Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Итак, размер кристалла (в одномерном случае — длина цепочки атомов Ь) определяет длины волн Лз возбуждений. Энергия, возникающего возбужлення на длине Лз зависит от числа квантов возбуждений на этой ллнне волны. Число квантов связано с величиной возбуждающего фактора, например, с температурой. Энергия одного кванта зависит как от Лз так и от параметров решетки. Эта зависимость может быть определена только п н ассмот енин инамикн асп анения возб еннй в к исталле. На рис.б — 1 представлены зависимости энергии квантового сциллятора Е „от его частоты го я разного числа возбужденных антов и.
Вертикальные штрихоые прямые. соответствуют раз' шенным значениям частот оз ,(соответственно, длинам волн )1). кв о като При Т= 0 в спектре присутствуют только нулевые колеба- Хвт ия, энергия которых соотвегст- ш уст точкам на пересечении завиимости Е„(го) при л = О и штриховых вертикальных линий. Рис. 6 — ! Зависнмосп энергии квантоПри повышении температу- вого осцнллятора Е„(о1) от частоты ры появляются кванты тепловых ' возбуждений, причем большее при различных числах и возбужденных число квантов возбуждений приходится на долю низкочастотных колебаний. Возбужденным при температуре Т= Т' квантам энергии соответствуют те точки пересечения линейных зависимостей Е„(го) для разных и и вертикальных штриховых линий, которые расположены ниже го' ризонтальной прямой Е = ЛвТ* на рис.
6 — 1, то есть энергия которых меньше МвТ*. Например, при температуре Тч возбуждены колебания с частотами со с ш*, а более высокочастотные колебания практически отсутствуют (кроме нулевых). При температуре Дебая То в кристалле возбуждаются колебания со всеми возможными частотами. Дальнейшее повышение температуры приводит только к увеличению числа возбужденных квантов на каждой частоте, то есть росту энергии каждой моды колебаний. 6.1З Средняя энергия тепловых колебаний на частоте ш Используя выражение для среднего равновесного числа возбужденных квантов на частоте и) при температуре Т (распределение Бозе— Эйнштейна, часть 1, (К44)) -1 (и) = ехр — з (6.3) можно вычислить среднюю энергию колебательной молы (осциллятора) на частоте о) (ЕГ"д)= — йо-+(п)-йи = — ~+био) ехр — — ! г ' ' г '~ '()вТ~ ! 293 чАсть р/ (и ~ /'вт ьи (Б„.) =/вт. Бегущие волны Стоячие волны (6.7) Л,=2/ Оценим величину вероятности и =(! — ехр( — /к!1/(/свт)))х (6.9) Л«=2Ь/й=2а=Ъ /=1, 2, 3,.../1// 56.2.
Фононы находятся в интервале Первое слагаемое в (6.4) — энергия нулевых колебаний, второе слагаемое — с е няя эне гия тепловых колебаний /Е, ~ =~и)./1о// (6.5) на данной частоте о) при температуре Т. В нри611сжении низких таиперппсур Т к 21ш.//с число возбуждеи// в ных квантов н их средняя тепловая энергия экспоненциально малы: Л!л1 /нл .
! (н ) — в в (Е ~ — 21шв в (6.6) При вмспнп» температура» Т» йш./«в (в классическом приближении) средняя энергия осциллятора пропорциональна температуре: хе«Р( — и./1о/(/вт)) возбУждениЯ и квантов с частотой о1 (см. часть.1, (!.43)) при температуре Дебая Тр, которую будем полагать равной комнатной = ЗООК, что справедливо для большинства метзллов. Вероятность возбу!кдения одного кванта (н= 1) на максимальной частоте р1„равна -1 -1 !!!! ! ! — е ) е = 0.232, двух (и = 2) — 0,036. трех (и = 3) — 0,032, то есть при Т = Т„, в среднем, только 23% атомов находится на первом уровне возбуждения, соответствующем максимальной частоте. Таким образом, вблизи комнатных температур около 30% атомов на ср, совершают только нулевые колебания.
При температуре Тр/2 доля возбужденных атомов на этой частоте еще меньше и составляет в среднем = 12%, при ТрТЪ вЂ” = 5%. Только при температуре 1,4Т„вероятность возбуясдения 1 кванта на частоте ср, равна = 1. 6.2.1 Фононы квк квазичастицы Перехол решетки в возбужденное состояние решетки описывалось выше как возбуждение квантов нормальных колебаний. Нормальные колебания — это стоячие волны, групповая скорость которых равна нулю. В этой модели квант энергии нельзя принять за квазичастипу (см.
35.3, ч. 1) с определенным импульсом, поскольку равенство нулю скоростей квазичастнц не позволяет рассматривать динамику тепловых возбуждений в решетке. Чтобы приписать энергетическим возбуждениям определенный Тл И. Элементарные возбуждения в «растаяла«. Фононы импульс, заменим каждую стоячую волну двумя бегущими навстречу друг другу звуковыми волнами, удовлетворяющими циклическим граничным словиям: на границах кристалла волны имеют одно и то же значение (см.
иже (6. 16)). Бегущие звуковые волны в кристалле, в отличие от нормальных мод, имеют отличную от нуля скорость распространения У,. Причем при условии Л!»а длина волны Л! связана с частотой щ соотношением: Л. = 2п(/г/ш., откуда ГР! = !/! С/„ (6.3) где 4! = 2я/Л! — волновое число, определяемое длиной волны. Для одномерной цепочки атомов длины Ь с периодом а замена стоячих волн бегущими происходит по следукнцей схеме.
где И вЂ” число атомов в цепочке (в общем случае /1/ — число примитивных ячеек в кристалле). Обратим внимание на то, что при таком переходе число волн с различными Л уменьшилось в два раза, но зато теперь каждому значению Л; стало соответствовать две волны с волновыми векторами +с1, н — с)„так что полное число волн осталось прежним. Волновые вектора бегущих волн определяются соотношением: с/! = — = — 1, (1 =+1, +2, ..., +/1//2). (6.10) 2я 2п Ь Максимальные значения волнового вектора с), соответствующие 1 = Й12, равны ч ж/а, так что все возможные значения волнового вектора 71 я — — < с/< —, (6.11) а а то есть на отрезке длиной 2я/а. Указанная область значений (бй1) есть не что иное, как область 1 зоны Бриллюэна в одномерном случае (см.
часть 11, и. 2.4.2). 2/овнов число различных значений вал«оного ве«тора в одномерной цепочке атомов равно отношению длины этого интервала (6.11) к ми- 295 ЧЛСГЬ И иимально возможному значению алл = 2тЛ„поскольку разрешенные значения волнового вектора эквидистантны: (2яlа)!(2яП.)=Ф, то есть равно ппялаэп: числ лар иальпьхт «алебапий в одномерной решетке. Тепе ь можно каждой бе 'щей волне с волновым векто ом . 610 и частотой ш поставить в соответствие части с эне гней авной кван члтл — — н Е; =йш; (6.12) и импчльсом Р; =йг)..
(6.13) Соотношения (6.12) н (6.13) аналогичны уравнениям Эйнштейна, определяющим элементарную частицу — фотон, как квант электромагнитных волн. По аналогии с фотонами Я.Б. Френкелем для элементарных возбужлений решетки было предложено название фонон. Фононы — ~ал".лая " " в~ "Р решетки. Поскольку волновой вектор (и импульс) фоноиа может принимать только дискретные значения рл с интервалом Ьао — — 2л/Ь, то принято говорить. что фонон находится в состоянии с волновым вектором г), а Ьдо —— 2л/ь — обьси этого состояния (в одномерном случае). В трехмерном случае объем одного состояния в и-пространстве равен з дал =(2л/6) .
поскольку е » и, то объем а-состояния, характеризующий дискретность спектра, мал, и спектр мазепа считать каазииепрерыапыи, а эшиииальио аозиаипюе значение па модула валпааага вектора равным пниа. В этих условиях можно говорить о законе дисперсии фононов (зависимости частоты от волнового вектора ш(а)), как некоторой непрерывной функции волнового вектора Ф Понятие объема Ч-состояния имеет глубокий квантово-механический смысл, связанный с соотношением неопределенностей Гейзенберга бр„бт > Ь, тле бр, и бх неопределенности импульса и координаты частицы при их одновременном определении.
Описывая квазичастицей волну на длине Е цепочки атомов, естественно считать, что неопределенность координаты частицы имеет порядок длины йл бх= Е. При этом неопределенность волнового вектора 16 2л ба = — бр > — — = й х йд можно рассматривать как объем состояния частицы в е)-пространстве (объем п-состояния). Средпее число возбужденных фанапоа <и> (распределение Бозе— Эйнштейна (6.3)), находящихся а одном и там лсе саслаялии, то есть с Гл. И Элементарные ваэбулсдепия в кристаллах.
Фалапы заданными значениями волнового вектора г) и частоты оь, определяет среднюю элер:ию данной моды (Е;) = йш; ((п)+ 1/2) (данного нормального колебания решетки) (6.4) и зависит от температуры. 6.2.2. Фонопы в одномерной цепочке идентичных атомов.
Закон дисперсии Для определения закона дисперсии фононов ш(а), связанного со скоростью их движения ~йо/Ау, следует рассматривать динамику распространения возбуждений, так же как скорость звука в сплошных средах вычисля исляется на основе динамики распространения деформаций в этих средах.
Чтобы получить аналитическое выражение закона дисперсии фононов, рассмотрим простейшую модель одномерного кристалла: цепочку длиной Е составленную из периодически (с периодом а) расположенных атомов массой М, связанных упругими пружинками с коэффициентом жесткости р (рис. 6-2 ). а(п-1) ап +И Рис 6 — 2 Модель одномерного крисгалла. Штрихами на верхней н нижней осях показаны положения атомов решетки в нелеформированном и деформированном (возбужлеином) состояниях, соответственно. Р,„— смешение л-го атома из положения равновесия х„= ал Запишем уравнение движения для п-го атома, учитывая действие на него в первом приближении только ближайших соседей: М4п =Р(4л ! -4л)-Р(1п-1п 1).
! или 1=+! ма. Б дем где г — смещение из положения равновесия х„= ап п-ого атома. уд ть ешение в виде (6.15) Мйп =Р~ (~„,-~„), (6.14) иска р = Ае'( л Выражение для йл удовлетворяет условию цикличности ЧАСТБ П гж УБ Эяеиентарные возбуждения в кристаялгп. Фононы 4(х) = Цх+ Б), (6.16) если волновой вектор принимает дискретный набор значений 2п 2л Ч„. = — 1= — 1 (г=+1, +2, ..., +)УП), (6.17) Ип Ь который совпадает с набором волновых чисел (6.10), описывающих всевозможные возбуждения в одномерном кристалле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
