Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При(г) соответствует случаю Х вЂ” оо. когда колебания атомов одного сорта происходят синфюно друг с другом, но и противофазе с атомами второго сорти При Ои =я)(2а) длина волны равна Л= 4а, и тяжелые атомы неподны, а соседние легкие атомы колеблются в противофазе, аналогично ебаниям атомов двух сортов в линейной цепочке (рис. 6 — 7 а). При увееиии длины волны Л начинают колебаться тяжелые атомы, а разность ЧАСТБ 61 Гл. г7.
Элементарные возбуждвняя в кристаллах. Фононы фаз колебаний соседних атомных плоскостей в каждой нз подрешеток уменьшается (рис. 6 — 7 б.в). В пределе, когда разность фаз обращается в нуль, атомы в каждой из подрешеток можно считать неподвижными друг относительно друга (соседние идентичные атомы неподвижны друг Относительно друга). В этом случае (при 7 — ь, ц — ь О) оптические колебания представляют собой колебания в противофазе двух жестких подрешетак относительно друг друга (рис. 6-7 г). Поперечные и продольные колебания подрешеток в рассматриваемом случае эквивалентны, а значит, частоты всех трех ветвей оптических фононов при Ч = О одинаковы. Колебания при г)а =я7(2в) н прн ц = О соответствуют стоячим волнам, имеющим разные энергии. Предположим, что все атомы в кристаале стали одинаковыми.
Тогда оптическим колебаниям с Ч= 0 будут соответствовать акустические колебания с Х = 2а. то есть с волновым вектором г) = и/а в два раза превышающим значение дх =яl(2а). Учитывая закон дисперсии, можно сделать вывод, что частота оптических колебаний при г) =0 больше частоты колебаний при ц = г) ' Заметим, что для появления оптических колебаний не обязательно, что бы решетка состояла из атомов разной массы. Существенно лишь, чтобы положение всех атомов в решетке не было одинаковым и можно было бы выдслить две или более подрешеток. Например, в структурах с двумя атомами, приходящимися на элементарную ячейку, можно выделить две подрешетки с различными упругими постоянными, независимо от того одинаковы по массе эти атомы или нет. Общий вид дисперснонных кривых ш (/с) и со,(А) (6.28) для акустической и оптической ветвей фононного спектра представлен на рис.
6 — 8. Все энергетически различные состояния фононов находятся в интервале значений волнового вектора — п/2а < д <+п/2в, который представляет собой 1 зону Брнллюэна для двухатомной цепочки, период которой в гпространс1ве равен 2п. Характерно. что в ллинноволновой области частота оптических фононов практически не зависит от значений волнового вел-гора.
Максимальное значение частоты гв = /2Р/М~ фононы акустической ветви имеют при значении волнового вектора г7 =+я/(2в) . Частота оптических колебаний го,(А) изменяется от ш+ .,„— — х(21)/Мз при *гч2 = Г2Рцм, Гм ) х 6=0. Гх Р оптических фононов как в максимуме, так и в минимуме дисперсионной кривой равна нулю дш /дА = О (рис. 6 — 9).
Между акустической и оптической ветвями спектра (рис.б — 8) расположена область запрещенных значений частот (знергетпческаи щель в законе дисперсии фононов). и 2о я й 0 я 2а Рис.6-8. Дисперснонные кривые лля акусгической ьг и оптической м, ветвей фононного спектра При значительной разнице в массах соседних атомов М1» Мз оптические колебания с разными й происходят практически с одной частотой (одной энергией): гепих = 20 + = — 1+ — ' (6.35) Дискретный набор волновых чисел, как и в случае моноатомной це- ПОЧКИ, НаХОДИТСЯ ИЗ УСЛОВИИ ЦИКЛИЧНОСТИ Г = ~~+в И ~з„» = Гы нн .' 2п 2п й 71 = — 1= — 1, 1=+1, +2,...+ —. (6.36) )уа 1.
4 Рассмотрим коротковолновые акустические и оптические фононы с волновыми векторами ва = п/2 — б . Прн б«1 отношение амплитуд колебаний легких и тяжелых атомов следующее: для акустической ветви (6.37) 1-М,/М, для оптической ветви Ч, М /М,-1 (6.38) 305 ЧАСТЫ! 2 б.2.4. Изменение закона дисперсии фононов прц переходе к двухатомным цепочкам, как следствие дпфракцнп фононов в решетке Напомним, что в кристалле упруго рассеянные каждым атомом волны склальгваются.
При определенных условиях (условия Вульфа — Брэггов) пнтерференгпгя рассеянных волн приводит к их усилению (брэгговское отражение). Тогда суперпозиция падающей и отраженных волн (уже сравнимых по интенсивности) дает стоячие волны. Таким образом, при выполнении условия Вульфа — Брэггов волна в решетке распространяться не может. Ее групповая скорость обращается в нуль. В одномерной моноатомной цепочке брэгговскому отражению удовлетворяют фоцоны с г) =+л/а (А = 2а), скорость которых становится равной нулю. В цепочке, состоящей из атолюв двух сортов, период решетки улпаивается.
Если предположить, что, например, каждый второй атом стал рассеивать сильнее, чем раньше, то рассеянные волны можно представить как суперпозицию волн от двух отражающих решеток: первой — основной, которая была и раньше, н второй — слабо рассеивающей решетки с удвоенным периодом. В такой сложной решетке условию Вульфа — Брэггов булут удовлетворять как фононы с Х = 2а, так и фононы с А = 2(2а).
Таким образом, нулевую скорость будут иметь не только фононы с о =+и/а, но и фононы с ф =+и/(2а) . Это значит, что групповая скорость фононов при приближении волнового вектора к значениям йп/(2а) со стороны ббльших и меньших значений ц должна уменьшаться н обращаться в нуль при д = + и/(2а) . Рггс.б-ч. Зависимость от волнового вектора гртппояой скорости акустических и п~ггнчсскнх фоканов для линейной цепочки атомов двух сортов ветви соответствуют колебаниям легких желых. По мере приближения к границе зоны Бриллюэна (при б — э0) происходит уменьшение амплитуды колебаний легких атомов в акустической ветен и вмллитулы колебаний тяжелых атомов — в оптической ветви. Фононы акустической ветви с г)=+и/(2а) имеют частоту /2()/М1 (рис.б- 8), которая соответствует колебаниям тяжелых атомов М, при неподвюкных легких.
Фононы с частотой,/2~3/Мз в оптической атомов М, при неподвижных тя- 1л. И. Эланвятиряые возбуогсденггя в кристаллах. глоноггы В результате исходная кривая оз(г)) для моноатомной цепочки разрывается в точках г1 =+и/(2а) н в спектре образуется энергетическая щель (рис.б — 10).
Образовавшиеся два состояния фононов с одним и тем же а=+к/(2а), но разнымн энергиями соответствуют стоячим волнам (с групповой скоростью равной нулю) двух типов (типа сгж и з)п). .Рнс. б-!0 Закон дисперсии фононов (б)-(г) для цепочки нз атомов двух сортов можно рассматривать как искажения спсктрадля олномерной цепочки идентичных атомов (а), возникающие прн удвоении периода структуры: [б) -появление дополнительного периода (2а), разрыв акустической фононной ветви н образование энергетической щеян прн и =+я/(2а); (в) — учет трансляционной ннварнантностн на вектора обратной решетки в Ч-просзрансгве; (г) — закон дисперсии в области значений г1. Расположенных в 1 зоне Брнлчкона 307 ЧАСТБ П Гл.
Л. Элемватарвме возбуждения в кристаллах. Фоноим На рис. 6 — 11 представлены два вида стоячих волн в двухатомной цепочке прн Л = 2(2а) (то есть при О =+и/(2а)). На рис (6) легкие атомы, находятся в узлах и неподвижны, а тяжелые совершают колебания. На, рис. 6 — 11(в) — наоборот. Частота колебаний тяжелых атомов (рнс. 6) меньше. чем частота колебаний легких атомов (рис, (в)).
Следовательно, при й = тй2а) существуют два энергетических состояния фононов. Колебания (б) соответствуют акустическим, а (в) — оптической ветви фононов. Чем больше разница в массах соседних атомов, тем больше разница в частотах и энергиях акустических и оптических фононов прн а =+2я/а. Таким образом. образование двух ветвей и энергетической щели в фононном спектре является следствием удвоения периода цепочки, что приводит к структуре с двумя атомами в элементарной ячейке. ьт! 1 "г Ь1! ™г (а) ! ! ! ! ! ! Рис.б — ! !. Акустические (6) н оптические (в! фононы с волновым вектором у = ч л/2а, соответствующие двум типам стоячих волн в двух- атоивов цепочке (а) Итак,' при удвоении периода решетки возникает новый тип колебаний —.
оптические, характеризующийся следующими основными особенностями. — х1ентр масс элелзеитариай ячейки остается в покое, то есть соседние атомы совершают колебания в противофазе в отличие от акустических колебаний, при которых практически всегпа колебания соседних атомов происходят с близкими фазами и близкими амплитудами.
— В энергетическом спектре колебаний решетки появляется эивргетическал щель, величина которой увеличивается при увеличении разницы в массах соседних атомов. — В двухатомной цепочке можно выделить две подрешетки, состоящие из разных атомов. Оптические фононы связаны с колебаниями иодретвтак, происходящими со сдвигом фаз на и, то есть в противофазе. По- этому оптические фононы имеют энергию близлую к энергии акустических фоионов с такситтьиой частотой, когда соседние атомы так же колеблются в противофазе. Это справедливо даже пля плинповолновых оптических фононов, когда при и — > О энергия акустических фопонов стремится к нулю. — В результате сокрашения зоны Брилпюэна уменьшается разрешенный набор волновых чисел в два раза.
Теперь при одних и тех же значениях волнового вектора имеются два различных типа колебаний с разными энергиями. — При значениях а = О и а =тй(2а) групповая скорость оптических фоионов равна нулю, они не переносят энергию и соответствуют стоячим волнам. — По мере приблюкения к границе зоны Бриллюэна ц — > п/2а в опческой ветви уменьшается амплитуда колебаний тяжелых атомов по авнению с легкими, в отличие от акустической ветви, для которой сиация обратная: уменьшается амплитуда колебаний легких атомов по авнени!о с тяжелыми.
6.2.5. Фононы в системах с несколькими степенямц свободы. Два типа поляризации Рассмотрим линейную цепочку атомов, которые кроме продольных олебаний могут совершать колебания перпендикулярно цепочке в олпом и двух взаимно перпендикулярных направлениях. В такой цепочке кажжжй атом приобретает, соответственно, две илн трн степени свободы. Наличие нескольких степеней свободы у линейной цепочки приводит к новому качеству — возможности распространения двух типов волн с различной поляризацией:нрадапьнмл с вектором !й!(направление колебаний атомов совпадает с направлением распространения волны) иноперечнмл с вектором Ч,, ппя которых направление колебаний атомов перпендикулярно направлению распространения водны. Закон дисперсии продольных колебаний совпадает с полученным ранее (6.!8), а для поперечных колебаний будет отличаться скоростью их распространения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
