Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 56
Текст из файла (страница 56)
При единшшом акте взаимодействия эта эне гия пе е ется гой частипе и возможно без аднкального изменения имп льса пе вой частицы. ЧЛСТБ 7! тл. 'к!. Элененлшрные возбуексделня в крнсшиллах Фононы 345 Поскольку рассеяние фононов происходит только благодаря наличию ангармолнзма, то эффективность фонон-фононного рассеяния определяется коэффишзеитом ангармоничиости е. Используя простоту и наглядность газовой модели теплопроводностп, введем по аналогии с сечением рассеяг иия тоо в обычном идеальном газе частиц с ралиусом гьь эффективное сечение фонон-фонониого рассеяния как оля (о — размерная константа). Тогда соотношение (6.!! 9а) примет вил: 1 (6.1196) /2лцВ .л В нирлгильниш щрехфининния тт'-процессе фонон может либо исчезнуть, породив два фонона с такой же суммарной энергией (рис. 6 — 27 а), нли появиться в результате исчезновения двух других фононов (рис.
6 — 27 6). Рис. 6-27. Схема нормальных трсхфоноппых !Ч-процессов взаимодействия, иллюетрируювия отсутствие рассеяния: поток фоиолов сохраняет полный импульс при столккювспиях. ПеРвомУ пРоцессУ соответствУет РассеЯние волн с вектоРами Ць 1!з, 9л пРи котоРом энеРгиЯ волны 9, УменьшаетсЯ на один квант, а энеРгии волн Чз и и, УвеличиваютсЯ на Один квант с соответствУющими частотами, при сохранении обшей энергии. Во вгоРом пРоцессе энеРгиЯ волн Ць и Чг УменьшаетсЯ, а энеРгиЯ волны цз увеличивается на один квант. В результвтс число юнонов и и каж ом акте взаимодействия изменяется.
Интенсивность (частота) актов фонон — фононного взаимодействия пропорциональна -лд и, (6.1!0). Суммарный импульс, а следовательно и г поток энергии, переносимой фононами, не изменяются. Поэтому каждое. единичное взаимодействие такого типа, когда векторы цз+цг (рис. 6 — 27 а) и г!з (рнс. 6 — 27 б) направлены вдоль потока тепла, не вносит существенно- . го вклада в фонон-фононное рассеяние. В принципе возможен процесс, при котором фононы с векторами цг, и с!з при ряде последующих фоноифононных взаимодействий повернутся на значительный угол относительно напРавлениЯ Чь что пРиведет к РассеЯнию. Однако, веРоЯтность таких процессов мала, так что опон- ионные взаимо ействия -типа имеют низкий коэ нциент эк ективности ассеяння При !!-процессия в каждом акте взаимодействия ц, + цг = с!з+ С направление векторов изменяется на величину порядка велвчины самих векторов (рис.
6 — 25 б), так что каж ьп1 акт взаимо ействия в 17-п оцессах является актом ассеяния. Вероятность (частота) (1-процессов определяется числом фононов, волновые вектора которых заканчиваются вблизи границ первой зоны Брпллюэна, то есть имеют длину порядка О/2. Число и возбужденных и фононов в состоянии с дз = б/2 при температурах Тэ То пропорционально Т(6Л): л! — Т (Т>Тп).
(6.120) Так как в этом случае каждое взаимодействие является актом рассеяния, то длину свободного пробега (6.1196) и частоту фонон-фононного рассеяния (6.1! 2), (6.111) можно оценить по формулам: 1 ! -Т /2лп г. В Т Я (т ьтп). (6.121) уу т= =Л е Ы и (т) — Т "я г- г и !ХУ где лцВг — эффективное сечение фонои-фононного рассеяния. Прн ноннэкеннн телтерин~уры Т< То число возбуждаемых высокочастотных фоионов с волновыми векторамн Вз = С/2, а следовательно, вероятность О-процессов уменьшается.
Среднее число фононов в состоянии с 9з — -С/2 и энергией йшз =й~г',973 =й)',— = б ~сито Я 2 2 (6.122) йсо задаваемое распределением Бозе — Эйнштейна при — »1 (6.6), пропор7вт ционально и — ехр — = ехр — — (Т ~ Тп) . (6Л23) 7гвт ~ ~ 2Т) Поэтому температурная зависимость при низких температурах длины сво- бодного пробега и частоты рассеяния может быть оценена как ,/2лодг.
п(т) (2т) (Т к Тп). (6.124) = /2лоег.л (Т) — ехр— 0 / тп') Х-Х ! 2Т~ ЧАСТЬ И 1 Фт = — = - - ~'7-7 +иу-ь) Х СЪ', (6Л25) т (6. 126)" 1 Ф 1- - — ~сопЯ+ сопЯ. Т ), ТЗ~ (6Л29) и коэффициент теплопроводности 3 ЯО 80 !20 ' ' !5О Х- Т (6.130) СОП51+СОП5! Т 3 Фт(Т) Т ° Х Т (6.! 27) ! С(Т)Р2 т г!тобы пс усложнять задачу, ограничимся рассмотрением теплопроводносгп диэлектриков, лля которых т!, = О. Пренебрегая слагаемым тт !, будем исходить из упрощенной формулы (6.115): глс гт а определяется соотношением (6.1!6), а кт т — (6Л21), (6,124). Таким образом, тепловое сопротивление принимает вид: 1 3 Фт- — — — — — ~Лпц8 )гя„пт (Т)+АХ .пт(Т)).
вг 7) облиспш высоких кчвзсперяп!ур Т> То число фононов, участвую- и!их в 1) — процессах, пропорционально пу -Т (6.!20) и пт — Т (6.118), а и фоионная теплоемкость (теплоемкость решетки) С = сонг!. (закон Дюлонга и Пти (6.82)). Подставляя эти значения в (6.!26) определяем температурную зависимость теплового сопротивления и коэффициента теплопроводности при Т > Т„(рис. 6-28 а): )ТРо пизьпх пгелггеРггтУРаь Т <Тгэ г!7 — ехР~ — ~ (6.123) тсплоем-: и (тп! 2т ) кость подчиняется закону Дебая С вЂ” Т (6.81), а л~ — Тз (6.! 17). В результате тепловое сопротивление приобретает вид: Фт = —. А!ехр — +А2Т = — ехр~ — ~+А2, (6.128) Тз( ~ 2Т~ ! Т' ~ 2Т~ где А, и А.
— величины, слабо зависящие от температуры. Экспоненциальная зависим ость теплового сопротивления Гл. 'г7. Элсивнтарлые возбуэкдег!г!я в криста иат. Фонопы когда преобладает вклад П- процессов (первос слагаемое суммы в (6.128)), наблюдается у чистых диэлектрических кристаллов. Константы о. 0<!) <3, 7<2 определяются эмпирически. При дальнейшем понижении температуры (Т «Тгз) определяющий вклад в рассеяние дает второе слагаемое в (6.128) — рассеяние на поверхности кристалла. Тогда можно считать, что Рнс.
6-28. (а) — качественная зависимосп, убывает — Т с понижением коэффициента тсплопроаодности т от темпе температуры, обращаясь в Ратуры т ляя диэлектрических веществ, нллюсгрирую!цая опрсдсля!оший вклад \)- цессоа переброса при высоких темпера- ХаРактеР темпеРатУРной гурах т» то и Рассеяния 4!сионов на гранизавнсимости коэффициента цах образца прн низких температурах теплопроводности у диэлек- т с< т триков иллюстрируется ри- (б) — зависимости т(7) ляя синтетического сунком 6 — 28 б для искусст- корунла о-А1,Оз (кривая !) и графита (в навеиного сапфира (а — А! О ) правлении параллельном атомным слоям, 2 3 кривая вая ! н графита кРивая 2). Максимум теплопроволности на(7о -100 К) кРнваа 2.
блюдается при температуре — — то 2 ! ! Между областью процессов ~ 25 20~ переброса и областью рассеяния на границах находится максимум теплопроводностп. Рассеяние фононов на примесях и дефектах приводит к уменьшению высоты максимума и его уширению. Таким образом, с ангармонизмом колебаний атомов в решетках связано два физических явления: тепловое расширение кристаллов и ограниченность решеточной теплопроводности. При я = 0 (см. (6.98)) тепловое сБчСТБ Ту расширение отсутствует (бл03), частота у>т фонов-фоиониого рассеяния равна нулю. Отсюда слелует, что при д — > 0 уменьшается тепловое расширение; длина свободного пробега и фононная теплопроводиость неограниченно возрастают.
( - )/(и1 1) — э, т = (!/3) С~' „à — з . Например, кристаллический кварц обладает очень малой величиной коэффициента теплового расширения в широкой области температур, что указывает на малое значение коэффициента ангармоинзма колебаний атомов в решетке кварца. Это свойство кварца широко используется в приборостроении и технике. Одновременно кристаллический кварц обладает высоков теплопроволностью, когорая при низких температурах (в области максимума) сравнима с теплопроводиостью металлов.
Гп. ИБ Элеиентарлыевозб)слсденияэлектроллойсястемы иетпллвв 349 з111. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ й7 1 Исходнаи модель металла По современным прелставлениям металл можно рассматривать как совокупность системы большого числа й( положительно заряженных колебяющнхся ионов, образующих квазипериодическую пространственную структуру (кристаллическую решетку), и системы коллектпвцзпрованпьы яй валептных электронов, яе локазазовгтвых вбзлзп отдельных ионов, а леречещаюп(вхсл по всечу кркстюлу.
Отличие одного металла от другого связано с разной валентиостью атомов, особенностями их электронной структуры, а также с симметрией кристаллической решетки. Обе снстемьс ионная и электронная, являются сильно связанными, сложными динамическими спстсмамп. Причем, благодаря сильному взаимодействшо, электронная система представляет собой не идеальный газ, а фермн-жидкость. Используя квазнчастичное описание возбуждений решетки (гл. т1). металл можно рассматривать как неподвижную решетку положительно заряженных ионов, заполненную газом фоноиов, и погруженную в элелтрониую ферми-жидкость. Прежде чем перейти к описанию возбузкдений в электронной подсистеме, иайлем распределение электронов в основном состоянии (Т= О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
