Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При низких температурах, то есть для вырожденного электроннога газа, «ступенька» распределения слабо размыта около Е = !л Зтим можно воспользоваться для упрощения расчетов. Введем для гр(Е) новую функцию Ф(Е) следующим соотношением г(Ф(Е) гО(Е).р(Е)= Выбрав начало отсчета энергии так, чтобы Ф(0)=0, получим выражение для Ф(Е): Ф(Е) =) р(Е).р(Е)(Е. (7.17) О Тогда (7. ! 6) можно записать в виде п. (гр(Е)) = ) /(Е) г(Е = ~/'(Е)Ф(Е): — ) Ф(Е) г(Е. (7.18) АФ(Е) ф (Е) О Первый член равен нулю, так как величина/( ) заведомо равна нулю.
График функции г(/ ехр(Š— (г//свТ) КОТ'!1+ехр(Е р/!КОТ) '! представлен на рисунке рис. 7-4. Значение гЦ(Е)/г(Е в максимуме составляет ( — 1/(4ЕОТ) ). При отклонении энергии от р производная г(1 (Е)/г(Е бьютро убывает, так что при Е р = 21вТ ее значение в 2,4 раза меньше, чем в максимуме. Зто обстоятельство позволяет, разлагая Ф(Е) в ряд Тейлора в окрестности точки Е = !л записать выражение (7.18) как )д !27!. Эяеиеязнирные возбужденяя электронно17 снствмы мегпшвов 357 356 ЧАСТБ П ! Ы=-!)Мк! ° (Р-Ц вЂ” '~„,-'!к-Лт" ~~„,,)Ы~к о! Используя соотношение (7.!9) для г)/(Е)/НЕ, результат ннтегриро- вания запишем в виде !21 п.
(гр) = Ф(Н)+ 2С!ЕвТ~ + 2С' ()вТ) — ~, +.... г7Е,7Е2 Здесь коэффициенты С. — определенные интегралы, причем для нечетных значе- . ний ! онн обрашаются в нуль, а для четных значений ! = 2п имеем 2к — Ч ( 1)" 2Сгн = —, ) „г!з) = 2~', (2н) ! /1,-~)2 к=о(!+.)'н где т! =(Š— ц)/(йвТ) . Вычисление этих сумл1 — задача чистой математики, связанная с использованием лэета-функции Римана и чисел Бернулли. Первые трн коэффициента равны л' 7л 31л 2Сг = —, 2С4 = — ., 2Со —— 6 360 15120 Практически чаше всего достаточно одного коэффициента Сг.
Поэтому окончаз ельный результат можно записать в виде ! !" в Рнс. 7 — 4. Завнсялюсть от энергии функции распределения Ферма-Дирака и ее произволпой и '(го) = ~ Ф(Е)Р(Е)/(Е)г)Е = Ф(!2)+ — (АлТ) — ~, (7.20) б т!Ег Н' где Ф(Е) описывается формулой (7. ! 7). 7.2.5. Энерпзя Ферми и кимичестт потенциал Хпатчвскай пптенинал Н определяется как энергия состояния, вероятность заполнения которого равна 'й (см. п. !.3.1, ч. 1). /Ттл металлав прн Т= 0 К энергия Ферми Ег н химический потенциал ц совпадают д, )' р(Е) г)Е = ) /(Е)р(Е) 27Е. (7.21) о о Интеграл правой части уравнения (7.2!) равен (7.20) при ~р(Е)=1.
Вспомогательная функция Ф(Е) и ее производные иа основании (7.17) определятся соотношениями: с! Ф Ир~Е~ ,(Ег НЕ Н Н Н г!Ф Ф(ц)=!)р(Е)~(Е, =Р(Е) Таким образом (7. 2 !) принимает внд Ег Н ) р(Е) г)Е =) р(Е)с!Е ь — (7гвТ) -~ ~Н Н 2 ) р(Е)г)Е+ — (хлТ) +-. = 0 ° 6 г)Е Ег и При низких температурах, когда Н находится вблизи значения Е~; приближенно можно записать: С ростом температуры кинетическая энергия электронного газа увеличивается, электроны занимают энергетические состояния, которые при Т= ОК были свободны. Часть энергетических состояний. которые при Т= 0 К были заняты, становятся свободными.
(рис. 7 — 3 в). Пра гтзких тезтерап(гргт квТ « Ег, граница заполнения энергетических состояний размывается симметрично относительно значения /(и) = ! !2 на величину порядка э2)гв Т. При этом )г практически, совладает с Ег и вероятность заполнения электроном состояния па уровне Ферми (т е с энергий Ег) равна: /(ЕР) = 1/2. При дальнейшем повышении температуры размытие становится несимметричным и значение химического потенциала смешается в область низких энергий. В этой области температур система характеризуется значением химического потенциала, а це энергией Ферми.
Смешение химического потенциала вырожденного электронного газа с ростом температуры в области низких температур можно вычислить с помошью изложенного выше метода для расчета средних значений. При любой температуре число электронов в металле остается постоянным. Это условие, учитывая выражения для и (7.13) и (7.!5), запишем как Ч4СТБ Л Гл. Л!.
Элемолтариыг возбуэгг)гиии эяеколроииой сисотвллы мелю»гав 359 (И вЂ” Еп)Р(Еп)+ — ((гвТ) — ыО ~, 2г!р(Е)~ 6 ВЕ и '. 2 (х .)2 йр(Е) Р(Ег) йЕ Используя выражение для р(Е) (7.12) получим окончательный зультат в виде: (7. л» И- =Е„ Так как цри низких температурах хвТ«Ег, то можно заключить, что смешение химического потенциала И с ростом температуры имеет второй порядок малости.
Л72и о»квоки г температурит для алел-гронов с энергиями с-и Е !(Е) =е л =С(Т)е (7.24) Она совпадает с функцией распределения Гиббса лля частиц, подчиняющихся классической стаитсилике Максввола — Болырлаиа, когда число доступных состояний значительно больше числа частиц, способных занять эти состояния Химический потенциал понижается с ростом температуры Т. Число электронов, описываемых статистикой Максвелла — Больцмана, растет. чл» ол» электроны системы описывались статистикой Максвелла — Больцмчна. энергия каждого электрона должна превышать И, то есть химический потенциал должен стать отрицательным И < О. Эявюлроляый гак подчиняющийся гляаиплстикг МаксвгялаБояьцмаиа, называется невырожденным, а иодчаняюигийся статистике Фв(ли~Днрака, называется вырожденным. Температура И » квТ.
(7.23) то есть расположенных на вхвостах» распределения Ферми — Дирака, условие (7.23) соответствует большим значениям экспоненты в знаменателе !" (Е) . Тогда единицей можно пренебречь и функция распределения для таких электронов принимает вид Т'=— (7.25) Ав называется з'емпературой вырождении ияи тгзтгратурой Фгргт. При Т » 7» ступенчатый характер распределения меняется на зкспоненциальный. Электроны проводимости практически всех ллеталлов находятся в состоянии сильного вырождения. При этом электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, имеют энергию, значительно превосходящую кинетнчеслую энергию их теплового движения.
В тгр.лзадииамике кими леский потенциал определяет среднее вероятностное изменение энергии системы частиц при изменении числа частиц на единицу. Он равен производной по числу частиц в системе от внутрснней энергии И = (Л//г(!т') прн постоянном объеме И' и энтропии 5 з.м' (нли любого другого термодннампческого потенциала — свободной энергии Е, энтальпин Н илн потенциала Гиббса С: И=(г(г/г(г!)г =(г(Н/г(Щз, =(гlО/г(Н) и, глс Р— давление).
Мож- но показать, что статистическое и термодинампчсское определения химического потенциала совпадают. Хнмнчесхий потенциал И определялся статистически (при выводе распределения Ферми-Дирака) аналогично статистическому определению температуры. Как н телшература, химический потенциал И является фулкцивй состояшт н одинаков во всех частях термодинамичесхой системы, находящейся в состоянии равновесия. Это относится и к случаю, когда термодинамическая система неоднородна.
Например, при наложении внешнего статического поля илн при контакте двух проводников происходит перераспределение электронов таким образом, чтобы химический потенциал стал одинаковым во всех частях системы. Выравнивание уровней химических потенциалов следует из термодинамического условия достижения максимума энтропии полной системы. Химический потенциал необходим лля описания открытых систем, когда число частиц в системе может меняться. Термодинамическое определение химического потенциала И позволяет наглядно описать положение и смещение И при изменении температуры в металлах и полупроводниках. Величину химического потенциала для электронной системы люжно оценить, как изялгиеяие энергии состоим при оиесеяии одной частт1ы, одяого электрона. При этом вносимый электрон приобретает возможность заниллать те же свободиые эигргеятчвскив сослиояиия, что и электроны системы.
Дтя .нвплвтнпв вносимый электрон при Г= О К, за»имая свободное сосзояиие с мипимальио возможиым значением энергии, помещается иа сфсрь Ферми с энергией Е = Ег Таким образом, химический потенциал совпалает с эиергисй Ферми )з = Ги й7.3. Злеязентариые возбуждения в ферми-жидкостной модели коллективнзироваиных электронов Эиергия кулоповского язаимодействия коллективизироваииых электронов в металле е /г при среднем расстоянии между электронами г = п -из где л — концентрация электронов, одиого порядка с кинетической эиергией - рг//2шо 1/и» вЂ” масса свободного электрона).
Поэтому коллективизироввииые элелгроиы в металле нельзя рассматривать как идеальный газ. У идеального газа энергия складывается из энергий образующих его частиц, и при измеиепии числа частиц эиергетичсские состояния (уровии энергии) других частиц ие пзмсияются. В жидкостной молели, в результате спльиого взаимодействия между частицами, при добавлеиии или уменьшении числа частиц изменяется энергия ие толькп всей системы, ио и энергетические состояния всех остальных частиц. В осиовиом состоянии (при Т= О К) электроипый газ заполняет все состояния в сфере радиусом рк .
причем в каждом элемептариом состоянии объемом (2яА) (для кристалла едоки шого объема) находятся два электрона. Основное жс состояние электронной жидкости, вообще говоря, бесструктурио. Однако, согласно основному пос лат тео пп Лаи а» лля ферми- жидкости, при включеиии взаимолействия (переходе от ферми-газа к ферми-жпдкости) классификация состояний электронов полагается иепзмеицой.
то есть состояния по — прежнему можно описывать залаипсм квазиимпульса. Прп этом фе ми-жи кость в основном состоянии п и Т= О К заиимаетв»п ест аистве тотже объем что и ( е ми-газ В теории Ландау система сильно взаимодействующих электронов при Т я ОК замеияется системой элементарных возбуждений — квазпчастиц. Па иизких уровнях возбуждения квазичастицы можно описывать в рачках модели почти идеального газа, и таким образом, использовать при рассмотрении одиочастичиое приближение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
