Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(го) = г(и/г1ьг однозначно определяется законом дисперсии, который в трехмерном случае представляется совокупностью поверхностей постоянной частоты. Чтобы получить общее выражение лля В(ш) нужно вычислить изменение числа состояний прн изменении частоты на йо. Объем, заключенный между поверхностями постоянной частоты п)(д) = соляг и щ(и) + Аго = соля, определяется интегралом по поверхности =м.' где АБ — элемент поверхности и г(Пг — расстояние в Ч-пространстве между поверхностями в точке, соответствующей вектору и. Учитывая, что групповая скорость, являясь градиентом частоты в Ч-пространстве, перпендикулярна поверхности постоянной частоты Ук, =г(го/й~г, интеграл (6.52) можно записать в виде Л = )' Аж А9, = ) " - Ь ) =-., ~"ог Ы! =-.з Ь. (4 Учитывая, что объем одного состояния в Ч-пространстве равен з! (2п) /И' (1У вЂ” объем кристалла), находим число состояний в пространстве между поверхностями постоянной часплы и выражение для спектральной плотности фононов йй ветви: Интегрирование в (6.55) проводится по замкнутой поверхности Ещ,.
тоянной частоты го для йй ветви фононного спектра. Для высоких часпри приближении к предельным частотам спектра, поверхность может ываться. Тогда области разрыва заменяются соответствующими поностями плоскостей зон Бриллюэна. ЧАСТБ П 321 (6.56) В>п (о) = о > о('") Ипп %~о !>>п(пк) 2 2 3 2п 1>як! (6.59) (6.57) 0 о э о. >. (пя) 0 (пз) и ~)>„з (Ч)~ ™~ (6.58) (и>!) ! >>ал 0 Отсюда получаем >>>3 о! ~~яп! ~гп! Ч (6.62) ( )' Рагл о 4 Ув„г Р;(о) = —. и >>а,' (6.63) ~~= вйПИ п~" ! =Б> ! 0 0 яд> о.
Ь Оз! =О22 =)Вп1 ~Ч~ Для акустических фононов, частота которых изменяется в интервале 0 < о < со>, „. плотность состояний в трехмерном, двумерном и одномер. (->) ном случаях можно записать, соответственно. в слс >ующем виде: 5 >ИЗ' (пя) - >а>. 1322 (г,>) (2>>) Б ~)'в>-,! (Ч)~ Здесь И' — объем, 5 — площадь, Ь вЂ” ллина кристалла, соответственно в трех-, двух- и ол>юмерных случаях; Е„„.
— плошадь (г>Š— элемент поверхности). I=„>2 — длина (>Ы вЂ” элемент длины) поверхности постоянной частоты >-й ветви фононного спектра (в Ч-пространстве) в трех- и двумерном случаях, соответственно. Поскольку в общем случае вычислить функцшо В(~ (о) чрезвь>чайно трудно, то ш>ачала воспользуемся простейшей моделью, а затем рассмотрим, как изменяется функция плотности состояний при переходе к реальным кристаллам. 6.2Л 1. Спектральная фононная плотность для модели изотропного кристалла со сферической зоной Бриллюэна Рассмотрим абстрактную модель изотроллого крлстатла без даслерси>>, со сфераческо>! зоной Бриплюэли. Для такого кристалла спектральная плотность акустических фононов может быть прелставлена в аналитическом виде.
Из законов дисперсии продольных и поперечных фононов )7> И. Элементарные возбуждал>т в крясталлт. Фаяалы определяются радиусы сфер постоянной частоты 01~ ог ч)! и Чл Тогда плотность состояний, рассчитанная по (6.56), где г 4п г »Е = 4яЧ = — о, принимает вид, представленный на рис. 6 — 17 а: 2 Значение предельной частоты находится из условия нормировки ,47) парциальной спектральной плотности (при3 = 1): В (')3 (6.60) 0 бп'$/гп> Совершая аналогичные вычисления в двумерном (рис. 6 — 17 б) и одномерном (рис. 6-18 б, пунктирная кривая) случаях, находим следующие зависимости плотности состояний от частоты, а из условия нормировки— соответствующие предельные значения частот: ЧАСТБ мт З2З !!ш Вш аш о)! эш1,ь =юг,г- (4!'З) дз (2л) /И' (6.66) лж ю Д бт=п/а а О ~'( )= (6.65) .Г !!т О Бж р оэ! ш! ; !' а б Рис.
6-17 Зависимость плотности состояний !1(го) фоионов одной из ветвей спелтра от частоты в абстрактной модели изотролиого кристалла (без лисперсци. со сферической зоной Брнллюэиа) лля трехмерного (а) и лвумериого (б) случаев !'ис. б — 1В. а — закон дисперсии филонов для моноигомной цепочки (сллошная $ кривая! и его линейная аппроксимация (пунктирная прямая); б — плотность фоцогшыл состояний. соответствуюшая законам лислерсии, представленным иа рис.
а )! одномерном случае, ио г учетом дисперсии, используя закон дисперсии в виде ш = го з)п(да/2) (6.18), где ш„= 2,(р7М, получаем выражение для групповой скорости (6.21): ,ж!' ) а'Шлях ба а г 2 (6.64) гб) 2 ~2! 2 Подставляя (6.64) в (6.58), находим спектральную плотность (рис. 6- 18 б, сплошная кривая): В трехмерном случае соотношение между предельными частотами лля разных ветвей спектра (разных поляризаций) в соответствии с соотношением скоростей звука для этих ветвей, будет иметь вид: ' !)ь О. Эвементарные возбуждения в кристаллах Филоны' Предельное значение волнового вектора одинаково для разных ветвей спектра (продольных и поперечных), поскольку определяется числом элементарных 9-состояний в объеме 1 зоны Брнллюзна: Для данной абстрактной молели трехмерного изотропного кристалла со сферической зоной Бриллюэна (без дисперсии фононов) иа рис.
6-19 ' представлены законы дисперсии фононов (а) и функции плотности состояний (б) для двух ветвей спектра: поперечная ветвь дважды вырождеиа и изображена штрихпунктирной кривой, продольная ветвь — пунктирной кривой. Для продольных фононов скорость распространения больше, чем для поперечных, и поэтому значение предельной частоты больше.
Значит, , зависимость плотности состояний пролольных фононов идет положе, поскольку плошади под обеими кривыми должны быть одинаковы в силу нормировки 0(го). Результиру!ощая (интегральная) плотность фононных состояний в кристалле, изображенная на рисунке сплошной линией. имеет два четко выраженных максимума. !ия О !ья !ив 9 'а шл а б Рис.
б — 19. Закон дисперсии Оф и спектральная плотность (б) фоионов в рамках модели трехмерного изотропиого крисшлла со сферической зоной Бриллюэца. Зависимости, соответствующие продольной ветви фоиоиного спектра, изображены пунктирными линиями, а дважды вырожденной поперечной ветви— штрихпунктирными линиями. Интегральная плотность состояний фоноииого спектра представлена сплошной кривой Ря У7.
ЭлементаРные возбУждеииЯ в «Ристаллах. Филоны 325 6.2 12. Модификацссн спектральной плотности при переходе к реальным кристаллам Рассмотрим теперь. как полученные функции плотностей состояний изменяются при учете особенностей фононного спектра реальных кристаллов.
Прежде всего. учтем, что зоны Брпллюзна представляет собой не сферы. а многогранники. Поэтому с) ' зависит от направления. С ростом частоты с! — ьсо при приближении к границе зоны Бриллюэна (ш>соз !кп на рис. 6-15) поверхности постоянной частоты разрываются на отдельные куски, аби!ая пяоисадь которых постепенно уменьшается при возрастаппл частоты и обращается в нуль при достижении предельного значения Р(со) со .
Предельным значением частоты обладают сия фононы с волновыми векторами, соответствую- шими наиболее удаленным углам зоны Бриллюэна. В результате максимум на кривой плотности состояний становится более пологим и смешается влево по частоте, так что зависимость О нм Р (со) лсонотонно уменьшается при прибли- си женин к соа (рнс. 6-20, сплошная кривая). Учет дисперсии, то есть уменьшения ско- рости фононов при приближении волнового векяля трехмерного крн- тора к границе зоны, приводит к росту плотносталла с зоной Бриллю- сти фононных состояний вблизи границы зоны зла в ! орме многограл- Бриллюэна. При меньшем значении скорости и сферы спунктнрная с!со!сМ, на один и тот же интервал частот с(со приходится больший интервал волновых чисел с19, а значит и большее число состояний.
В то же время нз условия нормировки Р(со) следует, что рост плотности состояний в области больших частот должен приводить к уменьшению предельной ! частоты со' . так как плотность состояний при низких частотах, где дисперсия отсутствует, остается неизменной. В результате пики в плотности состаялий спсановятгя более резсасми и смеисаются в область более виз«ах частот, та«же «а«и о! ' . Учет внизотропии и наличия разных скоростей волн с разной поперечной поляризацией приводит к снятию вырождения поперечник ветвей спе«тра сранаиав (рис.
6 — 21 а). Результирующая функция спектральной плотности Р(со) (рис. 6 — 21 б) является суперпозицией спектральных плотностей продольной н двух полеречньгх ветвей фононов: Р!!(со), Р„(со) и Рхз(со). Спектральная плот- !ость акустических фононов обычно имеет три достаточно четко выра- женных максимума. Левый относится к низкочастотным поперечным Лм ссм соы созс ссм 'и О со ! х сьз с ь) со!"' б Рис. 6-21.
Снятие вырождения поперечных ветвей спектра акустических фовонов при учете анизотропии реальных кристаллических структур — (а)! (6) — интеграль- ная плотпосп фоноинмх состояний, три максимума которой соответств>лот трем весвям спектра: продольной и двум поперечным. фононам, средний к высокочастотным поперечным фононам, правый — к продольным фононам. Вцелом фононный спектр характеризуется двумя частотами поперечных фононов — сосх, шз!, частотой продольных фононов ох1 (эти частоты, соответствуют максимумам в плотности состояний) и максимальной частотой оз!", прн которой плотность фононных состояний обращается в нуль.
6.2.13. Спектральная плотность оптических фононов В трехмерном кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке имеются три ветви оптических фононов — две поперечные и одна продольная. Оптические ветви занимают сравнительно узкий интервал частот. (.я) «(т) о>! 1„<со<со; (см. рис.б — 8). Вычисление функции спектральной плотности в общем случае является очень сложной задачей. Поскольку скорость оптических фононов дсо1дс) (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
