А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если о (х, у) найдена, то остальные функции находятся по формулам, получаемым путем последовательного интегрирования системы (2.1): х у М Р= М вЂ” 1 и= — р, и = — х(1 — уИо) и х Лг 1 Р=м Р' Р+ Лх "х Ио 2 Ро~ о Р ~1~ 2 Ро(ГО Лг 11о Лг2 (1 ддо) = 2 (р+ — /гх) .= — 2 ", — л.
(2.11) В этих равенствах произвольныс функции у, возникающие при интегрировании системы (2,1), положены равными нулю в силу отсутствия в потоке источников возмущений. кроме обтекаемого тела, так как эти функции связаны с характеристиками исходной системы, параллельными оси х и не проходящими через тело. Если конец векторз — К лежащего на прямой АВ (рис.
39), находится в области П1, то д) 0 и уравнение (2.9) имеет эллиптический тин. Для определения о(х, у) в этом случае надо решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа с граничными условиями (2.8). Суммарная сила, действующая на тело, представляет собой сумму сил магнитного и гидродинамического давлений. Коэффициент полного давления дается формулой 174 стАциОнАРные дВижения идеАльнОГО ГА3А [Гл. Е1 Как видно из рис. 39, возможны эллиптические области трех типов. В области 11( < 1, 11(„< М < 1 добавочные скорости и коэффициент давления имеют те же знаки, что и при дозвуковом обтекании тонкого тела в обычной гидродинамике. Поэтому и характер течения в этой области аналогичен гидродинамическому. В области О < М ( М'= = И„Г' ~Г1 + ДГ~З картина скоростей аналогична гидродинамической.
Но сила имеет направление, противоположное направлению силы в обычной гидродинамике. В области 111, ) 1, 1 ( М < Ир, все величины 1э, р, и, Ср имеют знаки, обратные знакам этих величин в обычной гидродинамике. Если конец вектора — СГ, лежащего на прямой ЛВ (рис. 39), нахолнтся и областях Г и 11. то Ь < О и уравнение (2.9) имеет Гиперболический тнп. Его общим решением будет 1 Г 1 Ое=- 11 ГХ ( Ь) у1+12А(Х+( Ь) функции /1 „и (зь должны быть определены из граничных условиЙ.
Так как мы предполагаем, что кроме обтекаемого тела источников возмущения нет, то те из функций, аргумент которых связан с приходящими характеристиками, тождественно равны нулю. В гиперболической области (рис. 39) приходящими являются характеристики, направленные вверх по потоку от тела, следовательно, для течений в гиперболической области Уя. =Г =О, и решение сверху от тела имеет вид а снизу от тела вид 1 О = Га (х+( — Ь) 'у~ функции,Г,+ и Гз определщотся из условия (2.3), Харак- 175 ф 21 линейные задачи Ь, = — о,, д~х М +' 1 Ма М' — 1 (2.! 2) 1 1 1 р — ( Ь) зо, ц, = — —,— 1( — Ь) о =7' 'сх +( — Ь) У1 Ьх — М о 1 М' м. 1( — ь) '.— 1 1 ! 1 р = — ( — Ь) во, и =, (- — Ь) то 1 д~.г Ьх — = ( Ь) М (2.13) В квазигиперболической области (рис.
40) приходящие характеристики направлены от тела вниз по потоку, поэтому У =7 =0, тер течения в гиперболической области аналогичен течению прн сверхзвуковом обтекании тела. Образующиеся в потоке волны сжатия и разрежения направлены вдоль уходящих от тела характеристик вниз по потоку. В область пе- У ред телом, ограниченную уходящими от передней кромки характеристиками, возмущения ие проникают. Характер течения изображен на рис.
42. Жирные линии Рнс. 42. представляют собой волны сжатия, тонкие — волны разрежения. Решение (2.10) в этом случае принимает вид: 176 стлционагныг движения идеалы!ого гаэа [гл. ч1 и решение в квазнгиперболической области выше тела имеет внд 1 юя 72е [х+ ( — ' Ь) у~, а ниже тела Функпии 72.1 и 71 определяются граничным условием (2.8). В отличие от течений в газовой динамике и течения в гиперболической области, волны сжатия и волны разрежения в этом случае направлены вдоль уходящих от тела характеристик вверх по потоку (рис.
43). Решение (2.10) в этом случае имеет вид: 1 Ж х (х+( ) 2у) И о 1 М' р,= —, ( — Ь) и,, 1 1 1 1 р = —, ( — Ь) 2о,, и,=, ( — Ь) 2о,, 1 И„.„= — Мх( — Ь) яо,. (2. 14) 1 и — 7 ~х — ( — ь) у~, и — о 2 1 1 2И1 — 1 ( Ь) ' И! ( — Ь) 29 1 ИГх х( Ь) 2 х- — И1 (2. 15) Сравнение соотношений (2.12), (2.13) и (2.14), (2.15) показывает, что величины р, р, ц ил1еют в соответствующих 177 $ 2) ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ точках в квазигнперболической области те же знаки, что и в гиперболической области, в частности, направление силы совпадает с ее направлением при обтекании того же тела в гиперболической области, В данном случае картины течения (рис. 42 и 43) легко нарисовать, если знать направления уходящих характеристик и учесть характер изменения скорости в соответствующих гг разрывах.
В нелинейной тео- .Н рии получающимся здесь слабым разрывам соответствуют ударные волны, или волны разрежения. 2. Направление поля в не- Рнс. 43. возмущенном потоке Н, перпендикулярно к скорости (117„ = О). В этом случае уравнение (2.6) превращается в биквадратное и имеет корни 1 Ь ~ Ьсак — 4с)1 к — + '---Г При этом уравнение (2.2) может быть представлено в виде: (2. 16) — Ь+ )ГЬк — 4с — Ь вЂ” Ь Ьк — 4с А= 2 ' В 2 Выражения (2.6) для Ь и с показывают, что невозможно одновременное выполнение наравенств Ь ) О, с ) О, так как при этом должно было бы быть Ма~(1 — Ма)+И'~ - О и Мг Д(1(1 Мз)(О что невозможно.
Отсюда следует„что либо А ) О и В ) О, либо А и В разных знаков. В первом случае оба оператора в (2.16) имеют гиперболический тип (соответствующая точка находится в гиперболической области) (рис. 39) и в каждой точке имеется четыре действительные характеристики; во втором случае один оператор гиперболический, а другой — эллиптический (эллиптико-гиперболическая область— в каждой точке существует две действительные характери- 12 Зкк 14. А Г, 1(уоккококна, Г. А Л1обннок 178 стлционАРиые движения идеАльнОГО ГАЗА (Гл. ч1 стики).
Если оператор (2.!6) эллиптико-гиперболический, то для определенности будем считать, что А > О, а В < О. Заметим, что при М„ = 0 квазигиперболнческой области не существует (рис. 39). Рассмотрим в качестве примера обтекание плоской полу- бесконечной пластины (х > О, у= 0), по которой течет по- С верхностный ток плотности 1 (х) = — ! (х). В этом случае, 4я при отсутствии поверхностных токов в жидкости, граничные условия будут формулироваться следующим образом: о+ — — о =О, лч4=лч, Ȅ— /Г, =!'(х) (2.17) при у=-О, х > О.
! Г 1 О= Уг~х — (А) у1+ (г~х — (В) эу)+ Э Г 1 +уз1х+(А) УУ1+У '1х+ (В) гУ~ где 71, Гм .Га, 74 — произвольные функции своих аргументов. Так как, кроме обтекаемого тела, в потоке отсутствуют источники возмущений, и следовательно, возмущения распространяются только вдоль уходящих от тела характеристик, то решение в верхней и нижней полуплоскостях будет соответственно иметь вид 1 1 О = 71+'(х — (А) 'у~+у,+!х — (В) 'у~, 1 1 'и =7 — (х-+(А) ау)+ 7 — (л+(В) еу~.
(2.18) Так как уходящие от тела характеристики направлены в этом случае вниз по потоку (см. рис. 39), то поток впереди тела не возмущен вплоть до характеристик большего наклона, проходяших через точку х = О. Произвольные функции Вообще говоря, плотность поверхностных токов в жидкости при ч,„=ч= О определяется скоростью потока на поверхности тела и отношением ч (ч (см.
9 1 гл. И), которое зависит от свойств жидкости. Условие отсутствия поверхностных токов з жидкости эквивалентно условию ч„,~ч = со. Если параметры невозмущенного потока соответствуют гиперболической области и если за искомую функцию принять о(х, у), то общее решение уравнения (2.16) будет иметь вид 180 стхцноплгныв движения идеального гхвх [гл. ш где 1 ч,=х — А у (ч=-х — В ву, ( =х+А ву, 1 ч,=х+В ву функпии Уь и 7 определяются из оставшихся условий (2.17), причем из условна И, =И в силу (2.20) и (2.21) следует, что У (~)= — У (() а из последнего условия заключаем, что (2.22) 1 Их ~ = — Ик — = 2- ! (х).
(2.23) У (() = — — "((А — В)(А4 — Л' — !))- !(2). Пользуясь выражениями (2.5), (2,16) и (2.23), легко показать, что в гиперболической области (Мв ) №+1) А > В и в18пу',(~)=в!8п!("). (2.24) где 1 при а>0, в!дп а = в!!гп 0 = О. 1 — 1 при а(0, (2.25) в!ап р, = в!пи р = в!ап !. Отсюда следует, что если !(0) > О. то в силу (2.25) вблизи характеристик, ограничиваюп!нх область невозмущенного потока, р„)0 и р )О, Соотношение (2.22), совместно с (2.20) и (2.21), показывает. что течение в нижней полуплоскостн является в данном случае зеркальным отражением течения в верхней полуплоскости, В области между характеристиками, проходящими через точку х = О, имеют место равенства У~ (г.в) = 0 и ("а)=-О.
Из соотношений (2.24), (2.20) и (2.2!) вытекает, что 181 э 2) линвйныв задачи т. е. эти харзктернстикн являются волнами сжатия. Если же 1(0) с О, то характеристики, ограничивающие область невозмущенного потока, являются волнами разрежения. Так как вблизи пластины о — ьО, то характеристики, находящиеся внутри возмущенной области, в первом случае являются волнами разрежения, а во втором — сжатия (это легко установить, если учесть характер изменения скорости в волнах сжатия и разрежения малой интенсивности). Проведенный анализ позволяет построить картину течения при обтекании пластины с током (рис.
44). Жирные линии на чертеже представляют волны сжа- Гг тия, тонкие — разрежения, Заметим, что течение в области между пластиной и второй волной является возмущенным. При И вЂ” ьО эта область превращается в тангенциальный разрыв. Если параметры невозмущен- 1(л). О ного потокз таковы, что оперзтор (2.16) имеет эллиптико-гиперболический тип, то будем искать решение задачи в виде суммы т1 = т)н+ т)ы, (2.26) пРичем Лм и 4ы УдовлетвоРЯют (7 соответственно уравнениям Л>0, Н ( дха 1 л г ) чм (2.27) В < О. (2.28) Рис. 44. Если в качестве искомой функции в уравнении (2.27) выбрать о (х У) (чн = о,), то эта часть решения может быть (82 стлционввныв движения идеального газа [гл.
ш записана в виде: 1 1 (х — А 'у/, р„, = А'~ . 1 = — ~(1 — ~)г — 1гА)-!-А]У, ~У„ = — — '(А — 'А )У,. 1 1 =у (х+А 'у), р„, = — Атг" 1 ! ! 1~ = — А(тА~ л = — (А — М А )У У вЂ” "(А — т)~. Рк,+ Их Иж о -; (2.29) Ро— Их „, о,=о(х, у), И,= — к г — ду+И(х). ( де ./ дх о СО У I до И(х)=. ( —, у, п,= —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
