А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для того чтобы найти положение поверхности разрыва в момент времени ~. необходимо на каждой такой кривой взять точку и, в которой тв = 1 — 1 . Совокупность этих точек и образует поверхность разрыва в момент 1, причем вектор нормали к ней в некоторой точке и выражается через найденное при интегрировании системы (3.6) значение д, в этой точке (а = фд). Очевидно, что при этом каждый элемент поверхности разрыва перемещается независимо от остальных, причем траекторией его движения является кривая г = г(тл), а вектор нормали к поверхности есть д (тп))д(тп).
Если поверхность разрыва )' в начальный момент нс является волной какого-либо определенного типа, то в следующий момент времени она должна распасться на несколько поверхностей различного типа, каждая из которых будет двигаться рассмотренным выше образом. Рассмотрим подробнее простейший случай. а именно, пусть о (г, 1) -= О, Нд(г, О = сопзй р (г, ~)=сопз0 ра(г, 1)=сопзй (3,! О) % 3) РАспРОстРАненне слАБых удАРных Волн 1бб При этом уравнения (3.5) н (3.6) приобретают соответственно вид (3,11) да,( — )= .': 1 — = ..: (а а+ дгап' „, а.!, — = О, лг лй !г!в 'ж=! !.. (3.12) Таким образом, в рассматриваемом случае каждый элемент поверхности разрыва перемещается, не вращаясь (!1д/с!тв = О), с постоянной скоростью Ь (а!а+втаб!„1-! а,), причем нормальная к разрыву составляющая этой скорости равна ап Это позволяет применять следующий способ построения поверхности разрыва в момент времени 1.
Проведем всевозможные касательные плоскости к поверхности разрыва в начальный момент времени гз. Затем, переместив эти плоскости в направлении нормали на расстояние аг(! — УБ), найдем для них огибающую поверхность. Эта огибающая поверхность н является поверхностью разрыва в момент времени ~. Построим таким способом для момента времени(=г +1 поверхность разрыва, которая получается из начальной поверхности разрыва, сосредоточенной вблизи начала координат. Будем считать, что размеры начальной поверхности разрыва пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером задачи, который при 1 — 1Б = 1 имеет порядок а!.
Так как в этом случае поверхности разрыва должны обладать осевой симметрией с осью симметрии, параллельной О, то достаточно построить линии разрыва на плоскости, проходящей через гг, которые являются линиями пересечения поверхностей разрыва с этой плоскостью. Откладывая в этой плоскости от начала координат векторы маг(п) и считая, что начальная поверхность разрыва таковй, что содержит всевозможно ориентированные элементы, получим, что концы этих векторов образуют кривые, совпадающие с диаграммой скоростей малых возмущений для быстрых и медленных волн (кривые 1, и 1 на рис.
36). Лля построения линий разрыва необходимо через концы векторов па,.(м) провести перпендикулярно к ним прямые и найти огибающую этих прямых. Так как а, = О, то очевидно, что линия энтропийного разрыва будет в любой момент времени совпадать с линией начального разрыва, т. е. в рассматриваемом приближении будет неподвижной точкой.
Линия альфвеновского разрыва 156 нвстлционлгные движвния идеального газа [гл. и будет представлять собой точки с координатами + НД~ 4кр, так как прямые, огибающими которых должны быть линии разрыва, в данном случае пересекаются в этих точках. Отсюда следует, что скорость произвольно ориентированного элемента энтропийного разрыва равна нулю, а скорость произвольно ориентированного элемента альфвеновского разрыва равна + Н ))4тр. Эти результаты следуют также непосредственно из равенства (3.!2) при подстановке а, = 0 и гад —— Ь Н„/)~ 4пр.
Рнс. 36. Построение линий быстрых и медленных магнитозвуковых разрывов (линии Е+ и Е ), возникающих из точечного возмущения, проведено иа рис. 36. Полная картина линий разрыва, возникающих из точечного возмущения, изображена на рис. 37. Поверхности разрыва, которые являются поверхностями вращения линий разрыва вокруг Н. обладают следующими свойствами )'а). Внешняя поверхность разрыва, которая является быстрой магнитозвуковой волной, представляет собой выпуклую осесимметричпую поверхность. Медленный магнитозвуковой разрыв сосредоточен на поверхности, образованной вращением двух криволинейных треугольников Сг)И н С'))'№ вокруг их осн симметрии.
Эти треугольники имеют точки возврата в вершинах и лежат пеликом внутри внешней поверхности разрыва. Кривые, % З) глспгостганвнив сллвых главных полн 157 образующие стороны треугольников, обращены выпуклостью внутрь. Точки, представляющие альфвеновские разрывы, лежат при Н('г' 4яр > аа на внешней поверхности (точки А и А'), а при аа > НЯ 4пр — г~а внутренних поверхностях (точки В и В'). При аа — ь Н/'(' 4кр поверхности, образованные вращением сторон СО и С'О' треугольни- г.+ ков Сом и С'И'И', стремятся к совпадению с некоторым участком внешней поверхности разрыва. При совпадении .Р' этих поверхностей образуются куски плоскостей, Ф М' Я' ограниченные окружно- В 0 д' стями. Точки, представ- 1 ляющие альфвеновские возмущения, лежат при этом в центрах этих окружностей.
Отметим, что приведенный метод построения поверхностей разрыва не всегда может Рнс. 37. быть применим к элементам поверхности разрыва, которые представляют собой два фронта разрывов различных типов, слившихся вследствие совпадения скорости распространения в данном направлении. В этом случае могут существовать плоские поверхности разрыва, расширяющиеся с течением времени. Выше путем предельного перехода было рассмотрено распространение разрывов в том случае, когда в направлении магнитного поля совпадают скорости быстрых, медленных и альфвеновских возмущений, Кроме этого, в направлении, перпендикулярном к магнитному полю, всегда совпадают скорости распространения медленных и альфвеновских возмущений (а = ад †0). Этот случай не может быть рассмотрен путем предельного перехода.
Исследование распространения поверхностей разрывов от точечного возмущения показывает ["), что на оси симметрии в направлении магнитного поля имеется 188 нзстлционавныз движения идеального газа (гл. т разрыв между точкамн, соответствующими альфвеновским возмущениям. В плоском случае, когда все величины зависят от двух координат, а возмущения скорости и магнитного поля в направлении третьей оси равны нулю, этот разрыв заключен между точками )ч' и И' (рис. 37). Построенные выше поверхности разрыва, распространяющиеся от точечного возмущения, могут служить для определения скорости к㠄— = + (а,а-+дгаб1„1=~ а,) движения элемента поверхности разрыва с нормалью и. Для этого на построенной поверхности разрыва нужно найти точку с нормалью н, и радиус-вектор, проведенный в эту точку, даст скорость движения рассматриваемого элемента лг разрыва.
Интересно отметить, что векторы — и и з быст~йэ рых возмущениях образуют с магнитным полем углы одного знака, а в медленных возмущениях — углы разных знаков. ф 4. Одномерные осесимметричиые движения с однородной деформацией В настоящем параграфе будет рассмотрено некоторое точное решение [в) уравнений магнитной гидродинамики, аналогичное известному газодинамическому решению (1в). Оно может быть полезным при решении различного рода конкретных задач 1в!.
Обобщения этого решения получены в работах (в т н,1н1в) Рассмотрим одномерные осесимметричные движения совершенного газа. Если за лагранжеву координату принять расстояние гв частицы от оси симметрии при 1=0, то уравнения магнитной гидродинамики могут быть записаны в этом случае следующим образом: Нв1 (4.1) 4) одномеРные осесиммВТРичные дВижения 139 Здесь Н, и Н вЂ” компоненты напряженности магнитного поля в направлении, параллельном осн симметрии, и в направлении, перпендикулярном к ней, р — плотность, р— давление, г — координата частицы. Индекс нуль означает. что соответству|ощая величина взята при 1 = О, Производд д ная — берется при постоянном г', а производная — — при дг дгО постоянном 1.
Первое уравнение выражает закон сохранения количества движения. второе, третье, четвертое и пятое представляют собой законы сохранения массы, энтропии и магнитного потока. В этом параграфе будут рассмотрены все осесимметричные движения с однородной деформацией, т. е. такие. что г — 0==1О(') (4.3) где р не зависит от ге. При этом д дг О, и' (Г) дг и (г) т. е. скорость линейно зависит от радиуса.
Из равенств (4.2) и (4.3) непосредственно следует: р — рзр-2 р р01О-2т На Ноац-2 Н2 Нетгг-О (4.4) т — Р1" ° Π— ОР Подставляя равенства (4.3) и (4.4) в уравнение (4.1), получим дНО 1 Так как левая часть равенства пропорциональна гэ, то коэффициенты, стоящие в правой части при различных степенях р, должны быть также пропорциональны ге. Отсюда при у-".2 получаются следующие выражения для ре, НО и Нв через 160 нестлционзгные движения идеального гззл [гл. ч плотность ро, которая считается произвольной функцией го: ро — А / рогос(го+.Я О (4.6) са О 77'2 8, р ~ огол о+ г О (4.7) (4.8) с Вт' (го) + -2— — 8. )ги+вт(го) ' дно с ВФ' (го) -з ' -~-,„— а дго ' 8з )ГГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
