Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 66
Текст из файла (страница 66)
На рпс. 7 — 29 представлен энергетический спектр В!. Потолок Ъ' энергетической зоны в точке Т зоны Бр»шлюэиа расположен выше по шкале эцерги»К чем дно зоны проводимости (л»! энергетической зоны) в точках 1.. Зона Бриллюэна для В! близка по форме к кубооктаэдру (рис. 7 — 24), Рис. 7-29.
Энергетический спектр полул»стелла В». в котором потолок валеитиой зоны в точкс Т зоил~ Бриллюэиа расположен выше дна зоны проводимости в точке 1. Число свободных сосгояииГУ в экстремуме Т равно числу запятых злектроиами состояний в объеме, ограниченной понерхностЫо 4УерлУи, в тачке 1 сплюснутому в направлении [1 ! 1). Точки 1. в этом направлении после деформации обозначаются буквой Т. Электроны пз экстремума Т перетекают в состояния с меньшей энергией, расположенные вблизи 1 . В точках 1.
(их всего 6) образуются три электронные поверхности Ферми эллипсоидальной формь» и в точках Т (их 2) — олпа дырочиая поверхность. Такие вешества с равным числол» электронов и дырок, образованных за счет перекрытия зои, иазываюзся полуметялламп. 1л Л1 Элел»енл»ар»»ые воэбз эгдеаия элекл»роя»»ой системы Уиеталлав 395 97.9. Эффективпаа масса и скорость фсрмиевских электронов в кристалле 7.9.1. Теизор эффективной массы Группоапя скорослуь л» движения электрона в кристалле определяется законом дисперсии и равна ! ЭЕ »1Е дЕ ЭЕ ЭЕ ЛУ= — — = — = Е + — Ег+ Е 1» уй» »1р дрх др . " др 1Хз»»е»»е»»»уе импульса электрона под действием внешней силы описывается уравнением движения Ньютона: др — = Б или — = — Р. с% ! (7.46) У!1 вй »и Кол»понеиты вектора ускорения электрона.
используя определение скорости, можно записать в виде: — — — — — — Р», (7.47) где 1 = х, у, а и А = т, у, -.. Сравиивая (7.47) с уравнением дв»пкеиия (7.46), видим, что коэффициенты при компонентах силы играют роль обратной эффективной массы дзЕ электрона.
Девять коэффпш»еитов ш. ' = составляют так иазываедрудр» мый тепзор обратной эффективной массы электрона в кристалле, который обозначается (7.43) йз д»»;Э»»». Эр;др» Поскольку групповая скорость 5» = дгп»! (Е(р)) фермиевских электронов всегда направлена по нормали к изоэнергетической поверхности, то есть определяется формой изоэпергетических поверхностей. то в общем случае направления векторов импульса и скорости ие совпадшот друг с другом. Теизор второго ранга — тензор эффективных масс луа осушествляет математическое преобразование одного вектора в другой »!»аУ ' (7.49) Физический смысл теизора [ш')-' и[»»»*»») — ' связан с динамикой Ри" "у" "' " Лу .УУп" у ' УЮуМХМ элект опа вн еииих сил в к исталле. Действительно, в уравнении движения электрона (7.46) в явном виде присутствует только внешняя сила Р. Гл.
ПЬ Эне.ванн!араме иозбуоггденил электронной системы метитлиа 397 зрб ЧАСТЬ И а все аншнренние с!саьг взаимодействия элелтрона с решеткой включены в тензор эффективных масс. Тензор эффелтивных масс связывает вектора р н Ъ' в фиксированной точке импульсного пространства. Каждой точке на поверхности Ферми (каждому значению импульса электрона) соответствует свой тснзор эффелтивных масс. В разных точках р тснзоры могут быть различны.
Ситуация упрощается только для изоэнергетнческнх поверхностей эллнпсоидалыюй форлгы вблизи точек, соответствующих эксгремальпым значениям энергии. Пусть эксгрсмум (лно нли потолок) энергетической зоны расположен в некоторой точке 1. с импульсом р,. Тогда в окрестности этой точки энерги!о можно разложить в ряд по степеням (р — р!) ... где р, р, — импульсы, отсчитанные от центра зоны Брнлтоэна. В главных осях тензора эффективных масс разложение будет иметь вид.
(Р. Рь ) (1г Рьх) (Р Ры) н! !л " Е(р) = Е( р! )+— (7.50) нг* где учтено, что члены разложения первой степени по (р — рл) отсутствуют, поскольку в экстремальньт точках дЕ/др!~ =О. В этом случае кампа' ле ненты тензо а э ектнвных масс не зависят от нл!п льса н являются постоянными величнналги %г", = — нг*,,' = дзЕ/др,"-~ нь Таким образом, обрантан эффгтннанан а!исси и!',; определяет кринизну дзЕ/др,.- хит!ею!ости Е(рг). На рнс. 7 — 29 энергетического спектра полуметалла кривизна зависимостей энергии от импульса Е(р„,) в точках экстРемУмов Т и Ь Различна, посколькУ ~тт~ > ~н!ь~. Прн отсчете энергии н импульса от экстремумов выражение для энергии (7.50) 2т*х 2т*, 2гл* 2т* Е 2тих Е 2н!*, Е прелставляет собой уравнение эллипсоида. Таким образол!, вблизи экстремальных точек изоэнергетнческие поверхности, в том числе и поверхности Ферми.
имеют эллипсоидальную форму (рис. 7 — 30). Киггниненты г лгггл в!. ° „,.чи..ь„г,/г„;,,гг г г-- ределятт иназатронта эллнпсоидигьных изоэнергетических иоиерхнасгн~и. Заметим, что изменение начала отсчета эиерп!и и ил!пульса не влияет на скорость У = г/Е/ггр, так как ЛЕ(р,„) = г!Е(р) н г1р = г!р. Поскольку энергию и импульс всегда принято отсчитывать от экстремумов зон, то в дальнейшем индекс т у импульсов ставиться ие будет.
7.9.2. Скорость элелтронв Скорость электрона вблизи экстремума салтана с его ив!пульсах! тензориз! эффективных масс с учетом (7.51) следующим образом: дЕ дЕ дЕ дЕ У= — = — ехч — е„+ е др др дри др 1 ! ргех+ — р„е„+ — р,е =(нгз~ р. (7.52) Поэтому в общем случае векторы схорости У и кваззп!мпульса р не совпадают друг с другом по направлению, кроме случая сферической симметрии изоэнергетических поверхностей (рнс.7 — 30). При этом вектор скорости всегда направлен по норллали к нзоэнергетической поверхности, так как является градиентом энергии в р-пространстве ( У = дВ/др ).
Рис. 7-30. Электронныс (затемненныс) и лырочная (белая) изоэнергетнчсскне поверхности вблизи экстремальиыл точек О. Вектор скорости, нзобраягенный пунктирной стрелкой, совладает с вектором импульса толь* ко в случае сферической алек!раиной поверхности (гя*>0)нли в рациональных направлениях (р, 11 У,). Для рх дырочных сферических поверхиостсй РИУ Вблизи минимума энергии, у дна зоны, где дзЕ/др„з > 0 и и! *>О, электрон ведет себя как отрицательно заряженная частица с положительной эффективной массой.
В рациональных направлениях схорость движен!и электрона совпадает по направлению с квазиимпульсом (рис. 7 — 30). У потолка энергетической зоны, где даЕ/др '- < 0 и н! „*<О, скорость' электрона направлена против квазиимпульса, если его отсчитывать от потолка зоны (Е',), как показано на рнс. 7 — 30 . Следует отметить, что в аналитическом виде выражения для закона дисперсии и эффективной массы можно получить только вблизи экстремумов энергии в зоне, где справедяиво разложение энергии в ряд Тейлора до квадратичного члена. чясть и ~~7.10. Движение электронов в металле под действием вне>иного эле>стрического полн Рассмотрим для простоты одномерную цепочку атомов, расположенных вдоль осп ОХ.
Расстояние между атомалш равно а. Для данной одномерной структуры на е рпс. 7 — а ! пзооражены зави- »Е >зе Р симости кинетической энер: 'г эзе эае гии Е, скорости Рг = дЕ/др, и »»> >!лз эффективной массы ш*ы и л>ы =(дзЕ/ЭР;'.) электРоиа от компоненты импульса р„.
В точках экстремумов энергии кв (о — О, р, =+ай/и) у нижнего и и р'— а» (а! йе (в! Рис. 7 — 3 !. Зависимости ст импульса р„энергии Е >а). скорости !', !б) и массы >а' (в) электрона в одномерной папочке атомов. 1!вправление екоросги зле«трона в электрическом иоле с напряженностью Е («апра»ленной противоположно оси ОХ> показано на кривой Ъ'„(Ра) стРелками. ГоРизонтальвые стРелки указыва>от направление переброса элеюропа из состояиия с импульсом — тй/а в состояние с импульсом — тй/а н верхнего краев энергетической зоны скорость движения электрона равна»улю. Пусть однородное электрическое поле с напряженностью Е направлено противоположно оси О'ь( Рассмотрим один валентный элелтрон в зоне проводимости, импульс р и энергия Е которого равны нулю (центр зоны Брпллюэна) в отсутствие поля. Под действием внешней силы со стороны электрического поля Р = >)Е = !г!!>ге,, (7.53) направленной вдоль оси ОХ, квазнимпульс электрона, согласно уравнению движения г!р/г(г = Е, линейно возраста- ет со временем Р,=)9! Е г (7.54) от нуля до значения р, = гй/а (рис.
7 — 31 а). Дальнейшее увеличение квазиим- Ед ЛЕ Элеиел>парные возбуждения электрол«ой спел>ены ме>по»лов 399 пульса в схеме приведенных зоп соответствует изл>еиению импульса в интервале ( — тй/а,О), так как точки с импульсами (+пй/и ) и ( — тй/и! 4н>зически эквивалентны. Таким образом, в схеме приведенных зон, вектор квазиимпульса электрона периодически изменяется со временем от значения ( — пй/и ) до (+ пЦп ). Каждь>й раз, когда квазиимпульс достигает значения ( Р = пб/и ) на границе зоны Брнллюэна, он «скачком» меняется на обратный: электрон зеркально отражается от границы зоны Бриллюэна. Период движения на основании (7.54) равен Т= фз 2п>> (7.55) !г!!Е пЦЕ Заметим, что в модели расширенных зон импульс электрона це испытывает ьюкачков», а увелйчнвается линейно со врел>енем неограниченно, так что при движении электрон преодолевает все новые и новые энергетические «горкш>, высота которых равна ширине энергетической зоны (рис.
7-3 ! а). Групповая скорость электрона и его эффективная масса однозначно определяются законом дисперсии Е = Е(РУ \г, = дЕ/д7> и — ! л>« =(дзЕ/дрз) . Вид закона дисперсии и соответствующих ему зависн- мости К, и и> отр изображены па рис. 7 — 31 а, б, в, соответственно. Физическая интерпретация этих зависимостей следующая.
В начале движения (от р = О), когда квазиимпульс электрона мал, пРоисходит обычное Ускорение электрона, при котором его скорость ь> увеличивается в направлении внешней силы Р. Прн увеличении квазиимпульса р электрон в импульсном пространстве движется к границе зоны Бриллюэна. При этом скорость электрона нарастает не так быстро, как для свободного элекгрона, так как часть ускоряющей внешней силы идет на преодоление реакции решетки. Рост скорости постепенно замедляется и прп значении квазиимпульса р' (рис. 7 — 31 б) скорость достигает максимального значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
