Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Аналогичная трансляция отрезков кривых Е(р), расположенных во 2-й, 3-й и т.д. зонах Бриллюэна, приводит, соответственно, к образованию П, 1!1 и т.д. энергетических зон в спектре электронов. Подвог!я ппюги, подчеркнем еше раз, что образование «полосатого» энергетического спектра, состоящего из областей разрешенных и запрещенных значений энергий — фундаментальное свойство, природа которого в брэгговском отражении электронных волн периодическими структурами.
й7.6. Электрон-решеточное полиризационное взаимодействие До сих пор мы рассматривали движение фермиевского электрона с массцй и в поле неподвижных ионов кристаллической решетки. Напомним, что появление массы ш вместо массы свободного элелтрона ю» является следствием учета сильного электрон — электронного взаимодействия в Ен. 'г71. Элементарные возбуждения электронной сгютемы метавлов 377 376 ЧАС7Б 11 Ферми — жидкости. Массы ни н бн связаны соотношением: т =(1+ 1г)бнб. Коэффициент !г для большинства металлов не превышает 0,12. Учтем теперь, что ионы решетки могут смешаться в результате взаимодействия с электронами. Пролетая со скоростью Ферми между двумя ионами, электрон сообшает им короткие импульсы силы. Под действием этого импульса ионы начинают смешаться навстречу друг другу. Так как собственная частота колебаний ионов -10' с ', а скорость электрона б !гг — 10 м/с, то за время максимального смешения ионов электрон смешаегся вперед на расстояние -! 000 А'.
Таким образом. за электроном движется область сжатия ионной решетки, обладающая положительным избыточным зарядом. Напичне такой области тормозит движение электрона, что приводит к увеличению эффективной массы электрона: под действием внешней силы такой электрон движется как более тяжелая частица. Изменение массы электрона описывается соотношением т* = (! + Л)т. где Л называется константой электрон-фонопного взаимодействия. У разных металлов она различна. Например, у Ыа, А1 и РЬ расчетные значения Л составляют соответственно 0,19, 0,5 и 1,6. Б7.7.
Заполнение энергетических зон электронами. Изоэпергетнческие поверхности. Поверхность Ферми 7.7. !. Поверхность Ферми у двумерных кристаллов Расслютрим двумерный кристалл с плоской квадратной ретегнкай с бгврнадом а. Два электрона (с учетом противоположного направления спинов) занимают в плоском р-пространстве кплощадь», равную (2пй) 15 (76), где 5 — плошадь двумерного кристалла. Зависимости энергии от импульса в первой зоне Брнллюэна в направлениях <100> и <1! 0> (п, н пз на рис.
7 — ! 6) изображены на рнс. 7 — 15 (кривые 1 и 2, соответственно). Прн малой концентрации электронов импульс Ферми р„мал, закон дисперсии для фермиевских электронов близок к квадратичному Е = р 12нп и кривая Ферми (поверхность — в трехмерном случае) при Ег< Е' представляет собой в р — пространстве окружность с радиусом р =. (2тЕ . По Р ч Е мере роста концентрации электронов н приближения импульса Ферми к границе зоны Бриллюэна зависимость Е(р) начинает отклоняться от параболической, причем в направлении п, (<100>) это отклонение начинает проявляться раньше, то есть при меньших значениях импульса, чем в направлении пз (<110>). Это связано с тем, что в направлении п, граница зоны Бриллюэна находится ближе, чем в направлении пз (рис.
7 — 15). Одну н ту же энергию Е" электрон имеет при разных значениях импульса: р " при движении в направлении п,, рз"— при движении вдоль направления пц 1 причем р,">рз" (рис. 7 — !5). По этой — — — — — -т — 2 ! причине, с ростом концентрации электронов, окружность Ферми начинает ! ! как бы притягиваться (образуя "вы- — — — — ! пуклость") к серединам границ зоны , ! Бриллюэна, расположенным наиболее Е ! ! близко к центру зоны (рис. 7 — 16).
! ! ! !! ! Степень искажения окружности определяется как близостью к границе р'р"р" яй (2я)г а зоны, так и величиной эффективного Рассеивающего потенциала. При даль- 1, 7 !5 3 д р Е ) нейшем увеличении концентрашпг лля электрона в плоской квадратной замкнутая изоэнергетическая кривая рею~тле: кривая ! соответствует разрывается в местах "выпуклостей". импульсу электрона, направленному Она пересекает границу зоны под пря- вдоль одной из сгорал решетки. мым углом, так как нормальная со- а2 — бдольлиагоначн ставляюшая скорости равна нулю на 'у границе зоны Бриллюэна: \н =.
= б1Е1б1р„ = 0 Происходит качественное и. изменение топологии кривой Ферми, при котором замкнутая односвязная кривая переходит в многосвязную. Пбь Характер дальнейшего изменения кривой Ферми при увеличении концентрации электронов зависит от величины разрыва энергии ЬЕ=2-~(7вг~ на границе первой и второй зон Бриллюэна. Имеются две различные возРие.7-16. Иляюсграпия изменения формы поверхности Ферми с ростом 1). АЕ настолько велико, что ми- коицентрация электронов в лвумернимумы энергии во второй энергетической зоне Е;„', расположенные в направлениях <100> (п,), лежат выше максимумов энергии Е ,„' в первой зоне, которые располггкены в углах первой зоны Брнллюэна в направлениях <110> (пз).
Электроны сначала заполняют все разрешенные состояния в первой зоне, а затем,при увеличении концентрации, заполняют вторую энергетическую зону. Между зонами образуется энергетическая щель. В этом случае одновалентное кристаллическое вещество будет металлом, двухвалентное — диэлектриком или полупроводником, в зависимости от величины энергетической щели ЧЛС7Б И 378 Еы <ПО> 0 <!00> Рпс. 7-!7. Закон дисперсии элекзропов в плоской квадратной решетке лля двух направлений вол1ювого вектора (<!00> и <!!О>) в случае перекрытия ! н 11 энергетических зоп (б) Е- = Ет!в Ешлх . (7.40) 2).
Если ЬЕ не велико, так что Е„„;,л < Е, (рпс. 7 — 17). то первая и вторая зоны перекрываются. Это означаст, что прн Ег больше минимального значеннл энергии в направлении <100> во второй зоне, одновременно с заполненном свободных состояний в первой зоне начнут заполняться состояния и во в'юрой зоне (рнс. 7 — 17). В такой ситуаш!н даже Лвухвалептный кристалл остается металлом. В одномерном случае этого пропзоГ|тн не может, твк как всегда все зоны отделены друг от друга. 7.7.2. Построение поверхиостл! Ферми в модели расширенных зон Брнллюэня Рассмотрим в качестве примера трехввлентныГ! (е = 3) двумерныГ! металл единичной площади с плоской квадратной решеткой с периодом а.
Число атомов, приходящихся на единицу плошади решетки, равно !У = 1/аз, а концентршшя коллектпвизпровапных электронов л=:Л~ =3/аз. Определим ралнус рв окружности Ферми, используя модель свободных электронов, то есть, считая, что потенциал решетки равен нулю. Валентные злелтрань!, число которых равно л. заполняют круг, радиус которого рг определяется из условия с)У = 2 „ . где ~~2тй) (2яГ!) размер плошади элементарного электронного состояния в пространстве импульсов, а 2 учитывает возможность находиться в каждом состоянии двум электронам с противоположными спинами. Из полученного условия вычисляется фермиевский импульс: рл — — 2пГ! е = ~ — = 1,38 —.
!з)У 2пй 1 3 пй (7.41) 2п а )12q а Таким образом, величина рг определяется объемом зоны Бриллюэна н валентностыо металла. Проведем в р-пространстве из начала координат р = 0 окружность радиуса р„. Аналог этой окружности в трехмерном пространстве называется сферой Гаррисона.
Поскольку полагалось, что С„л -— О, то проведенная окружность Гаррисона (рис. 7 — 18 а) является только нулевым приближением модели свободных электронов. Гж ИЕ Эяечелл!арпые возбуждал!т элекллрапвой системы метазтов 379 Как только появляется отличное от нуля эффективное периодическое поле (7де О, то границы зон Брнллюэна становятся плоскостямн (в двумерном случае — лнниялзп), на которых энергия испытывает разрыв. Поскольку поверхность Ферми может пересекать границу зон только под прямыми углами, окружность разрывается на границе зон на отдельные куски (рнс. 7-18 б). В трехмерном случае говорят, что сфера Гаррисона разрывается на отдельные листы. Рвс.
7-1 Х. Пестро<вне поверхности Ферми в свекле расширенных зон Брнллюэпв: (в) — в пулевом прнблпжснии повсрхпосп, Ферми — сфера; (б) — прн учете поте!шпала решетки происходит разрыв поверхности Ферми па границе 1-й зоны Брнллюэна. Участки сферы Гаррисона нвхолвшнеся в 1-й зоне Брилюоэпа формируют листы поверхности Ферми в! эпсргеглческой зоне.
а участки, пеходяп!псся во 2-й зоне Бряллюэпа — лиепа поверхности Ферми во й энергез ической зоне В схеме расширенных зон энергия в р-пространстве является периодической функцией. В заданном направлении импульса ее период равен расстоянию между границами зон Бриллюэна в этом направлении. Учитывая сказанное, проведем трансляцию образовавшихся отдельных "кусков" окружности Гаррисона на ~у(2пл/а ) (! = 1, 2, 3, ) вдоль осей р„ н р, Из *'кусков" кривых, расположенных я первой зоне, получаются замкнутые, вогнутые изоэнергетнческая кривые, расположенные в углах первой зоны Бриллюэна (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
