Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Элементарные вазбуз»сдения в кристаллах Филоны При низких температурах 1»вТ « Бо»»"л» выражения (6.92) и (6.93) принимают вид Е "Л ) = — -)»шъ»»»).ех ( АГ, Бга( л) ), А (й»ш'"л»' 2 »ал»1 в ' » . -г»ш» "(ялт) 2 ~ lсвТ (6.94) (6.95) При имсакггх и»ем»критурих»»Т > й»ш)(л), когда возбуждены все три ветви оптических фононов, получаем (условие нормировки на А»»л) з(7-») (Е ~'~)= ~~ (Е)"~~) = — 1л»вТ, (6.96) (.„) 3 2 (6.97) Теплоемкость при низких температурах, в рамках модели Эйнштейна, имеет экспоненциальную зависимость от Т, в отличие от степенной зависимости -Тз закона Дебая.
В пределе высоких температур модели Эйн»птейна и закон Дебая дают одинаковые значения теплоемкости. 6.3.4. Взаимодействие фононов Ангармоиизм колебаний атомов в кристаллах. До сих пор фононы рассматривались, как кванты энергии монохроматических упругих волн. Поскольку спектральные плотности люнохроматических воли (б-функц»»н) не перекрыва»отса и. следовательно, между ними не возможен обмен энергией, то монохроматические волны не рассеиваются друг на друге.
Это означает, что монохроматические фононы не взаимодействуют друг с другом и образуют идеальный газ частиц. Волны могут обмениваться энергией только в том случае, если кривые их спектральных плотностей перекрываются, то есть взаимодействуюшие волны не являются монохроматическими.
Немонохроматичносгь звуковых волн в кристалле определяется степенью ангармонизма колебаний атомов в решетке. Ангармоиизм колебаний, в свою очередь, связан с нелинейностью сил взаимодействия атомов в решетке. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия У(«) двух атомов от расстояния «между ними изображена на рисунке 6-24.
При сближении атомов на расстояния «<(«(Т =0)) потенциальная энергия возрастает быстрее, чем при их удалении друг от друга на ,",<(«(Т = О)) . Асимметрию сил взаимодействия можно описать поправ- кой к энергии, пропорциональной третьей степени отклонения атомов от положлния равновесия П(«) = Р'«' 8'«'. 2 3 где Р— коэффициент упругоств Л« = «-(«(Т = О)) =«-(ЦО)), я>Π— коэффициент ангармоничностп.
Тогда сила взаимодействия атомов равна РЛ«Л«2 (6.98) д« Силовая постоянная — объемный модуль упругости Р' (или сжиемости 1ф )— ~* = — ~=(3-ЕЛ« (6.99) Л« висит от Л«, то есть от амплитуды колебаний и, таким образом, от темратуры. Введение поправки приводит к тому, что частота колеба- Ц«) ний — т)р' /М становится функцией амплитуды колебаний в»(Л«), в результате чего 0 <«(Т=О)> кривая спектральной плотности <«(7)>-.' РазмываетсЯ в некотоРой облак- )»,Т , » ти частот.
Механизм рассеяния ~лТ» (взаимодействия) упругих волн в решетке заключается в сле- Рис. 6-24. Зависимость потенциальной на создает в кристалле чере- энергии взаимодействия Г»(«) двух атомов дуюшиеся плоские слои сжатия расс ия «ежду вщ и пунктир»»ая и разрежения. В результате не- кривая П(«) — с.
соответствует гармовичелинейности сил взаимодействия схим колебапиял». сплошная кривая — янмежду атомами, коэффициент гармоническим колебаниям; штрихпуиксжимаемости 17Р решетки за- тирная лривая («(Т)) — температурная висит от плотности (среднего зависимость среднего мсжатомного расрасстояния «между атомами), стояния так как р (Л«) = Д - БЛ«. Поэтому области сжатия и разрежения характеризуются разными упругими постоянными. Среда, в которой распространяется волна, становится неодно- ЧАСТБ П родной по своим упругим свойствам. Другая звуковая волна рассеивается на неоднородностях, созданных первой волной, как на "днфракционной ре~петкс'.
Таким образом, ассеянне ( пионов г на ге связано с ак стнческой модиляцней п чгнх ха акте нстик к нсталла в ез льтвте нелиней- ности алга моничностп силсвязнв ешетке. Тепловое расширение кристаллов. Реальной мерой ангармонизма колебаний атомов в решетке является величина теплового расширения кристалла Тепловое расширение тел — это следствие асимметрии потенциальной энергии взаимодействия атомов вблизи положения равновесия <ОТ=О)> — = <г(0)> (рис.
6-24). Амплитуда тепловых колебаний определяется расстоянием между точками пересечения прямой, соответствующей энергии теплового двис, ження — гагат и кривой (l(~). Для параболической зависимости П(г) (пункл'; тирная кривая на рис. 6-24) положение равновесия <фО)> не изменяется.'- прп повышении энергии Квт, то есть тепловое расширение отсутствует. ' Изменение положения равновесия (штрихпунктирная кривая на рис. 6 — 24)(, возникает только в результате асимметрии кривой П(г) (сплошная кривая) .-' . относительно линии <Б(О)>.
В результате асимметрии П(г) положение 1' равновесия атома смещается вправо, так что среднее расстояние между,: атомами увеличивается при повышении температуры. Поло;кение равновесия определяется нз условия равенства нулю рав-, нодействующей снл, действующих на атом: (р) =-)3(ЛЦ+В(Л~г~=О. Отсюда находим среднее значение смещения атома из положения равновесия (амплитуду колебаний): Г~л4') (ль") = 13 (6.100) Амплитудное значение потенциальной энергии тепловых колебаний равно средней энергии квантового осциллятора <(7>: ))(, ьг) — =(П). (6.101) Из (6.100) и (6.101) получаем (6.102) В области высоких температур <У> = 'квт и относительное изменение межатомных расстояний можно представить в виде 337 Тя.
*гй Элементарные возбуждения в кристо ьлох. Фоконы (6.103) (л4) Ву. т (4(о)) (4(0))))г Г гг где сгт = — коэффициент теплового расширения. жестко (~ (о)) )Зг связанный с коэффициентом ангармоннчносги я: аг уменьшается прн понижении темпе а д,, те пера уры, когда колебания становятся более гармоническими, и обращается в нуль при Т = О К. При ггизгшх температурах Т « — (ш — частота колеоаннй атом ) Ьш , ов) В (П) = йш. ехр( — ), и относительное межатомное расстояние экспонен=' '" ~т' цнально зависит от температуры: (ЛД .е.йгв йв (6.104) (ЦО)) (» (О)) 13г ) ВТ Заметим, что с ростом температуры и приближении к температуре плавления в потенциальной энергии становятся существенными высшие ангармонические члены — ~, Ь', и тл, которые следует учитывать прн высоких температурах.
Фонон-фононное взаимодействие. При взаимодействии фононов наиболее вероятны трехфононные процессы, записываемые символически в виде уравнений (Ч,ш )+(г)г ) (О ) (6.105) ра р %+с)г г)з+С ' (6.106) В литературе часто зто условие называют условием интерф р ци Наличие в законе сохранения вектора С подчеркивает идентичность точек где (г),ш) обозначает состояние фонона с волновым вектором и и частотой ш, определяемой законом дисперсии лля одной из поляризации: продольной )!, поперечной Л ~ или Л г.
Поляризация фононов при рассеянии может изменяться. Четырех, пяти н более фононные процессы маловероятны. Все процессы взаимодействия фононов можно разделить на две группы в зависимости от записи закона сохранения квазинмпул ьса (часть 11. э2.3.) фононов. Закон сохранения суммарного квазиимпульса при рассеянии фононов в кристаллической решетке отличается от закона сохранения импульса частиц в непрерывной среде. Он записывается с точностью до вектора об тной ешеткн С: ЧАСТБ П Ч-пространства. отличающихся на С, по аналогии с эквивалентностью точек среды в г-пространстве, отличающихся на вектор трансляции.
Процессы с С = О, для которых закон сохранения волнового вектора записывается в виде Ч1 +Ч2 ЧЗ' (6.107) называются нормальными процессами ()х1-процессалцг). Процессы с С ы 0 (6.106) Пайерлс назвал процессами переброса, ()7 процессами (на немецком — Ып)г!арргоаехзе). Принципиальное отличие (1-процессов от )х1-процессов состоит в том, что решетка при ()-процессах получает импульс отдачи С. Однако, поскольку в состоянии термодннамического равновесия процессы с импуль- . сами отдачи (+С) и ( — С) равновероятны, то в целом общий импульс фононной снстел«ы не изменяется.
Ч2 а) 'ис. 6 — 25- х«-пропесс (а) н 1l-процесс (б! рассеяния (Чпо«,)+(Ч„го ) «(„) з ! !!трнхаын обозначены границы примитивных ячеек Внгнера — Зейтца лля обратной' решетки (первых зоп Бриллюэна), С вЂ” вектор обратной решетки Пл !гй Элементарные позбужде«пш в крнсттлох. Фононы Кроме закона сохранения импульса (6.106) — (6.107) для обоих типов процессов рассеяния (11- и !)-процессов) выполняется закон сохранения энергии: ло«1+)«шз =)«п«з """' ш1+п«г =шз- (6. 108) Условия (6.106) — (6.!08) называются нравцламн отбора. Прн заданных параметрах одного нз фононов правила отбора накладывают ограничения на параметры фононов, с которыми данный фонон может взаимодействовать.
Рассмотрим в качестве примера случай трехфононного !х1- процесса рассеяния акустических фононов (Чнго«)+(Ч„он) — «(Чзло,), когда все трн вектора Ч«,Ч2,Чз направлены ндоль одной прямой. На рис. 6 — 26 сплошными кривыми изображен закон дисперсии акустических фононов при условии снятия вырождения для фононов с поперечной поляризацией. Пусть 1-й фонон, участвующий в процессе рассеяния. имеет параметры (г!н ш,), соответствующие точке О" на 1., ветви. Изооразим пунктирными линиями закон дисперсии го" (Ч") с началом отсчета н точке О" для 2-го фонона. По прав«шам отбора фонон (Чн ш1) может рассеиваться только на фононах, соответствующих точкам пересечения сплошных о«(г)) н пунктирных ш"(Ч") крнвьж.
Этн точки на рис. 6 — 26 обозначены белыми кружками. Пусть 2-й фонон имеет параметры (Чн о«з), то есть принадлежит 22 ветви (слг. рнс. 6 — 25). Тогда параметры 3-го фонона (и«, о«з), УдовлетвоРЯющие пРавилам отбоРа: п« + пз — — пз и ш« + шз = го,, находатса в системе координат о«(«7) первого фонона. На рис. 6 — 25 штриховыми линиями в Ч-пространстве изображены )л ые зоны Бриллюэна, в центрах которых О, и («з расположены узлы обрат-,.
ной решетки (черные точки). Рис. 6 — 25 а иллюстрирует !«(-процесс, а (1-г процесс, соответствующий закону сохранения импульса Ч1 + Чз = Чз+ С „ изображен в схеме расширенных зон на рис. 6 — 25 б. В (1-процессах волновые вектоРа Чн Чз с одной стоРоны, должны быть достаточно малыми,: чтобы умещаться в пределах одной ячейки Чь Чт <ххт2, а с другой сторо-! ны, в сумме они должны составлять вектор Ч, + Чз, длина которого больше вектора !х'/2(=к/а.' !Ч1+Ч2~>(1/2)С. Поскольку, хотя бы один из волновых вектоРов Ч, или Чт, должен быть сРавним с С«2, то вектоР Чз должен быть такого же порядка величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
