Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Для -того сначала воспользуемся моделью идеального газа для описания снсемы электронов, а затем учтем эффекты, связанные с взаимодействием .лектропов лруг с другом и с фопонамп. й7.2. Модель идеального газа для электронов в кристалле Так как а и иближенип идеального газа все элект оны дви тся не р К) зависимо друг от друга, то, чтобы нагон энергетический спектр всей системы электронов, достаточно рассмотреть движение одного электрона. Это, так называемое одноэлектроиное приближение. 7.2.1. Кристалл, как потенциальная пма длп электронов благодаря кулоновскому полю положгпельно заряженных ионов полная энергия электронов в кристалле ниже, чем в вакууме иа величину, определяющую работу выхода электронов при внешнем фотоэффекте. Поэтому кристалл для электронов можно рассматривать как потенциальный апшк, ограниченный поверхностью кристалла, с постоянным значением потенциала внутри объема кристалла.
ЧАСТЬ и: Рассмотрнлт сначала электрон в одномерной потенциальной яме, показанной на рнс. 7 — !. Чтобы выйстн за предеяь) потенцн- ()® альной ямы электрон должен обладать О 7.„ кинетической энергией Е превышающей поте)шиальный барьер (потепцнальную энергию электрона в кристалле) (7(х) =- Ц (рис. 7 — 1). В протнвнолт случае движение электрона ограничено стенкалш потенцнальпой ямы с коордннатамн х = О и л = 1х Для того, чтобы описать движение электронов в потенциальной яме можно Р .7! В было бы поло;кать волновую функцию 'ис. 7-!. Потенциальная эверпм элекгроча с)(х) я одномерном ЭЛЕКтраиа РаВНОЙ. >тПРНМЕР, ПУЛЮ На ЕЕ границах. В результате отражений волн стационарные решшшя такой сис)елсы нзобража)пюь бы стоячимн волнами.
Однако чтобы учесть возможность движения электрона в области потенциальной ямы, будем считать, что волновая функция пернолична по У., и определена во всели пространстве как бегущая волна с однородной платностыо вероятности Ч'Ч'* = 1/Ех (в отличие от стоячих вол)к для которых Ч'Ч' =(2/~.)л!пз (ттлх/Е) ) н имеет одинаковые значения на границах крис стаяла: Ч 1х+1.х)=Ч'О (7.1)' что обеспечивает непрерывность волновой функции на гранипах потенциальной ямы. Танис периодические нлн с)ютичвскив граничные усювтт (7.1) (услствня Бориа-Кармана) исключшат необходимость рассмотрения процессов рассеяния электрона на границах кристалла, сохраняя возможность использования бегущих волн для описания электронов.
Усяавне периодичности (7. !) лля комплексной амплитуды волновой функции электрона Ч'(г.г)= Све(~ ""), где ю — частота, а )с — волновой вектор электронной волны де-Бройля, запишется в виде: )С!хе)ч) !)ч Отсюда следует, что ехр( — !)ст, ) = 1, то есть сох(Ых) = 1, что накладывает ограничения на допустимые значения волнового вектора (а, следовательно, и ямпулъса р =Ис ), которые в потенциальной яме становятся дис-, кретными (квантованными) и равными Учитывая условия нормировки ) Ч'Ч'*с(х =1.
комплексная амплнтуо да волновой функции электрона Ч'(т), которую в дальнейшем будем называть просто волновой функцией, приобретает вид: лр)(х) = — ецзх7)- )7 ' ))/з 17.3) 1 Энергетнческттм спектром электронов называетнся набор разаеисеттих значетт энергии, которые эввктроны .)лавут иметь лри двиэтсвнии в лр иснтсътянч есной ртнетке. В потенциальной яме энергетический спектр электрона становится дискретным (квантованным): или импульса р: 2л6 . 2лтт 2лтт, Р 7 Р— 7 ° Р-— я=б х' У=с т' (7.5) .Х ч где /„, /,., / = О, +1, +2,..., получаем, что каждое разрешенное состояние занимает элементарный квантовый объем в пространстве (2л) (2л) С,ХБ Б )С I волновых векторов )с (7.6) (2лт)) !с и импульсов р: где )ч'= 7.,7 7,=:Г объем кристалла.
Квант импульса Дв = 2ятс/!.„, так же как н квант энергии ЛЕ = ~в„/2то . в лействительности очень малы, и спектр электрона можно ' считать квазпнепрерывиым. В нтрехиерлат случае для потенциальной ямы в форме параллелепипеда со сторонамн Е.„т„„С, нз условия квантования компонент л.„!с„тс волнового вектора )с (7.2): 2л . 2л 2л . тс = — /., х = — т, !с (7.4) Х з 352 ЧАСть !! Квантование волнового вектора (импульса) приводит к «яянпшяапат кинетической мгертгн. Положим для простоты (.,=Е,=(, =!., тогда для кинетической энергии получим выражение: Аз(6 А7+!)) !12 Г2п') (2 Л)2 2пв 2по1 ! ! 2л'ой-"!З где 1- = );.
+ 1-, + 1-' Из формулы (7.7) видно, что одно и то жс значение кинетической энергии (при фиксированном !) может осуществляться при помощи раз личных комбинаций чисел!„„~,. и!-. Это означает, что нескольким квантовым состояниям с различными волновымп функциями отвечает одно и тоже значение энерпш. Этп состояния являются вырожденными. Напри- а мер, уровень энергии с ! = б для кубической потеншальной ямы может реализоваться тремя различными комбинациями чисел (/„ут, 1-.): (2,1,1) (1,2,1), (1,1,2),то есть является трехкратно вырожденным. 7.2.2.
Импульс н энергии Ферми Ограничение движения электронов приводит к тому, что непрерывный энергетический спекгр Е = Р~!(2лО, характерный для свободного электрона, становится дискретным, с квантояаннымн значениями импульса (7.б) и энергии (7.7) для электрона, двиягущегося в ограниченном 'пространстве кристалла. Будем рассматривать я дальнейшем кристалл единичного объема !.,(,(з = й'= 1.
В таком кристалле число (концентрация) коялслтивизированных электронов равна к = гд( где !т — число атомов, - — их валентность. Согласно принципу РЕ Паули для ферми-частиц, в каждом состоянии, Ё,;. занимающем обьем в р-пространстве равный (2пл)з, может находиться только два электроРу на с противоположно направленнымн спинами Прн абсолютном нуле температуры электроны Рх занимают самые низкие энергетические со- Р .7 2С4, Ф ис. — .
'фсря ерми в стояния, что и описывается распределением Ферми — Дирака (рис. 7 — За), для которого вероятность заполнения состояний с энергией (Е<(г) ниже химического потенциала )г при 7'= 0 равна единице, а выше (Е > р), — нулю. Таким образом, при Т= 0 электроны заполняют в р-пространстве сферу (рнс.7 — 2), радиус которой ря — — ЫР определяется из равенства числа электронов 2)т' удвоенному (за счет спиновых состояний) числу зле!с ментарных квантовых ячеек (7.6) в объеме (4/3) и Рз сферы, то есть Р 4 !я Л! Эяенектарлые еозбуждепяя электронной сиате им металлов 353 (4/3)п Рьз (7.3) (2 )3 Максимально возможные значениЯ пмпУльса Рг и соответствУюшей ему энергии Ег электронов при Т=О, называются. соответственно, импульсом п энергией Ферми.
Изоэнергетическая (Е = Ек = сопя.) поверхность (нли совокупность поверхностей см. ниже) в пространстве импульсов, внутри которой все состояния заполнены при Т = О, называется поверхностью Ферми. Импульс и энергия Ферми на основании (7.в) определяются следующими соотношениями: 2 ! 2 рР— — Ь(Зп е!т') = 1~~3л л), (7.9) Е (О) ЕДО)= — = ~Зд и!' . (7ЛО) (Т) 2!по 2юно Таким образом, энергия Ферми растет с увеличением концентрации коллективизированных электронов пропорционально и 7.2.3. Плотность состояний п плотность заполнения уровней энергии Число электронных состояний г!л,(Е) с заданными значениями энергии в интервале от Е до (Е+ ИЦ, равно удвоенному (за счет различных направлений спина) числу элементарных квантовых ячеек (7.б) в р-пространстве в сфери- 1!2 ческом слое радиуса р =(2тЕ) и толщины О г!Р =сН2тЕ) !: Ек(о) Рис.
7 — 3. Зависимости от энергии Е вероятности 4пр г!р з!2гнв 2 г 3!2 заполнения электронами г!пэ(Е) = 2 = . з/Ег!Е - (7.11) состояний 7(Е) — (а), плотности состояний р(Е) Таким образом, плотность состояний р(Е), — (б) и плогности занадто есть число разрешенных состояний электро- нспия уровня энергии нов в единичном интервале энергии, для кри- ая!аŠ— (в) сталла единичного объема равна 2 р(Е)— = — '= ГЕ- Л (7.12) 213 Вид функции р(Е) (7.12) показан на рисунке 7 — 3 б. Плотность состояний р(Е) растет с увеличением энергяи — /Е . ЧАСТЬ !1 Гл И!.
Зьеиенан~рные возбуждении элеюпроннай системы мепгаллов 355 Заполнение элелтронами «аигдога из эшиг гасшалпий определяется функцией распределения Ферми — Днрака (часть 1, и. ! аи 1): /'(Е) =! е!е-н!» г +!1 ' 77ри Т=О состояния с Е с Ег полностью заполнены, так как ДЕ<Ек) = !. а с Е > Ег — пусты, Очевидно, чта при Т= 0 плошадь под кривой р(Е) и прелелах от 0 до Еь(0) дает полную концентрацию электронов (рис. 7 — 3 б): Ег (О! п= — = )р(ЕЯЕ. И' (7.13) При конечной температуре Т~ О ступенька распределения /(Е) Ферми-Дирака размывается (рис. 7 — 3 а), так что число частиц Нп, обладсвоших энергнямн в бесконечно узком интервале значений от Е до !Е+ гИ) будет равно произведению плотности состояний (числу состояний в этом интервале энергий) на вероятность их заполнения: Ып = р(Е)/(Е)г(Е. При этом функция г(п ., /2пРР /Е 1+ ехр ~ К,Т (7.14) .' распределения электронов по энергетическим уровням.
Знание функции заполнения Ап(Е)/г(Е энергетических уровней (или функции распределения по энергии ЯЕ)) позволяет вычислять средние значения любых функций от энергии. апнсывас.г плотность заполнения энергетических уровней прн температуре Т. На рисунке 7 — 3 в прелставлены зависимости плотности заполнения Лп/г1Е при Т= 0 (пунктирная кривая) и при Т~ 0 (сплошная кривая). Величина размытости четкой (при Т= 0) границы заполнения энергетичесгвзх уровней при низких температурах (так же как и для/(Е)) составляет величину порядка 41„Т (см.
ч. 1, з 1.3). При Те 0 концентрация электронов равна заштрихованной площади на рпс. 7 — 3 в, то есть рассчитывается по формуле: п= ~ — г(Е= ) /'(Е)р(Е)(Е. Ип О г!Е о Закечанне. Функция ЯЕ)=(1/и) г(п(Е)/г(Е называется функцией 7.2.4. Расчет средних значений функций от энергии лля вырожденного электронного газа Пусть необходимо вычислить среднее значение некоторой функции от энергии <га(е)> при достаточно низких температурах, то есть для вырожденного электронного газа.
По определению среднее значение функции ф(Е) равно (ф(Е)) = (!'р(Е)/Ь(Е) г1Е = ()гр(Е)/(Е)р(Е)г!Е, (7.16) О где р(Е) определяется формулой (7. 12). Функция распределения Ферми — Дирака ЯЕ) прн Т= О К принимает значение либо 1, либо 0 везде за исключением области ступеньки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
