Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Для оценки Гл. И1. Элементарные врэбуэкдеююгт электррнпай системы тетпелрв 409 рассмотрнл! электрон в полумесяце ! с нмпульсом, направленным противоположно направлению напряженности поля Б (рис. 7 — 34). При каждом взапмалействин электрона с фаноном направление импульса изменяется на небольшой угол е (рнс. 7 — 34), так что величина праекцнн импульса электрона на заданное направление Б изменяется па велнчину Лсюс = с)ойп(к/2) = с)2/(2)с,) (770а) Эффелтивность рассеяння обратно пропорциональна числу актов взаимодействия, необходимых для рассеяния.
При кажлам акте взаимодействия проекшгя импульса электрона на направление электрического поля нзменяется на г5,)„, Среднее число актов взаимодействия, приводящее к измепешво волнового вектора гс„на велнчнну — юс„равно юсе/(гхкюсе) . Эта означает, что эффективность рассеяния составляет г5 )с,/)с, = 42/2)се . (7.70б) Волновой вектор электрона имеет порядок предельного значення волнового вектора фононов, возннкшошнх прн харалгерной дебаевской температуре.
Поэтому можно запи- сать Рис.7 — 34, Акт взаимодействия эяеюрюна с аалнаяым век!аром к„с фоновом — 9, не приводящий к рассеянию в процессе электраправа- днасти 0 0! 02 О,з 0,4 Рнс 7 35 ЭкспеРименталь и ю данные для балынога чнсча ма!аллоя (Ао Ха Са А1, йй) ложатся на представленнуго зяансимасгь сопротивления, дезсннага на сга значение прн температуре О С. ат отношения Т/Тр (Тр — температура Дебая) юг(Ух 9) )гсо Т (с, дггш й(Увдггю) йш, Тр Тогда выраженне (7.706) примет вид Ы,/7, =(Т/Т )2.
(7.71) Таким образом, в электропроводностн эффективность рассеяния электронов на фонопах (7.71) уменьшается с понижением температуры 2 пропорциональна (Т/Тр) . Таким образом, с ростом температуры число фононов увеличивается пропорциональна Тз, а эффективность взаимодействия растет пропорционально Тз. В результате прн повышении температуры удельное электрическое сопротивление возрастает — Т', а электропроводность а уменьша- 5 ется -Т . Зависимость сопротивления -Т в литературе называется законом Блоха (рнс. 7 — 35).
ч!стБ т! Закон Блоха и-7 ' прн низких температурах является следствием квантовых эффектов. так же как н закон Дебаа С- Т лля теплоемкости з решетки. В дейстянтельностн. в результате сложности энергетического спектра электронов н фононов и правил отбора при их взаимодействии (определяющих рязрешецные значения импульсов на основании законов сохранения импульса и энергии) низкотемпературная часть электрического сопротивления при понижении температуры может уменьшаться более мелленно. чем Т'. 57Л2.
Электрон!!ай топлоомкость ('(Т) = !гвт ° ЛЛ = — квт °:И =ЗеИ " (7 72а) 3 3 21,,т (й„т)з 2" 2" Е, Для малярной теплоемкости (гИ = Ил) имеем г((I !'вт Си — — — — — бЕ в -Т. Йт Еи (7. 726) Более иючиыя яычисляии» основаны на использовании функции плотности заполнения электронных состояний и соотношения (7.20): У =(Е(Т)) = ~ Е'р(Г) т(Е)г!Е = Ф()з)+ (!гвт) ~ ° (7 73) о Электроны в металле вырождены.
Это значит, что к ним не применимо распределение Максвелла-Больцмана и теорема о равнораспределенни энергии по степеням свободы, которая позволяет легко рассчитать теплосмкость идеального газа. Однако в тепловых явлениях. так же как и в электропроволности. принимает участие только неболыпая (по сравнению с полным числом валентных электронов) часть электронов — фермневские электроны. Оцепишь эпектраипый яклаг! я теплаеикасть твердых тел можно, рассматривая фермневские электроны как идеальный газ.
Тогда, принимая за число фермиевскнх электронов ЬИ половину от числа состояний в слое толцшной 4)гвт (+21вт вблизи уровня Ферми), люжно записать 2ЬИ!(аИ) = 4!гвт!Ег (гИ вЂ” полное число валентцых электронов). Для тепловой энергии фермиевских электронов, каждый из которых имеет энергию (3/2) lсвт, получаем выражение Угс Л!. Элецяшиариыя яозб)окдеипя элеюиропиой спстецы меппп»оа 4! 4!! где Е(Т! — энергия всех валентцых электронов при температуре Т. Ф(Е) г описывается формулой(7.!7): Ф(Е)= ) Е-р(Е))Е.
о Из первого сяагаемого (7.73), учитывая слабую зависимость химического потенциала от температуры (7.22). выделим полную энергию Ет( ) всех электронов при Т= 0 К: и Ея Ф(!з)=) Е р(Е)я!Е= ) Ерг!Е+(Ер) ()з — Еи)= о о з Ли,т) г!Ф(Е) скольку — = Е.
р(Е), то дЕ Е +р =Ег~ 1 +р(ЕР)= Ег +р(Еи)= р(Ег). з в и и = Ик (7.746) ! м ! где Е = Б И вЂ” универсальна газовая постоянная. в л Лрпмечаикя 1. Решеточная теплоемкость металлов при Т ь Ти близка к ЗЕ по закону Д!олопга и Птл. Поскольку в этих условиях Акт«Ен то электронная теплосмкость пренебрежимо мала по сравнению с решеточной тепло- емкостью.
Однако. прн температурах значительно меньших температуры Дебая Т«То, когда теплоемкость решетки уменьшается с температурой пропорционально -Тз, электронная теплоемкость ниже определенной температуры (-! К) начинает превосходить решеточную. Таким образом, выражение (7.73) принимает внд пз (1;Т)з (!(Т) = Ер(0)+ — (1 Т) р(Еи)= Ев(0)+ — и, (774а) и где у учтено, что для металлов плотность состояний на уровне Ферми Р(ЕР) =(3!(2)0! Еи) . Сравнивая (7.74а) и (7.72а) видим, что =(и-"76)(и! Ег Угвт в (7.74а) соответствует числу фермиевских элелтронов ЬИ в (7.72а). Малярная теплоемкость прп постоянном объеме равна (при . (7. 74а)) С, '~ ™(1,„Т).р(Е,) 'зЕ ° г(Т Зи 2 Еи ЧАСТЬ П 2.
. Если уровень Ферми (в немсталлическом кристалле) совпадает с верхней границей энергетической полосы (потолком зоны), то прн температурах, не достаточных лля перехода элекзронон в более высокую энергетическую зону, электронная теплоемкость отсутствует. 97ЛЗ. Электропнап теплопроводпоеть В те о теплопроводности, как н в электропроводностн, принимают участие только е мисвскне эчект оны.
Рассматривая газ фермиевских электронов как идеальный. можно воспользоваться известным выражением для коэффициента теплопронодности идеального газа (см., например, !6Л!4)) х = П/3) СР,(„. (7.75) пронодности от импульса Ферми, длины свободного пробега электронов (времени релаксации) и температуры: ЛДт ! йзрзт 1йз -' Х= — — (= — "".(= — Р.Тт 3 рк 9 Ьз х 9 ЯЗ х (7.76) . 7.13.1 Электронное теплосопротнвлепне Для электронного теплосопротивлення (аналогично соотношению ( . ) для фононного (решеточного) теплосопротнвления) с учетом лн- (6.! !5) нсйной зависимости электронной теплоемкостн от температуры можно записать (9,лЬЗ ~ ! 1( 1 1 ! 1 А т у т«„т,, (7.77) фф н енг А 9шб /(ьнр„) не зависит от температуры о„.„частоты рассеяния электронон на фононах, дефектах и других электронах, соответственно.
Поскольку для обмена энергией йнт, то есть для рассеяния, достаточйр ~ » , »щ»»««««~ где С =(л/й я) С« — теплосмкость единицы объема, С,. — молярная теплоемкость, к! «о~к д!я — число Авогадро, и — лслиая концентрация колл~кги~изироввнных электронов, Х = акт — длина свободного пробега, Х Х р тх время свободного пробега (нремя релаксации) при переносе электронами тепла. Подставляя в (7.75) выражение для С, (7.74б) и, учитывая, что (4/3) л р;. Рк (2лй)- 2ш л = 2 ' н Ег —— — ~, находим зависимость коэффициента тепло- Ги ЛЬ Элднеллтрлые возбулсдепвя элеюяронпой системы метазлов 413 элелт онов на ал стичсских 3 сионах оп е еляется только числом ассеи в с<вдч,ь Тнким образом, можно полагать, что основной вкла в тепловое сои отинлеиие вносит ассеяние элс онов на г пионах.
7 13.2. Электрон-фононное рассеяние В электронное теплосопротивление дают вклады как Иъ так и (/- процессы электрон-фононного рассеяния: Ф!")Л,е'„' +Ч, ''! (. 8) Частота рассеяния пропорциональна числу рассеиваюших центров, то есть числу фононов. В области Т> Тв число фононов пропорционально температуре (6.118), так что теилосоп отннление и коэ ициент теплел оно ности не зависят от темпе а ы в этой области температур. Прн Тс< Тл поскольку частота Х- и (У-процессов прн рассеянии электронов определяются числом фононов (6. 117) и (6.123), то „Т и о =(зехр 3 « — 3 «-у ~ 2Т~ где и и () — некоторые коэффициенты.
Тогда теплосонротнвленне имеет следузошую температурную зависимост3л (7.79) Ф(го =А гхТ + — ехр В той области температур, где процессами переброса можно пренебречь по сравнению с И-процессами ш,цБолее эффективным, как говорилось ранее, являются процессы рассеяния на продольных фононах, чем на поперечных (модуляция плотности при сдвиговых волнах значительно слабее, чем при волнах сжатия). Однако в (1-п оцессах пе еб оса э 3 ектннно ассепвшот и попе ечные пионы.
Поскольку процессы переброса «вымерзают» прн понижении температуры, то интенсивность рассеяния понижается с уменьшением температуры за счет уменьшения числа рассеивающих центров (выбывания поперечных фононов). При не очень низких температурах, когда в совершенных кристаллах число фононов еше значительно превосходит число дефектов, рассеяние » на фононах доминирует в,г> в,,„ь Частота электрон-электронного рассеяния всегда значительно меньше частоты рассеяния электронов на фопонах или на дефектах 4!4 ЧАСТБ И х2 ( = ( — = 2,45.10 'Вт Ом)/К . 3! е! Егадг — ~ 0 Е Е Е 0 Ек (7.82) Ф(«) — Тз;((' - Т-2", (7.80) При очень низких температурах, гле основным механизмом, ограничивающим длину свободного пробега, становится рассеяние электронов па дефектах, ч„,г» 3~«эа паРаметРы (('), Р, цк не зависЯт от темпеРатУР11 Н Фг -Т, у(') -Т.
(7.81) Качественный вид зависимости коэффициента теплопроводности металлов от температуры изображен на рнс. 7 — Зб. СлеТ дует также учитывать, что в теплопровод- ности принимает участие и решетка, по сопя! для дллыииисгиаа гяешяллаа як«ад элекгяраяиай я1еялалраааг)яася1и яаляегисл Т оиределяаои(и.п.
Рис. 7-Зб. Электронная тепло- В общем случае теплопроводность пронолпосгь типичных метал- металлов складывается из электронной и яоя фононной частей, как параллельных путей переноса тепловой энергии. Поэтому суммарное теплосопротивление Фт, как при параллельном соединении проволников, равно !/Фз. — — !! Ф .. +!АРФ,, что означает, что коэффициент l («) 7 (Т) теплопроволности металла т = )7Ф, является суммой электронного у и фононного у~ коэффициентов у=у +)(Г 7.13.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
