Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 51
Текст из файла (страница 51)
— для пролальной волны и Ть Тз — для паперечнык волн. Ортогональная тройка векторов Ь, Т,, Тз повернута в общем случае относительно вектора Р) на некоторый угол. Только для рациональных направлений в решетке г)!]Ь. Ориентации векторов Т, и Тз определяют такие поляризации поперечных волн, при которых их скорости имеют экстремальные (максимальное н минимальное) значения для данного направления сй Таким образом, чтобы возбудить волну вдоль заданного направления ц, следует вызывать колебания атомов в строго определенных взаимно перпендикулярных направлениях (Ь, Ть Тз) в решетке. В противном случае каждому а соответствовало бы бесконечное число волн с различными ориентациями векторов Т, и Ть Другой важной особенностью трехмерных решеток является зависимость и е ельных значений некто в от нап аления и анения РР-РыРРИ Р """ "Р Р " " " Р фононов, совпадают с границами зоны Бриллюэна в Р)-пространстве и определяют минимально возможную длину волны в этом направлении вектора Р) в решетке.
6.2.3. Поверхности постоянной частоты Выше указывалась, что для моноатомной цепочки достаточно трех акустических ветвей, а лля двухатомной — шести (3 акустические и 3 оптические) ветвей, чтобы полностью и однозначно описать спектр колебаний. Для трехмерных решеток сказанное относится только к одному фиксированному направлению вектора а, то есть каждому направлению Р) соответствуют 3 или 6 ветвей ш(Р)) квазнпродольных и квазипоперечных фононов. Таким образом, зависимости ш(г)) определяют спелтр лишь при фик, сированных направлениях волнового вектора и не характеризуют спектр трехмерной решетки в целом.
Поэтому частотный спектр колебаний кристалла принято описывать поверхностями постоянной частоты для различных ветвей спектра. В результате дисперсии (отклонения зависимости го(г)) от линейной го = )Рд) форма этих поверхностей изменяется с ростом частоты. В связи с этим строятся совокупности поверхностей ш(г)) = сопя., соответствующих различным частотам. В трехмерном кристалле 3 (или 6 для кристаллов с двумя атомами в элементарной ячейке) совокупности нзознергетических поверхносгей полностью определяют частотный спелтр колебаний решет- «и.
Паверхноспш настоянной час«чинны дяя и«устпчес«их филипов. Рассмотрим изоэнергетические поверхности акустических фононов лля простой кубической решетки. На рис 6 — 15 а представлены две дисперсионные кривые, соответствующие двум направлениям [!00] и [! 10] распространения акустических продольных фононов.
В направлении [110] период структуры и/Л меньше периода а в направлении [100]. Поэтому зависимость ш(а) в направлении [!1О] заканчивается лри значении и, большем, чем в направлении [100]: (и/и) /2 >(и/л) . Как следствие, при со> шР дисперсионные кривлю в указанных направлениях значительно расходятся. В области малых г), где закон дисперсии близок к линейному и дисперсионные кривые в направлениях [100] и [110] совпадают, поверхность постоянной частоты имеет сферическую форму.
С ростом ш при оз Б го, радиус поверхности постоянной частоты увеличивается, а форма остается сферической (го, на рис. 6-15 б). При приблюкении к гранишзм зоны Бриллюэна групповая скорость (Рв, = оРго/й! уменьшается. В результате с ростом частоты одним и тем же приращениям частоты Рйо соответствуют все ббльшие и большие приращения валновога вектора й~. Кроме того, благодаря расхождению дисперсионных кривых при ы > шь на поверхностях постоянной частоты в точ- ЧАСТБ П 315 01 ках, ближайших к границам зоны Бриллюэна образуются выпуклости (шз на рис.
6 — 15 о'). а б 1'ис. 6-15 (а) — диспсрсионные кривые акустических фононов для лвух направлений [100[ и [! 10] в лубической решетке с периололг а; (б) — поверхности пот оянной часто ем лля трех частот: <в, — в области линейной аппроксимации закона дисперсии: ьь — в области дисперсии, прияодяшей к изменению сферической формы изоэнергстичсской поверхности; кч — после разрыва изоэнергстической поверхности на гравице зоны Бриялюэна Поскольку скорость, являясь градиентом частоты в г)-пространстве, нап аллена по но мали к лове хностн постоянной частоты то в рациональных направлениях (оси симметрии [100], [010], [00!]) при подходе к границе зоны Бриплюэна ( Π— э и/а ), когда групповая скорость обращается в нуль.
поверхность постоянной частоты должна быть строго перпендикулярна к границе зоны. В этих направлениях поверхность не может касаться границы зоны Бриллюэна, так как нормальная к плоскостям зоны Бриллюэна составляюшая скорости фононов равна нулю. Как только частота достигает предельного в направлении [100] значения, поверхность' постоянной частоты вдоль осей симметрии разрывается и пересекает границы зоны под прямыми углами (шз на рис. б — 15 а).
В направлениях, в которых строго продольные и поперечные волны, отсутствуют, нормальная компонента групповой скорости может не обращаться в нуль и угол, под которым поверхность пересекает границы зон Бриллюэна может отличаться от п/2. Внутри зоны Бриллюэна, вокруг точек экстремумов на дисперсионных кривых ш(с)), образуются замкнутые поверхности постоянной частоты (рис.
6 — 16). Гл. И. Элементарные возбуждения е крнстпзтгсг. гдононы Рис. 6-16. Сечение поверхностей постоянной частоты плоскостял~и (а) — (1ОО) и (б) — (1 ! О) лля продольной ветви колебаний решетки алюминия. рассчитанные Уолкером в 1956 г. 1(ифры соответствуют значению частоты в !Ю ' Гц (например. -~з 0,5.10 Гц). Точками внугри зоны Брилпюэна обозначены экстремумы лиспсрсионных кривых ° 6 В ° ° 61 В ' ° ° Вс Э ° 1 Э ° ° ° ' ° ° 1 с ° ° ФС ! 11 ° 1 ° ' $ ° 1 ° ° ° ' ° °: ° ° ' $ С 3 11 ° 1 °, ° Э ° ° 3' 3 ° Ф 13 ° ° ° 1 1' ' ° Ф ° 1 36' ° .
1 ° ° 1 ° В В ° ° '1 ' 3 ° ° Э' ° ° 1. : ° В ° 1 ° СФ $$ 111 1 1 ° ' 1 ° 1 ° ° ' 61 ° ° ° . ° ° ' НЭ ° ° ° ° 61 ° ' ° 1 Ф ° ' ° 1 ° В 1 1 ° ° ° ! ° 3 ' 1! ° ° 1 3 ° ° 1 ° ! ° ' Ф Э ° ° ° 1 $' ° ° Ф '1 ° 1 ° ' 3 ' ' 3 Ф 1 ° ' ° $1 ° 3 ° 1 11 Э ° ° °: ° 3 ° ° ° 1 ° 3 Ф ° ' 3 1 \ ° ° ° ! 1 ° ° ° 1 1 ° Ф 1 ° ° ° ' ° ° Э 1 ° Э В ° ° ° ° ° ° ° 11 13 ° Э ' В ° ! $ ° ° 1 11 ° ° 61 ° ° 1 ° ° ° С 61 ° ° 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 ° ° Ф 1 3 1 ° ° Э ° 1 ! °, 4 $ ° ° 1 ° 1 ! 3 ' Э С 1 ° ' ' ° 3 ° 1 1 ° 1 ° 4 1' ' ° 1' 4 В ' ° ° 1 61 1 '' с Ф Э' 14 ° ° 1 1 ° ° Э 1 ° 1 ° ° В Ф ° 1 Э 1 ° ° 1 ° ° 1 ° ФФ ° В ° ° ° 1 ° Э ° 1 ° ' 1 ° ° Ф ° ° 3 ° ° 11 3 ° ° 1 ° Э ° $ ° 1 3 Ф ° ° .
° Э ° ° С ' 1 Ф ° ° 1 ° ' 3 В ° ° ° 1 ° ' ° 1 Ф ° Ф ' °: ' ° 3 ' ° 11 ° 1 ° 1 ° 3 3 ' В ° ° Ф ! ° ° ° ° ° ° Э 1 Ф ° 11 1 ° ° ° ° 1 ° Ф ° В ° 1 ° 3 ' 1 1 11 ° ' ° Ф 3 ° ' 1 В ° 63 ° с ° ° ° с 3 11 1 ° В 111 Ф 1 \ 1 3 16 $11 ° 1 ° 1 ° ° ' С 1 ° 1 3 Э Ф ° ° ° 3. С 11 ° й ° Э ° ° в Э ° ° ' ° ° ° ' 1 ' ° ° ~ ИЛИИ ~ИИИ ° ° Ф ° Ф ! 1 ° ° ° ° Ф ° ° ° Э В ° Ф с ° ° с ° э ° В 11 ° ° . ° ° С . СФ ° ° с с 33 1 ° ° 1 ° ° в .. Э - ° . ° ° ' ° ' 6 ° ЧАСТБ П 319 Ь= ) гЕАвг (6.52) (6.53) ~О;(ю)~о= —.
0 (6.47) . (2)з (2)з ш 1У .()~ (6.54) (6.48) на акустические ветви приходится (6.55) (6.49) состояний, на оптические— ло состояний с частотой го определяется площадью поверхности постоянной частоты, которая зависит от го. Интегральная характеристика фононного спектра — спектральная плотность О(ш) = —, (6.45) г)го гле и — общее число Ч-состояний во всех 3/ ветвях фононного спектра, характеризует распределение числа фононных Ч-состояний по шкале частот, то есть по энергии. Интегральная спектральная плотность равна сумме парциал ьных плотностей О(ш) для каждой ветви спектра.
Общее число состояний акустнческги и оптических фононов с различными вь г) и поляризацией равно числу степеней свободы кристаллической решетки — г(г(. где И вЂ” размерность, И вЂ” число атомов в решетке (число примитивных ячеек). Число различных ветвей спектра при этом равноу1, где/ — число атомов в элементарной ячейке. Таким образом, число различных значений вектора Ч (число состояний с различными и в каждой ветви) равно ЛИ/р) = М// — числу элементарных ячеек в кристалле (табл. Ч1.1).
Спектральная плотность 17(го) нормируется на общее число состояний фононов в решетке: о На каждую ветвь (определяемую типом колебаний и поляризацией) приходится )уг/ состояний: Суммируя сказанное (табл, (Ч-!), запишем, что число состояний в ' зоне Бриллюэна равно (/-1) — А М (6.50) / состояний. Общее число состояний в фононном спектре кристалла всегда равно ) л и Элаиеитариме возбуждеиия в кристиътах. Фоиоим 1'т' Л1 — А+(/-1) — А = ЛЦ (6.51) / Функция парцнальпой плотности состояний для 1-й ветви спектра О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
