Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 53
Текст из файла (страница 53)
6 — 9) имеет малые значения во всем диапазоне частот, то спектральные плотности всех оптических ветвей представляют собой сравнительно узкие кривые с резкими максимумами (рис. 6 — 22). В области д -ь О, то есть при о! — ь со, поверхности постоянной частоты замкнуты и имеют сферическую или эллипсоидальную форму. Закон дисперсии оптических фононов в этой области частот можно аппроксимировать квадратичной зависимостью (см. рис. 6 — 8): со а оч (6.67) 327 1л. И.
Элел»енл»ириые возбуждения в кр»»атиллах. Фи»»илы 326 ЧАС7Ъ Н Тогда модуль скорости фононов запишется в виде Г„= — =2 »=2»» — ». »3в (6.68) Спслтральная плотность равна числу состояний в сферическом слое »19»(в толщины»19 =- — »)в =, деленному на йо: »(в О( )( ) 4пч 19 )у (в '-в) (2п) /И» г»в (2п) аз1г Зависимость (6.69) при значении частоты»о .„, соответствующей д = О, имсст вертикальную касательную (рис. 6-22). л В""(»л) На границе зоны Бриллюэна 7 — з 9я частота имеет экстремальное значение (например, на рис.6-8 — минимальное при д '"' = +и/(2и) ), но скорость прн этом может не обращаться в нуль (из-за отсутствия строгой поляризации прн произвольном направлении »1). В этой области волновых векторов кривую дисперсии можно аппроксимировать линей- 0 в»з вв»о|1 ной зависимостью, напРимеР, + 7»»»»»» ) Рис. 6 — 22.
Спектральная плот- (6.70) ность оптических фононоя (сплоншля кривая), лллякняляся Поскольку скорость!»3в»аа! можно в с»млвй спектральны»»»лотнос»ей ллл продольной и двух попереч- первом приближении считать константой, ных летней спектра (пуиктнрныс то ее можно вынести из-под интеграла в крллыс) (6.55). Учитывая также, что для замкнутых поверхностей постоянной частоты (типа сферических) площадь поверхности пропорциональна квадрату раг 2 — ! !лл диуса, то есть»)» »1- — |й — 4~, получаем, используя линейность закона лисперсии (6.70), что О,"»'» (»о) — (сз — в»лл) .
Приблизительный внд трех функций парциальных плотностей состояний для трех оптических фононных ветвей показан на рис. 6 — 22 пунктирнымп линиями, а интегральная плотность состояний — сплошной кри- вой. Каждая из парциальных функций нормирована, то есть выполняется условие | )л( ") (в)»1 7' Частоты в»з, вгз и о»1 соответствуют пикам плотности состояний отдельных ветвей спектра. Однако, поскольку частотный спелтр оптических фононов в( ") > в> в( . ) является достаточно узким. то в простейшем приближении оптический спектр можно характеризовать одной средней частотой 6.2.14. Температура Дебая Для одномерной цепочки атомов характеристическая температура Дебач (6.2) была введена как температура, соответствующая максимальной энергии фононов Тр — — лв .
/1»в . В трехмерном случае сделать это однозначным образом невозможно, поскольку существует несколько фононпых ветвей. Кроме того, для отдельных ветверй частоты, соответствующие максимальной плотности фононов, ие совпадают с предельными значениями частот о»»» (см. рис. 6 — 21). Поэтому должен быть определен некоторый способ ведения Та для трехмерных кристаллов. Такой способ был предложен Дебаем. Он состоит в следующем.
Плотность состояний О»(в) для каждой ветви спектра апроксимируется функцией (6.59), полученной для абстрактной модели кристалла. Поверхности постоянной частоты при малых значениях д апроксимируются сферами с усредненными радиусами (6.7 Ц При этих предположениях вычисляются средние значения скоростей звука, которые полагаются постоянными для каждой ветви спектра: ($Ц =, (6.72) Усредненное значение предельной частоты каждой ветви (ввл») вводится на основании условия нормировки (6.46), (6.61): (6.73) Тл г7. Элементарные возбуждения в кристаллах. Фононы 329 ЧАСТЬ 11 Тогда средние значения температур Дебвя для продольных и поперечных ветвей спектра вы шсляются по формулам: "М ) "("".
) '(""') (Тр!!) =,, Трз !) = . (Тр! ~) = . (6.74) 11В 11В ХВ Существуют н другие способы введения температуры Дебая, в которых ее значение будет иным. Температура Дебая является условным параметром. Ее смысл заключается в том, что она (опять же условно) делит шкалу температур на две области. Первая — низкотемпературная область Т«Тр. в которой возбуждения решетки представляют собой длинноволновые колебания с малымн энергиями.
Вторая — соответствует температурам Т> Та. когда в кристалле возбуждены все колебания, включая колебания с предельно возможными частотами, 86.3. Теплоемкоеть решеток 6.3.1. Качественное описание Чтобы вычислить решеточную теплоел!кость, нужно знать температурную зависимость средней тепловой энергии решетки. Теплоемкость тела определяется соотношением С =ЮД/ИТ, а теплоемкость при постоянном объеме (Е1.) =~~~(Е;), (6.77) в Средняя энергия фононов, находящихся в состоянии с заданным Ч в Лй ветви спектра (Ев,), выражается формулой (6.4) за вычетом энергии пулевых колебаний. (6.75) Л где 611 — элементарное количество теплоты, (Е(Т)) — средняя тепловая энергия решетки.
В фойонной модели (Е(Т)) является суммой средних тепловых энергий (Е(Т)) фононов в каждой моде колебаний )во всех 3! ветвях спектра: (Е) =~я (Е;). (6.76) 1=1 Усреднение энергии в каждой ветви (Е;(Т)) проводится по всем физически различным значениям волновых векторов Ч, находящихся в 1 зоне .Бриллюзна: Таким образом, используя (6.76) — (6.77), среднюю энергию фононов можно записать в виде: (Е(Т)) = ~~(Е!) =~ ~(Е;)+ Х ~(Егь!) . (678) а теплоемкость С= ( -Т . Л (6.81) Полученная зависимость (6.81) носит название звкоив Дебви. Он хорошо выполняется практически у всех кристаллических веществ при Т < Тр()О (рис. 6 23). Приближение низнпх тениервтур Эне гия оптических пионов по порядку величины близка к — КвТгь Поэтому при низких температурах (Т «Тр ) !1ВТ «б!ша'и, и вкладом оптических фононов (6.6) ( "~= 1!Н1 Е." 1 =йш !' ехр( — ) ол!! а! йго 4 1 ачнрнан / )! Т В ЗК -- — -- — — — -- —-- можно пренебречь по сравнению с вкладом акустических фононов.
1 С е няя тепловая эне гия 1 1 щяа(ой моды колебаний с вол- 1 1 новым вектором Ч и частотой -т в и Т о!~' при И,Т>йш' порядкайвТ: ( )-.. В лш ) = 1гВТ. (6.79) Рис. 6-23. Температурная зависимость мо- Число возбужденных фо- лярвой теплоемкости трелэ1СРиой кРнсталнонов Ит~ можно оценить, ис- личсской решетки ходя из следующих рассуждений.
При температуре Т возбуждаются только фононы, энергия которых й!о<АВТ. Состояния этих фононов находятся внутри сферической по- 41 верхности постоянной частоты гв!!т — 'хВТ)й. Число состояний Ит пропорционально обьему, ограниченному этой поверхностью Д!сй (9!кл)3 — (О!Яв1)э — ТЗ Т (6.80) Таким образом, энергия тепловых колебаний фононов (Е(Т)) оказы- вается пропорциональной (Е(Т)) = атал . (йод ) — Тз . кВТ вЂ” Т4. ЧАСТБ УУ Придтнлгенив вьюнках.
температур Прн высоких температурах Т> То возбуждаются все моды акустичесюж колебаний. число которых в одном моле вещества равно Зут' /у А! 16.49! уУ!Ул — !испо Авогадро, у — н!ело атомов в элементарной ячейке). В эгой области температур средняя тепловая энергия акустических фононов пропорциональна ! Е (Т)) - 3(АУА//). УгвТ и малярная теплоемкость раву ве на ай АУА Л С =3 — Бв — — 3 —, .у / где Л = У!вАУА — универсальная газовая постоянная. При высоких температурах КОТ > У!гоп' возбуждаются также все моды оптических колебаний.
тепловая энергия которых пропорциональна / .и , Епр(Т)~)-3(у — 1)(АУА/у).УгвГ=(3(у'-1)//)ЛТ, где 3(у — 1)(АУА//) полное число состояний оптических фоновое (6.50), а ЛОТ вЂ” средняя тепловая энергия каждой моды при температуре Т (аналогично (6.79) лля акустических фононов). Таким образом, и оптические фононы, как и акустические.
н этой области температур лают постоянный вклад в теплоемкость, независящий от температуры: С"У" = (ЗЦ вЂ” 1)//) Л . Полная малярная теплоемкость решетки с учетом вкладов обеих ветвей спектра: акустических и оптических, при высоких температурах Т> То вырюкается соотношением, известным, как закон Дюлонга и Пти! С +С У' =ЗХ. (6.82) Для ввул!ерпых слоистых реуиетлн число возбужденных мод при низких температурах определяется числом состояний волновых векторов на плоскости.
ограниченной окружностью с радиусом 9 - со — Т. Это число пропорционально плошади, ограниченной окружностью, то есть УУт (гу ~) — (ш~) — Т . (6.83) Таким образом, энергия возбужденных акустических фононов з -БвТ.Т =Т . Отсюда следует, что у слоистых решеток теплоемкость прн низких температурах изменяется пропорционально -Т . Показатель степени 2 — минимально возможное значение, так как он соответствует строгой двухмерности. В действительности, у слоистых решеток, в результате взаимодействия между слоями, появляются дополнительные (к 2УУ) степени свободы, например, изгибные (мембранные) колебания слоев, Гл. РЕ Элементарные возбулсдения в Аристиппах. Фонаны что приводит к увеличению показателя степени при Т Таким образом, величина отклонения показателя степени в формуле С вЂ” Т~ от 2 определяется степенью двухмерности кристалла.
Более удобные длн вычисууеиил п!енлаемкасти грор пулы можно получить, переходя в (6.76) от суммирования по состояниям 9 к интегрированию ~~!,(Еу) -э ) Е!.Р(го;)г(ш Я О В результате такого перехода (6.78) приобретает вид 3 в) с Е(7.) > '~ ) ьшв~ с г!ае > Рве (го )г(ш+ у=! О (6.84) з(у !)в!" Бш,'.~ и,'.~ > Р"~ (шу )гудл У=! О Видно, что вычисление энергии колебаний может быть сделано только для конкретных законов распределения Оу(гу) и функций плотности состояний Що), то есть для конкретных моделей спектра. Обычно рассматриваются две наиболее простые модели: Дебая и Эйнштейна. 6,3.2. Модель Дебая Основные положения модели Дебая — абстрактной модели изотропного кристалла — описаны выше (з6.2.10).
Трехмерные решетки Рассмотрим для простоты кристалл, в котором могут возбуждаться только акустические фононы (чнсло атомов в элементарной ячейке у = 1). В дебаевском приближении, когда групповая скорость постоянна и одинакова для всех акустических ветвей спектра, то есть имеет место линейный закон диспеРсии го= Ум.е, а повеРхности постоЯнной частоты — сфеРы, плотность состояний описывается формулой (6.59): "1-!=ф,''-,",",', Предельная частота оу . =(У„к д „опрелеляется соотношением (6.61): шз = ! (6пз/Уз))Уз АУ Подставляя эти соотношения в (6.84) (у = 1) и, используя (6.3) для <г!>, получаем выражение для средней суммарной энергии всех акустических фононов (трех акустических ветвей спектра): ЧАСТБ П 335 гл Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
