Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Подставляя (6.15) в (6.14) получим частоты колебаний атомов г» =+2 1 — 51п — = 2 ( — 51л — =ознп„з(п: 9 Чп ~Р. +Чп . +Чп М 2 ~М 2 2 (6А 8) гле сз х =2«$/М . « и (6.20) Значение частоты колебаний атома не зависит от его порядкового номера, а, следовательно, все атомы колебчются с одной и той же частотой и амплитудой (6.15), что соответствует распространению бегущих волн. Поскольку частота не может быть отрицательной, то знак + перенесен к волновому вектору и соответствует двум волнам, распространяющимся в противоположных направлениях, Зависимость ш(Ч) (6.18) выражает закон дисперсии акустиче«, ской ветви продольных 2 " ' ------------ч фононов(рисб — 3).
1«ч 5(л~; При низкочастот- Г ~; ~ ных колебаниях (Л»а »3«Х Ц 1 или Ча (с 1) закон диск 3 персии можно линеаризовать, разлагая (6.18) в ! 1 ряд Тейлора по Ч до пер\ 3 1 ! ! ! ваго порядка, что дает я « 0 линейную зависимость со и 2н 2п отЧ: Рис. 6-З. За«оп дисперсии ш(Ч) акустической в«гни ( / р 1 продольных фононов ляя одномерной цепочки атомов (соло»тая кривая) и линейный закон дисперсии звуковых волн в непрерывной среде (вприховая ~аршггерную дяя ~вука прямая) вых волн, распростра- няющихся в непрерывной упруепй среде. Таким образом, при Л» а цепочка ведет себя как непрерывная упругая нить, в которой звуковые волны, распространяются со скоростью У =+а ~ — соз— ( 11 1 Р Чп )('м г (6.21) Равенство нулю групповой скорости при Ч =+и/а, т.е.
на границе зоны Бриллюэиа, имеет наглядную ьорпускулярную интерпретацию, если рассматривать фононы, как независимые н несвязанные с кристаллической структурой квазичастицы. :-" г ж Ч а Рис.6-4. Зависимость групповой скорости акустических фоиоиов от волнового вектора в линейной цепочке атомов На первый взгляд такое предположение кажется некорректным, поскольку фононы не являются внешними частицами по отношению к решетке. Они «рождены» решеткой. являются результатом ее возбуждения. Однако описание колебательного движения (возбуждений системы) с помощью квазичастиц имеет то преимущество. что квазнчастицы (фоноиы), после их введения (определения закона дисперсии) можно рассматривать как ансамбль самостоятельных частиц.
движущихся в нвппдвяжной гЧзистаыическпй структуре, то есть находящейся в основном, невозбужденном состоянии. Тогда фононы, как и другие микроскопические частицы, испытывают брзгговское отражение на границе зоны Бриллюэна при условии Вульфа-Брэггов Ч =+и/п.
Условию Ч =+я/а (то есть Л'=2а) соответствуют колебания соседних атомов в противофазе Ьгр = Ча = (и/а) а = и. Такое колебание представляет собой стоячую волну, которая не переносит энергии, ее групповая скорость равна нулю. Узел стоячей волны всегда находится по середине между атомами, что соответствует сов-типу стоячих волн (рис. 6 — 5).
Групповая скорость фононов У „= доз/гйс является градиентом час' тоты (или энергии) в пространстве волновых векторов (или импульсов) и ~пап Ф ЧАСТБ П Тл. )д. Элднентпарпые возб)о«делил в «рисгпатлах Филоны М~ Мз (а! ! ! ! ! ! ! ( ! ! ! !=-Сов( — «)~оз(ыг) п Рис.б — 5. Смещеннс атолюв (о) в линейной непочке (и) при возбуждении фояонов с вояновыл~и векторами д =+тда (Л = 2а) Волновой вектор возбуждений решетки д = 2л/Л ограничен минимальной длиной волны Л„,ь = 2а.
У обычных частиц импульс может меняться неограниченно <р<+ . Чтобы фононы обладали такими же свойствами, следует расширить область значений волновых векторов, закшочснных в 1 зоне Бриллюэна, а значит и область возможных значений импульсов фононов. Для этого набор волновых векторов (и соответственно, закон дисперсии) в первой зоне Бриллюэна транслируется на векторы обратной решетки С=(2л/а) 7' (! =+1, +2, +3, ...) (см. ч.П, я2.3). При этом характер закона дисперсии ш(д) полностью опрелеляется его видом в первой зоне Бриллюэна -я/а < д < лтгlа, которая содержит все физически различные значения волнового вектора. Как мы видели при введении понятия обратной решетки ваянипые пекшоры (и там чисзе и филонов), ала!ичаюи! неся на лектор обратлий реп!етки (й и ц+С) физически эктваленглны, а значит, соответствуют одним и тем же энергетическим состояниям.
Закон дисперсии фононов гп(д) становится периодической функцией в г)- пространотве ( < д < + ) с периодом, равным примитивному вектору обратной решетки. Волновой вектор квазичастиц — фононов, характеризуемый дискретностью н периодичностью называется квазиволновым вектором, а импульс, соответственно, — квазиимнульсом. Трансляция на вектор обратной решетки С иллюстрирует периодичность свойств в пространстве волновых векторов и является следствием трансляционной симметрии решетки в координатном пространстве, в которой находятся фононы.
6.2.3. Фононы в одномерной леночке, состояшей из атомов двух сортов Рассмотрим одномерную цепочку атомов (рис.б — 6), в которой четные но порядку номеров атомы (черные) имеют массу больше, чем нечетные (белые): М, > Мз. Рнс.б-б. (а) — одномерная цепочка нз атомов двух сортов: масса черных атомов больше массы светлых М, > МИ (б) — акустическая волна в пспоч«е с ллиной вол- ныЛ=ли Уравнения движения двух соседних атомов с разными массами имеют вид: МД2л =1!(э2!л+(+>2з 1 — 2э2л ), (6.22) 2>2л+ 1 л3(>2л+ 2 + >2л — 2>2л+1) . (6 23) Решение уравнений будем искать в таком же виде как (6.15), то есть в виде колебаний атомов в среде, в которой распространяется волна !(лиэи) =Ге( 2« Г(як +(2«-В~дп) (6.25) где координаты четных атомов равны х = 2-а, нечетных — х=(2л+1)а, а Т и з) — их амплитуды колебаний, соответственно.
Подставляя (6.24) и (6.25) в уравнения движения (6.22) и (6.23) получим систему уравнений — га М!Ь*'=Я(е'дп+е 'ч~) — 2рг,", (6.26) — оз Мзг) =(3Ч(е~ +е л!и) — 2(3!3. (6.27) Система имеет нетривиальное решение, если детерминант коэффиннентов этой системы равен нулю: ! 233 — ш М! — 215'созда =О. — 2фсояда 233 — ш М2 Это условие приводит к наличию двух различных собственных частот колебаний неоднородной цепочки атомов: ЧАСТЬ 11 301 „г )3 1+ 1 +[) (6.28) ш+ = 2[1 — +— =-И:,.,] (6.29) (6.30) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! (б) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! У =а " М)+Мг (6.31) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! (6.32) ш: 0)/~) =1; В приближении !)а «1, что соответствует длинновалновой области спектра, частоты можно записать в виде Зависимосзь (6.30) аналогична (6.19) и описывает закон дисперсии ллпнноволновых продольных акустических фононов, групповая скорость которых при М! = !Иг переходит в выражение для скорости длинноволновых коле- баний (6.20) в моноатомной цепочке.
В том же приближении дп «1, под- ставляя (6.29) и (6.30) в одно из уравнений (6.26) ияи (6.27), находим от- ношение амплитуд колебаний при частотах ш и а),: о,! (ц/(), =-М,/М, . Отношение амплитуд (6.32) означает, что для акустической ветви колебания соседних атомов происходят с одинаковой амплитудой и при больших Л практически синфазно (рис.б-б 6). Из (633) следует, что во второй ветви колебаний соседние атомы колеблются в противофазе и с разными амплитудами. Записав выражение (633) в виде М)~+МгЧ (6.34) м +м приходим к выводу, что колебания соседних атомов происходят так, что амплитуда смешения центра масс атомов в элементарной ячейке равняется нулю.
Эта ветвь колебаний называется оптической (рис.6-7). Рассмотрим основные особенности оптических ветвей на примере объемно-центрированной кубической решетки, у которой масса центрального атома отличается от массы атомов, расположенных в углах куба элементарной ячейки. 7л. И. Элелшитврные возфлсдеиия в кристпилпх. Фолоны Случай, когда вектор «1 направлен вдоль [100] одной пз осей элементарной ячейки аналогичен двухатомной цепочке, если вместо чередующихся атомов разной массы рассматривать чередующиеся с периодом а)2 плоскости легких и тяжелых атомов.
Этому направлению [100] соответствуют три типа оптических фононов! продольные фононы с вектором поляризации 1."', параллельным [100] и два типа поперечных фононов с векторами поляризации Т,~ и Т ~, направленными, соответственно, вдсль [010] и [001]. Поскольку направление [100] является осью 4-го прядка и направления [010] и [001] эквивалентны, то законы дисперсии поперечных оптических фононов при заданнол! г) совпадают, то есть ветвь спектра оз('")[!1) дважды вырождена. б — 7 Смещение атомов и линейной цепочке при возбуждениях, соотиетствуюоптическим фононам с длинами води от минимальной Л = 4а до ) — ~ со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
