Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(7.61 а) Л»»г 3 Выражение (7.60) с учетом (7.59) и (7.61) принимает вид 5г. Л)»,. »Г» = е. Й». )г,. = е ' . 1г»йп б. созе 6»И . ( Б)з Суммируя плотность тока от всех колец, и учитывая наличие второго. полумесяца, получим выражение для полной плотности тока кгг и/г »5г»'гЛРг г г 2е5в»'рЛРг /=2 ! г(»'= ) гйпб.соз 6»16= " " . (7.62) (2лг»)»» З(2лЬ) Используя (7.59а), манию придать иной внд формуле (7.62) для плотности тока: Гп. )гП. Эле»»е»п»»ариые яозбулсде»»ия электронной системы,четаллоя 405 (7.62 а) Ь,~,1 2 » = е — . — ~'г = еЛл» вЂ” 1н, ~(2„г»)з~ 3 нли !! ! вре !' Та (7.66) я» а выражение для плотности тока (7.64) принимает вид, совпадающий с извеспюй формулой Друде — Лорентца для электропроводности: егят (7.67) »!» 7.11.2.
Модель Друде-Лорентца В модели Друде — Лорентца электроны описываются газом свободных частиц и предполагается, что в электропроводнасти участвуют все эяеятрояы (рис. 7 — 33 б), движущиеся со средней дрейфовой скоростью Л1'г = Лрг /и» = еЕт/»»», приобретаемой электронами на длине свободного пробега С = Угт за врел»я т. Тогда плотность тока запишется в виде, совпадающем с (7.62 б) и (7.67): ег г /=ея М' = — »»аЛРг = — »»аБ'т=е-»»аь— 0 У »я »я Рв / = »а '(Л)гг /»»») .
(7.62 б) Для электронов проводил»ости — фермпевских электронов длина и мя свободного проаега связаны соотношением 1 = 1'вт. (7.63) ким образол», используя (7.58) н (7.63), выра»кение (7.62) для плотности электрического тока запишется в виде: 2 е-5„1 (7.64) 3 (2„6)з Полученное соотношение (7.64) соответствует дифференциальному зако»» ну Ома / = ор с коэффициентом электропроводности Ь 2 ег5г1 8еглрг~ т (7.65) и=— 3 (2 ~)з 3(2 ~)з т* Соотношение (7.64) было впервые получено И.М.Лифшицем и спраг ведлива для изатропного закона дисперсии, когда Е =ЯР ).
Квадратичнь»н Е-» г» закон днсперсю» представляет собой частный случай закона Е =Яр ), так же как и линейный закон дисперсии, который можно представить в виде Е = +а(рг) /г . Используя связь и = 2 (4/3) лрз /(2лд)з, из (7 65) находим ЧАСТ)Ы1 Т«. Л1. Э«к««е««тпр««ые возбуэ«сде»««» электронной с««стен систеиы ме«лтьтоп 407 7.11.3.
Рассеяние электронов Процессы рассеяния в элелтропроволностн приводят к выбыванню фермиевскнх электронов из потока, создающего электрический ток, то есть персорасыван«яо электронов из полумесяцев 1 и 2 в свободные состояния в полумесяце 3 (рис. 7 — 33 а). Прн этом импульс электронов изменяется на величину порядка «5р =р„. Рассеиваясь, эяелтропы передают решетке прпобретенну«о в электрическом поле энерпно.
которая выделяется в виде джоулева тепла. В результате релаксацнонных процессов устанавливается инамическое авновесие межлу электронами, поступающими в области 1, 2 в результате их ускорения полем, и электронамн, перебрась«ваемыми из этих областей в область 3 в результате рассеяния. Рассеяние электрона с изменен««ем его импульса на бр =р„может п«о««сход««ть только п и любом на шенин ичеальной пе нолнчностц: тепловые кояебанил решетки (фонопы), дефектъ«(дислокации, вакансии, примесныс атомы), флуктуации самосогласованного поля (рассеяние электронов на электронах). Ка>кд«,«й механизм рассеянна характеризуется частотой т, временем т = 11««н длиной свободного пробега ( = $'гт, где Гв — фсрл«««свская скорость элелчронов. Обратим внимание еше раз на то, что, говоря о рассеянии, следует различать частоту взаимодействия и частоту рассеяния.
Частота рассеяния определяется не только частотой взаимодействия, но н его эффелгнвностью прн данном процессе рассеяния. Прн эффективности взаимодействия равной единице каждое взаимодействие приводит к рассеянию. В электропроводности для рассеяния необходимо, чтобы импульс электрона изменился на вел«шину порядка самого импульса. Если эффективность взаимодействия меньше единицы, то для изменения импульса на Лр=рг требуется неко«орое количество единичных актов взаимодействия. Отпили«)с«)сгивие электр»ил» с ««еп«)««орпд««пспш««««и де«(«еитп««и кристаллической решетки связано с возникновением в области дефекта ло«ального электростатического потенциала.
Характер рассеяния (кулоновского взаимодействия) электрона на потенциале дефекта зависит от всроятносги рождения фонона в результате взаимодействия. Если такая яероятность мала, то взаимодействие с дефектом будет, главным образом, упругим. С понижением температуры. естественно, вероятность упругих взанмолействнй электронов с дефектамн увеличивается в результате уменьшения вероятности рождения фононов. Импульс электрона прн упругом взаимодействии передается всей кристаллической решетке как целому (как в эффекте «л«ессбауэра). Прн абсолютном нуле температуры, когда тепловые фононы отсутствуют, электроны рассеиваются только на нарушениях кристаллической решетки.
Поскольку электроны не могут нзмснить свою энергию в основ- ном состоянии, ТО , то неслютря на значительную интенсивность рассеяния, и Т=О К может быть только аосолютно взаимодействие электронов при упруг«вж Рпссе»иие электронов пп «1«п««п««пх. Мехи««««зл«взаимед едейстши элек- т онов с фононами связан с тем, что фоно у ру н как п гая волна создает в тронов бластн сжатия и разряжения. представляюш««е лл тр я элел она элект оны рас- дополннтельный периодический потенциал. на котором эле р р сеиваются.
вия в электропроЭффективность электрон-фононного взаимодействия в эле тр водности при 1«Ц к««р««~ (Ч вЂ” в «~ ( — волновой вектор фонона) близка ь единице только для ()-процессов переброса. Чтобы эффективность взаимодействия была порядка единицы в )л«-процессах, им у п лье ~юнона должен быть по- рядка фермпевского импульса 1«Ц = )р Д.
Эффелтивность взаимодействия электронов с фононамн уменьшается п и увеличении ллины волны фононов (уменьшении Ч), когла размеры при увеличении областей сжатия и разряжения увеличиваются, я, а, следовательно, умень- шаются градиенты потенциала и силы, дей у жтв юшие иа электрон. Таким образом, эффективность электрон-фононного взаимодействия стремится к — эО(). — > ). п о ольнымн Наиболее эффективно электроны взаимоденствуют с пр д фононамн, поскольку сдвиговые (поперечнье) «) волны создают лишь сла- бую модуляцию плотности н потенциала в решетке.
Рассеяние электронов на фононах дает определяющ ю ий вклад в элек- трическое сопр отивление. Рассеяние на неодноролностях и дефектах ре- шетки, если нх не очень мног, г~ о, гущественно только при низких темпера- ', турах, когда фононов мало, где оно опреде ет ' «у, чя всличн«, так называемого остаточного сопр сопротивления при Т= 0 К. Электрон-электронное рассеяние, в результате м алости эффективного сечения взаимодействия, так же мало. 7.11.4. Температурная зависимость электропроводностн при рассеянии ца фоноивх Числа ппзоуисде««««ь«х «ро««о«««)я Частота рассеяния т«= / — (««), =1/т — ~ «7, прежде всего, зависит от числа рассеивающих центров, то есть числа фо .
фононов «г«). Среднее число воз( »/ нов и 7 заданной поляризации при температуре Трасбуждеш«ых фоион в 7 считывается аналогично среднеи энергии ф фононов п и вычислении решер точной теплоем кости ((б.85) —:(6.87)): ЧАСТ6 И ш, !" /= ) " -Иш)( и где <юг„> — среднее чнсло фононов, возбужденньгх в каждом состоянии с частотой со (распределение Бозе — Эйнштейна), Тэ(ш) — плотность фононнлгх состояний.
Аналогично (6.85) получим: ))юа Тюг 2кр е 1гр,, / „2„,7 где х.= — н (вТ' Т ~„Т = )вТ~ †„ ~ Пргг инэкнх тенперрнюгррх Т кТюг верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечности, тогда, используя значение интеграла ) хз/(ех — 1)сгх= 2!",(3) = 22;1/н2 = 2,4..., где Т(х) — дзета-функция О ! Рнмана, получаем (н ~ = 7 21т'(Т/Тгг) (7.68) )7 рн высркггх нюаперртурвх Т> Тр, поскольку х ссюювпгся малым параметром, та, разложив экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим (гг, ) =1,5Д7(Т/Тр) .
(7.69) Эю/и/юекпюнвнрспгь рпссеяпня и знвнсюютреть зяектррнрююврдююнгти рт тенпернтурью При Т> Т„импульсы электроноа и фононов имеют адан и тот же по- ' рядок величнны лЛ/р . Поэтому при каждом акте взаплюдействня импульс электрона изменяется на величину самого импульса, то есть каждый акт взаимолействия приводит к рассеянию. Число рассеивающих центров— фононов изменяется пропорционально температуре (7.69).
Поэтом этому т — 1/Т и а — 1/Т. Удельное сопротивление пропорционально температуре. П ри низких температурах Т«Тр импульс фонанов мал с)«кг и кахсдый акт взаимодействия не является рассеянием, так как электрон продолжает оставаться в числе электронов, участаугошнх в электрапроводностн (нс выходит нз объемов 1, 2). Поэтому, когда импульс фонона мал, а процессы переброса затрулнены, рассеяние, то есть переход электронов из обьемов 1 и 2 в 3 может осуществляться только в результате днффузионнога блуждания электрона по поверхности Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
