Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Скорость продольных волн — волн сжатия-разрежения ь.~, всегда больше, чем скорость поперечных волн — волн сдвига )г,, ввиду разницы упругих констант деформаций растяжения-сжатия и сдвига. Закон дисперсии продольных о)!(а) н поперечных шх(г1) фононов имеет вид, представленный на рис. 6-! 2а. Для цепочки с тремя степенями свободы ветвь шх(а) двукратно вырождена, поскольку колебания атомов перпендикулярно линии цепочки идентичны. В двухатомной цепочке, содержащей атомы разной массы, фононный спектр изменяется аналогично изменению спектра в цепочке атомов с одной степенью свободы «рис.6-12 б,в).
Спектр акустических фононов двух- ЧЛСтЬ И в в 2в атомной цепочки с двумя степенями свободы содержит две ветви: попейы речную ог, (д) и продольную ш1м1(в) . Спектр оптических фононов так ' же состоит нз двух ветвей: поперечной ш("г)(о) н продольной ш(м1(о). У цепочки с тремя степенямн свободы ветви ш(м)(в) и ш(ш)(в) становятся: двукратно вырожленными. Рнс.б — ! 2 (а) — закон дисперсии продольных н поперечных фононоа для моноатомцой цепочки: (б) — появление энергетических щелей в спектрах продольных н акустнческнх фононоа прн удвоении периода нмсюшсго место в двухатомной цепочке: (в) — вил лнснерснонных кривых в! Зоне Бриллшэна с учетом трансляционной инварнантоосгн закона дисперсии фоновое на векторы обратной решетки Пл Л.
Элниентарные возбуждения в кристаллаг. Фонолы В зависимости от величины разрыва энергии (частоты) между ветвями акустических и оптических фононов при д Р бл/2а, у продольных и поперечных ветвей спектра может наблюдаться перекрытие ветвей о~~ (4) и ш(~лд)(д), если различие масс соселннх атомов невелико. В противном случае в фоноином спектре существует интервал запрещенных частот, раЗделяющий акустические н оптические фононные ветви.
6.2.6. Изменение закона дисперсии фононов прп учете прямого взаи- модействия с атомами второй координационной сферы Учтем теперь кроме взаимодействия соседних атомов с силовой постоянной (3ь также взаимодействие атома с номером л с атомами, имеющими номера (л — 2) н (а+2), Силовучо постоянную этого дальнего взаимодействия я ь обозначим (32 (рис. 6 — 13). л — 2 и 1 л+2 Тогда сила, действующая л ~ р лы на атом с номером л, будет су- Р' Р' ' ~' Р~ перпозицией снл ближнего и дальнего порядка: бэ +2. =.г' 13.(~ . ~ ) (639) Рнс.б — 13. Схема упругого взаимодействия каждого атома моноатомной цепочки с олнжайшнми сосслямн с коэффициентом жест- Решение уравнения движения го атома кости Р~ н слелушщими эа блнжаншнмн ження л-го атома с коэффициентом жесткости р будем искать в виде ~ 1(ок — дав) (6.41) Подставляя (6.41) в уравнение (6.40) при учете (6.39) получаем выражение для частоты колебаний атомов: ш =шч +шг= — 132 51п — + (32 51п Ца г г г 4( .
29а (6.42) М~ 2 Сравнивая (6.42) с (6.18), видим, что второй член описывает влияние дальнего взаимодействия на частоту фононов. На рис. 6 — 14, а представлена зависимость ш (4), полученная методом графического суммирования зависимостей 4 .24а 2 4 . 2 ш = (3 яш — и гог= — ~32З1п Ча. М 2 М Если рг с< рн то учет дальнего взаимодействия (второе слагаемое в (6.42) дает лишь слабое искажение основной зависимости ш1(д), получаемой при учете взаимодействия только соседних атомОв.
Гд ЕЬ Элемеиигариые возбуждения в кристпюгах. Фпггпиы 311 ЧАСТЬ !1 Если же коэффициенты Р, и Рг сравнимы по величине, то в законе дисперсии фононов одномерной цепочки идентичных атомов появляется максимум. расположенный внутри зоны Бриллюэна при и/(2п) < 4 < и/а .
Таким образом. величина зигксииуна, зависягйая от упругой ппстпяииай кзпкипдейсттт Рз хпрактсрггзует агилгггге иа спектр грпггаггов взпшгпдейсигвие каждого птама реигетки с аиихиаии второй кппрдиггаг!ипилпй гг/геры. ч 2и а Ю г и !эис.б — !4. и — зависимости гпг, иг и ег (6.42) от волнового вектора гг,. б — дис- ' перситигыс кривые зкусгических фоиоиав продольной Ь и двух поперечных Тг;, и Тг поляризаций для алюминия в напрзялении (110] б 2 иг~ = — (Рг +4Р2)г)~ ° М (6.43) н закон дисперсии остается линейным (6А4) Качественно появление максимума на дисперсионной кривой можно объяснить следующим способом.
Поскольку колебания соседних атомов на границе зоны Брнллюэна происходят в противофазе, то атомы второй координационной сферы колеблются в фазе с рассматриваемым атомом, и Например, в свинце Рг г— е Рг/3, что приводит к появлению максимума . на дисперснонной кривой о)~(4) для продольных фононов.
Учет взаимодействия атомов, находящихся на расстоянии За (через три периода), которое характеризуется в свинце коэффициентом Рз гз Рг/13 сводится лишь к слабому искажению о)г(г!). На рисунке 6 — !4, б представлены дисперсионные кривые для направления !!1О] распространения акустических фононов в алюминии. В ллннноволновом приближении (г)п «1) выражение для квадрата частоты принимает внд поэтому влияния на него не оказывают.
При уменьшении г! включаются дополнительные силы взаимодействия с атомамн второй координационной сферы, что увеличивает жесткость системы, а значит и частоту колебаний по сравнению с системой, где учитывается влияние только ближайших соседей. При дальнейшем уменьшении д частота уменьшается в силу закона дисперсии. В результате на дисперсионной кривой появляется максимум в средней части зоны Бриллюэна.
Для поперечных колебаний максимум нз дисперсионных кривых практически никогда не появляется из-за относительной малости сдвнгового модуля для второй координационной сферы. Заканчивая рассмотрение одномерной цепочки атомов с тремя степенями свободы, следует отметить, что цепочка атомов является единственной структурой, энергетический спектр колебаний которой однозначно описывается тремя ветвями акустических и тремя ветвями оптических фононов. Для трехмерного, в общем случае анизотропного, кристалла ситуация сильно усложняется. 6.2.7. Особенности распространения звуковых волн в трехмерных решетках Звуковую волну в трехмерном кристалле, распространяющуюся в каком-либо направлении, задаваемом волновым вектором с), можно рассматривать как результат смещения эквидистантных кристаллических атомных плоскостей, перпендикулярных вектору г!.
Такие плоскости являются плоскостями постоянной фазы. Однако, направление смешения атомов в этих плоскостях, в общем случае, в результате аннзотропии упругих постоянных не совпадает с направлением волнового вектора г! или направлением, перпендикулярным г!. Рассмотрим двумерную прямоугольную решетку с разными упругими постоянными в двух взаимно перпендикулярных направлениях: ])„вдоль оси ОХ и Р„> Є— вдоль си ОК Приложим переменную силу Е в направлении г), не совпадающем с рациональными (ОХ и ОУ) направлениями в кристалле. Под действием силы атомы сместятся по осям ОХ и ОУ на расстояния р сйпп У Р где а — упгл между вектором Е и осью ОХ.
Пусть а=45. При Рг > Р„смешения г,„> Рп и результирующее смещение с направлено под углом к г!. Это означает, что при произвольном направлении г! волна будет иметь смешанную продольно-поперечную поляризацию. Скорость распространения волны зависит от направления волнового вектора. Если константа упругой связи вдоль осн ОУ больше, чем вдоль оси ОХ, то скорость вдоль оси ОУ будет больше.
ЧАСТБ П т». РЬ Э»еиептир»ые возбулсдеРРи» в кристи»»пх. ФоРРоРРы В реальном трехмерном пространстве скорость волны определяется силами. возникающими при смещении плоскостей друг относительно друга. Этн силы формируются взаимодействием каждого атома с окружаю- шими ега соседями в области, имеющей размеры нескольких межатомных расстояний и. таким образом, зависят от кристаллической структуры решетки. В резу.чьтате потенциальная энергия взаимодействия (потенциальная яма) для отдельного атома в трехмерном случае всегда внизотропна, лаже лля кубической решетки. Анизотропия потенциальных ям приводит к тому, что атомы в кажлой атомной плоскости (перпендикулярной Р)) смещаются, в общем случае пол углом к вектору Р).
Только в определенных направлениях распространения волн (дл» л)Рбичес«ого кристгьтпа это папрпатепия тило [100], [110], [111]) направление смещения атомов и велтор г) строго перпендикулярны илп параллельны друг другу. Это означает, что только в этих направлениях могут распространяться строго продольно илн строго поперечно поляризованные волны. Таким образом, следствием анизотропии является то, что, во-первых, скорость звуковой волны зависит от направления распространения, а вовторых, волна имеет смешанную поляризашпо при произвольном направленни г). Очень важной особенностью аннзотропных решеток является то, что каж ом некто соатвегств ет только т и оп е еленных нап авления поля изации нап авления слРец ения атомов об аз их о оганаль- нщо т ойк векто ов: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
