1»»=2 = к 'з)пбсазб»16= ь ' ипбсокб»!6, (759) (2лй) (2лй)з (2лй)з г где 5г — — 4лР»: — плошадь повеРхности»РеРл»»» в Р-пРостРанстве.
Полное число электронов. занимающих состояния в полумесяцах 1 и 2 и принимающих участие в создании электрического тока, равно к)г к/г Лпг — — 2) г(и= .' ) з)пб.с»»або= = — ф~г, (759а) 25„Лрх Г 5„»11», 3 , (.)з '. (2 )з '- - ' (4/3) лрг -' 5РРР где иа = 2 ' =: — полное число- коллективнзированных ("лй»)' 3 (2 г»)' электроноа в сфере Ферми. Вклад в плотность электрического тока электронов колечка равен »(/(6)=е»1л.)г . (7.60) Поскальлу в случае сферической поверхности Ферьп» скорость и нмпу»»ьс элок» ранов направлены одинаково, та.'»скок»пане»»та скорости )г электронов равна )'» =1дсозб. (7.61) Заметим. что среднее значение компоненты 1»„лля элекзронов в объел»ах 1 и 2 равно 2 2 (зх) = ! 'г»»1»» = — 'гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
