Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Поэтому частота фонона гоз, рожденного а (1-процессе сравнима по величине с предельнымн частотами в колебательном спектре — о«' Рис. 6-26. Илл«остранил ограничений. накладываемых правилами отбора (6Л07) и (6. ! 08), на волновые вектора и частоты фопонов н !«1-про«гессен рассеяния фюноноа (Ч«,ш1)+ (Чз,о«з) — «(Чз,шз), лвнжУшнхса а одном напРавлении 340 Часть и .Пя Л. Элеиепшарлые возбуждена» в крпстиллах.
Фопопы Если взаимодействующие фононы движутся произвольно, а не вдоль одной прямой, то на основании (6.107) векторы г!ь г!ь цз составят треугольник. Вращая треугольник вокруг вектора и, и меняя при этом длины векторов пз н г!з, но так, чтобы закон сохранения энергии ю +оэ =сп ! 2 3 !бд 08) выполнялся, получим, что точка, соединяющая концы векторов оз и г!э. опиц~ет некоторую поверхность. С одной стороны, плошадь этой поверхности,5' растет с ростом с)1 н для оценки можно положить Х-тьэ! . (6.109) С лругой стороны, площадь поверхности Г пропорциональна вероятности рассеяния фонона с волновым вектором пь Интенсивность (частота чт Г ) алтов фонон-фонониого взаимодействия пропорциональна как вероятности рассеяния фонона (и, вэ,), так и концентрации фононов л с / вектором ср 2 (6.! 10) Анализируя возможности рассеяния фонона (йо сэ,), представленные на рис.
6 — 26, можно убедиться в наличии следующих закономерностей. Этн закономерности справедливы для всех случаев рассеяния фононов, а не только движущихся вдоль одного направления, включая н П-процессы рассеяния: — все трн фонона, участвующие в 11-процессе рассеяния, не могут принадлежать одной и той же ветви закона дисперсии; — порождаемый фонон (г!з. шз) должен принадлежать более высокой колебательной ветви, чем, по крайней мере, один из исчезающих фононов.
Оптические фононы из-за малой скорости сами по себе не вносят заметного вклада в перенос тепла. Однахо их энергия переходит в тепловую, благодаря процессам рассеяния на акустических фононах. Поскольку энергия оптических фононов, практически всегла больше акустических, то процессы (ак)+(ор) ~(ах) и (ар)+(ар) ~~(гй) запрещены правилами отбора.
Оказываются возможными только процессы типа (пЕ)+(а/с) ~~(ор). 86.4. Теплопроводность 6.4Л. Теплопроводность итепловое сопротивление Описание тепловых возбуждений кристалла с помощью элементар+'; ных возбуждений — фононов оказывается также удобным при рассмотре-' нии кинетических эффектов, в частности, теплопроводности кристалличе-' скоп решетки. Поскольку взаимодействие между фононами мало, фононь! можно рассматривать как слабо неидеальный газ. Процесс теплопровод- ' ности в кристаллах сводится при этом к аналогичному процессу в газах. Иа более теплом конце кристалла концентрация фононов, определяемая температурой, выше, чем на более холодном. В результате возникает поток фононов от теплого конца к хололному. Во время движения фононы взаимодействуют друг с другом, дефектами решетки и границами кристалла. При рассмотрении кинетических явлений следует различать частоту актов взпплпадействи» частиц и частоту пкгпив рпссеппи», так как не всякое взаимодействие частиц является рассеянием в данном кннетиче( и.
~ ~ ( р яа~кла тельность актов взаимо ействия, при котором частица пли теряет переносимое ею свойство (например, энергию в процессах теплопроводности). или кардинально изменяет направление движения. Очевидно. что при слабом взаимодействии радикально изменить направление движения (например, на х) частица может только в результате серии последовательных актов взаимодействия. В теплопроводности под рассеянием понимаются процессы, прн которых фонон выбывает из теплового потока теряя энергию или изменяя направление своего движения, в результате взаимодействия с другими часпщами или дефектами решетки. Поэтому определим процессы рассеяния в теплопроводности как п ессы п и кото ых имп льс нона из, меняется на величи по я ка самого ичп льса. Акты взаимодействия, ' при которых импульс фононов меняется слабо, не являются релаксационными, а, следовательно.
существенными при определении теплового сопротивления решетки. Из-за рассеяния фононов друг на друге, на дефектах кристалла, на границах образца (у металлов — еще на электронах), каждый фонов уча" ствует в процессе теплопроводности ограниченное время т, называемое временем релаксации (временем свободного пробега).
Времени релаксации соответствует длина Х, называемая длиной свободного пробега: г1 лг (6.111) где 1ж — средняя групповая скорость фононов, скорость звука. Обратная величина времени свободного пробега — частота рассеянна У=— 1 (6. ! 12) т определяет частоту актов рассеяния. Она пропорциональна вероятности рассеяния. Коэффициент теплопроводности у определяется как коэффициент пропорциональности между плотностью потока тепла Д, направленного Тл !с!. Эяементпрные возбуждения а крссстаеяах. Фонояы 343 ЧАСТЬ В против градиента температуры с!7[с[с, и величиной этого градиента (уравнение теплопроводностн). 0= — х— (6. 113) с[г В газовой модели коэффициент теплопроводности Х связан с кнне- тическимн характеристиками следующим соотношением 1 л 1- Х = — Си[„! =-С$/„[, Зж, 3 [6.114) 6.4.2.
Процессы рассеяния Рассмотрим перечисленные выше механизмы рассеяния. Рассеяние фа«папа ви точечных дефе«тат. Поскольку длина волны фононов при низких температурах достигает сотен межатомных расстояний, а размеры дефектов имеют порядок межатомного расстояния, то рассеяние фононов на дефектах при низких температурах мало эффективно. При высоких температурах рассеяние фононов на дефектах также не существенно, если число дефектов много меньше числа фононных состояний, то есть числа атомов в решетке. Таким образом, рассеянием на дефектах можно пренебречь. Взаинадейгтаие фпнпааа с сспаерхипссвьт — гравицей «риссвигиа. Частота в с, рассеяния фононов на поверхности, по аналогии с идеальным газом, пропорциональна скорости фононов и их концентрации ~ ! — ь Аг~ яг сс! лТ) ' (6. 116) где С, — молярная фононная теплоемкость решетки, а С вЂ” теплоемкость единицы сэбъелса вещества, ст'„— число Лвогадро, « — концентрация фононов.
При наличии нескольких механизмов рассеяния адднтнвнымн величинами явля«отса не длины свободного пробега, а частоты рассеяния. Поэтому удобнее перейти от коэффициента Х к обратной величине Фг — — 1!«Х. называемой тепловым сопротивлением. Используя (6. ! 14) и выражения (6.! ! 1), (б. ! ! 2) для ! и т, находим тепловое сопротивление: 1 3 3 Ф! — — — — — ~=, .(э ! Т~эсТ д ьэс~- ~+и[ „). (6Л15) Х Срг„СК „ Частота фопоююго рассеяния э«складывается из различных видов частот рассеяния фононов: ца фононах — э«га на дефектах — т«с„ь на границах образца — э«с„и на электронах — э«г„. Последний тип рассеяния имеет большое значение для теплопроводности в металлах, но не вносит оклада в тепловое сопротивление в диэлектриках.
где А« — константа. Прн этом каждое взаимодействие фоновое с поверхностью приводит к рассеянию, так как импульс фононов при взаимодействии с поверхностью изменяется в среднем, на величину импульса падающего фонона. Рассеяние на поверхности является определяющим прн достаточно низких лсе«слерптурпх«когда длина свободного пробега фононов становится сравнимой с размерами кристалла.
В этой области температур длина свободного пробега фоновое пересиет зависеть от температуры и определяется размерами образца. Температурная зависимость концентрации фононов прн Т«Т„определяется, главным образом, числом состояний, занятых возбужденными фононалси (6.80): и! — Т (Т«Тсэ). (ЬЛ 17) При пысокях сэсеиверпнаурих, когда возбуждаются все моды колебаний, их число перестает зависеть от температуры, а температурная зависимость концентрации фононов определяется средним числом фононов в каждом состоянии (6.7): Первая частица перестает быть переносчиком дополнительной тепловой энергии, ю есть происходит процесс релаксации. Поэтому время релаксации в процессе теплопроводности классического газа определяется как время тж в течение которого частица газа теряет приобретенную ею дополнительную тепловую энергию. Каж ое взаимо ействие частиц являет«««тктси«"ц ° « "«««Ф «- мулой: ! Лвгв .и (6.! 19а) где л — концентрация частиц В фпсспссссам гпзе теплоп оводность связана с пе еносом самих пионов обладающих определенной энергией.
и! -Т (Т>Тсэ). (6.118) «2эпсспсс-фпштсспгп рисование. Применяя для описания теплопроводности фононов формулы (6.1!2)-(6.115), полученные для классического идеального газа, надо иметь ввиду, что между газом фононов и обычным идеальным газом существуют принципиальные отличия. Частицы пбычипгп гизп являются его структурными единицами и их число в заданном объеме постоянно. Теплопроволность газа определяется ««т««- ~ г «««««- гии, которую приобретакэт частицы в области с более высокой температурой. В тепловом потоке переносится именно эта дополнительная энергия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
