Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В классическом приближении при движении злелтрона в постоянном магнитном лоле его энергия не меняется. — При взаимодействии с фононами при температуре Тэнерпья изменяется на -й»Т. При комнатной температуре й»Т- 0,03 эВ, а при Т< 2 ОООК, пока металл остается в твердом состоянии, отношение )гвТ(Ег не превышает 0,02. Поскольку изменение энерп7и фермневских электро7«ов во внешних полях (электрическом, магнитном, тепловом) практически всегда мало по сравнешио с энергией Ферми, то все кинетические явления тс момагнитные и гальваномагнптные — элект оп ово ность элект синая теплоп рва пасть описываются е мпевскими элект нами.
Описание энергетического спектра электронов в металлах при помощи квазичаст7ш существенно упрощает задачу. Вместо того, чтобы определять закон дисперсии Е = Е(р) в общем ниле во всем пространстве импульсов, достаточно определить связь между энергией и импульсом вблизи постоянного значения энергии, равной энергии Ферми Ев Итак, в ферми-жидкости можно ввести два типа элементарных возбуждений (квазичастнц): «частнцы» и «античастицы» с линейным законом дисперсии и фермиевскпе электроны с квадратичным законам дисперсии. «Частиц«7» и «анти»асти ы» пс сносят эне гню и поэтом нх абио использовать и н описании те модннамических свойств е ми-жи кости.
Фермиевскне электроны переносят заряд и их удобнее использовать при рассмотрении электрических и гальвано-л7агнитных свойств проволлщих систель Замена ферми-жидкости газом слабонендеальных квазичастиц позволяет свести задачу об определении энергетического спектра электронов в металлах к одноэлелтронному приближению, то есть рассмотреть движение одного электрона в решетке. В дальнейшем фермиевскне электроны будем называть просто элелтронами.
э ЧАСТЬ )! 97.4. Эффектььвньь)1 потенциал решетки Фермнсяскпе элелтроны в металле находятся в кулоновском потенциалыьом поле ионов, образуьошпх крнсталлнчеслую решетку. Нади ьие отрицательно заряженной электронной жидкости в металле приводит к тому, что электрическое поле, создаваемое полоькительно заряженнььми ионами. является ослабленным по сравнению с кулоновскнм полем изолированных ионов в результате экранировки. Благодаря этому область, в которой потенциальная энерпья элелтрона вблизи выделенного иона имеет узкий глубокий минимум, значительно сужается (рпс. 7-8 а).
Осциллируюший характер потеьшиальной энергии связан с неравномерным распределением электронной плотности вблизи ионов (фрпделевские осцилляшш). Фрпделевскпе осшшляцип электронной плотности являются слелствнем интерференции квазнмонохроматических волн фер- 99(г) миевских электронов при рассеянии их на 0 ионном потенциале. В остальной части г пространства внутри решетки потенциальЧ г пая энергия электрона остается практнчеl ски постоянной.
/ В обласги постоянного потенциала I движение ферльиевского электрона можно а рассматривать как лвижение свободной 6„.(г) часпшы, волновая функция которой пред- О ставляет собой плоскую волну. Попадая в потенциальную яму, элек- трон захватььвается ионом и описывается 6 быстро осциллирующими волновыми функцнямн связанных электронных соРнс.
7 — Я. Потенциальная энср- стояний, характерных для валснтных элекгня электрона: (а) в кулоповко по по н 'тронов атомов решетки (рььс. 7-9 а). пасть действия ионных потенциалов на нона, экрапнро»«нного коллек- рис. 7 — 9 условно показана в виде заштритнвизнрованнымн зле««раца- кованных к(лужков. мн: (б) — в эффсктивволь иоле Вид волновой функшьи электрона в кристалле (рнс. 7 — 9 а) достаточно сложен и ее практически невозможно использовать для расчетов и построения простых наглядных моделей. Задачу можно существенно упростить, если учесть следующее обстоятельство. Попадая в область сильного потенциала иона, фермиевскнй электрон сначала ускоряется, его кинетическая энергия растет, а затем замедляется до первоначального значения скорости. В области сильного потенциала электрон движется с большей скоростью и проводит значительно меньше Тл ПЬ Элеыеильарпые «озбьоюь)еььия электронной «истины зьеталло«Зб7 времени, чем прп двп;кеппп льежду ионами.
Проскакпваппе потенциальой ямы для фермиевскнх электронов — частиц с высокимн энергиями по»ьдка Ег, можно рассматривать кал «стремление» иона вытолкнуть быстч,ье электроны, то есть как некоторый допозлиьпельпый оттапки«аюиьий теплись Рез)тььпируьаи(ььй поте«нипц предстиаьлюьяий собой ктпьбьы аль«о экрааира«анпага лулаььа«ского ььотеььь)ььа»а ьр„,, и дополлительиаго отттьки«аюьььего патешьаитьь, называется эффективным потенциалом гр,.а.
В простейшем случае, внутри нона его люжно считать постоянным. Вид потенциальной энергии электрона (!« — — е.ьр,ьь в поле эффективного потенциала («,ьь изображен на рисунке 7 — Б б. По величине эффективный тенциал мал, так что связаппыс состояния у фермиевскьж электропоа не ! зннкают и элелтрон в объеме всей решетки можно рассматривать как вободную частицу, движущуюся в слабом эффективном потенциальном ле (рис. 7 — 9 б). Ч'(х) Ч'(х) Гнс. 7 — 9. Схематическое изображение волновых функций в кристалле. (а) — Радиальная часть волновой функции электрона я кристалле в поле истинного потенциала которую можно прслставнть кях комбинацию плоской волны (б) н осцнллнруюшнх аоььььоаьк фуьь«ььий связанных состояний (а). (6) — плоская водна свободного электрола в слабом эффективном поле решетки (приближение свободных . электронов). (а) — быстро оспнллнрукядая вблизи ионных серлпевнн волновая функция связанных 'электронных состояний (радиальная часгь функций типа Ч'з„) (приближение снльносвязанных эле«тронов) Т)к Л!.
Элке>алтарные позбуждеилл электронной системы металлов 369 ЧАСТЫ! 368 Параметры эффективного потенциала решетки >ре;г — — !/е>г/е подбираются таким образом, чтобы энергетический спектр электронов. описываемых плоскими волнамн (рис.7 — 96), совпадал с энергетическим спектром электронов. описываемых сложными волновылш функциями !типа рнс. 7 — 9 а), в истинном потенциале решетки >р(г) =(/(г)/е. Таким образол>, движение электрона в кристалле можно описывать аолновылш функциями в внлс плоских поля, распростраияюшихся п иоле .чплпгп нерио>)ическогп ипи>еияиплп. 1)7.5.
Фермиевский электрон в поле эффективного периодического решеточного потенциала 7.5Л. Влияние периодичности структуры решетки Пред>вложим сначала, что эффективный потенциал мал, и покажем, что из периодичности эффективного потенциала вытекают два основных слелствня: (/) периодичность ампл>пуды волновой функции и (2) неоднозначность волнового вектора. ! П. /7 ериадичиис>иь антил>уды полиипой фупк>/ии Периодичность потенциала идеальной решетки приводит к электронным волновым функциям Ч'„(г), похожим на волновые функции свободных электронов Ч'(г) = Сехр( — >)>г), но содержашил> модулирующнй множитель С,(г): (7.32) Ч>п (г) = С>.
(г)с Так как точки (г) и (г+Я), где В = />нее э /зает+ !энес (7.33) />хз —— О, +!. +2,..., а ае пе„, ае — основные трансляционные периоды решетки, физически эквивалентны (трансляционная инвариантность), то плотности вероятности нахождешгя электрона в ннх должны быть одина-- ковыми и следовательно, амплитуда электронной полны (7.32) также полжил быте периодический фуикйией с периодом решетки: Се — = Се (г) = Сь (г+ $) . (7.34) (2) //еодиоэпачиосп>ь оиределелия имлульси в периодической структуре. рассмотрим одно из направлений, например е„основных трансляций в решетке с периодом а. При переходе из точки х в эквивалентную точку с координатой, например, х+а/ (/ — целое число) фаза (/>х) волновой функ- ции электрона (7З2) изменяется на величину +кю>!. Учитывая условие (7.34), волновую функцию в точке х+ а/ можно записать в виде: ч>е(х+а/) = сь (х+и/)е ' ' = ч>е(х)е+ — //> (х+ а/')> х//>а — — </> < —, л ° и а а (7.36) Видно, что при трансляции на период +>у волновая функция электро- на умножается на фазовый множитель ехр(+Йа/).
Волновая функция (7.32) стационарного состояния электрона в пе- риодическом поле кристалла, которая при трансляции на вектор решетки Я (7/33) приобретает фазовый множитель е' и удовлетворяет условию периодичности (7.34), называется волной нлн функцией Блоха. Обратны внимание на то, что фазовый сдвиг при трансляции для волн с волновыми векторами /> и Г = й+/2п/а (/ — целое число) один и тот же, поскольку ехр(>2/9) = 1. Это означает, что электроны с волновыми векто- рами к и />' (или импульсами р и р'=р+/2п/>/а) движутся в кристалле одинаково, то есть решетка как бы "не различает" элелтроны, волновые векторы у которых различаются на величину +(2п/а) /. Следовательно.
состояния (с учетом четной зависимости энергии от импульса Е(- р) = Е(р)), соотаелютеу>ощип пеки>орам: $> и 1>'=ай+ — /е 2л (7. 35) р и р=+р+ /е, 2пй . (7.35а) а физически неразчичимы, эквивалентны, то есть соотееп>стеуют одному и тому же физическому состоянию электрона в кристалле, а, следовательно, одной и той же энереии. Па рнс.
7 — !О изображены две волновые функции, соответствующие . двум значениям рс />> =и/(4а) — функция ! и /> =7я/(4а) — функция 2, для свободного электрона в линейной цепочке атомов, расположенных вдоль осн х. Вертикальные черточки у каждого атома соответствуют ве- щественной части волновой функции. Видно, что "с точки зрения атомов решетки" электронные волновые функции с (к> = я/(4а)) и (/>э — — — />>+2я/а = 7я/(4а)) эквивалентны, то есть имеют одно н то же значение в узлах решетки. Таким образом, любой волновой функции в одномерной цепочке атомов можно сопоставить приведенный волновой вектор — вектор с нине>еиьшки абсслютнын > эначеннел~ К : 370 Чг(СТБ В С'1 1 ! ! ! ! ! Первая зона Брилшоэиа 1'яс.
7-10. Вог>иоя>,>с функции фсрмисвского эдекгроиа с волиовыии вели>раня Г>! = я/(4п) (функция 1) и йч = 7я/(4а) (функция 21 я линейной цепочке атомов (точки иа оси 0.1) нмек>т одинаковое значение, обозначенное вертикальными черточками вблизи каждого атома Этз обэас>пь значений полкового псюлорп является приведен»юй (или первой) зонин Бриллюэиа. Вторая зона Бриллюэиа — область значений волновых векторов я/а < к < 2я/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
