А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 29
Текст из файла (страница 29)
т ис г к у' Законы сохранения массы, импульса и энергии в этом случае выражают постоянство потока массы си =т, (2. 4) составляющих потока импульса Нг и, ии И„ Ию рио — — Н вЂ” й — = Я, 4я х ' их У' Н исс рити — — 'Н вЂ” р — = Я, 4г. с ' их (2. 5) и потока энергии Ри 1с+ 2 тите+па+се»1+ 4 (Е„Н, — Е,Н,) — вяи д йо ссы йТ вЂ” ро — — рш — — - А — = т$. (2.6) йх ' и'х йх в однородные потоки, параметры которых связаны соотношениями па быстрой ударной волне. Общего доказательства супгествовання решения, описывающего структуру медленной ударной волны, в настоящее время нет.
Существование такого решения доказано для медленных ударных волн малой интенсивности. Для неэволюционных ударных волн, в которых изменяется магнитное поле, показано, что всегда можно так подобрать диссипативные коэффициенты, что решение. прелставляюшее структуру ударной волны, не существует. Для описания стационарных одномерных (вдоль оси х) течений газа воспользуемся непосредственно уравнениями Максвелла, законом Ома и законами сохранения массы, импульса и энергии, следствиями которых являются уравнения магнитной гидродинамики. Из уравнений Максвелла и закона Ома э 2) 203 ствгктгеа эдлвпой во:шы ,„лн гН ! Н " + Ео) ,Ух = ( 4, о чт цн» ! Н»'»» — ' .=- лг ( — -' — — Н тя), 4я Лх ( 4е » — =.
лг (и — Н И„), !» — = лг (тв — И И ), »!»о лх о (2.7) Н„+ Н, лг ~р+ тоЬ'+ " — »у) (. л» Ъ' о" м Н !» Н" !» 2 8» 8»: ., »!!» (» )гл л =-лг лт »гх 2 'ЕоН»+ ИоНто+ИоН»то+ сг )г — В) . Здесь и, Я„, ~ , Д, и лг$ — цостониные, представляющие собой цотокй массы, составляюьчик импульса и эцергии, которые мокнут быть ныражсньь например, через параметры потока при х ==- .ю; т = ' з эптальция газа. л 4 !» — коэффициент вязкосги, р:= ". + — еь — вторая вязкость, 3'' л — коэффициецт теплопроводности. Обозначим у)» и выберем систему координат тзк, чтобы в ней Е = 0„= = ф,= О (эти равенства имеют место я сисгеме координат, повернутой относительно исходной системы вокруг оси х так, чтобы Е = О, и движущейся относительно исходной Уг е» системы со скоростью У =- —, У = — .
У ж ' »»и) Р!з ураниеция (2.4) слелуег, что и=и1/. (Ъ" = — ). Г1ри этом система уравнений, описывающая аадачу о структуре ударной полны в выбранной системс координат, примет вид: 204 стлционлвные движения неидеАльнОГО ГАэА (гл. чн Введем в рассмотрение две функции: -! — !ь ( — ) + р. ( — „) + — ( — „) ~ (2.8) 1 ~ И Ъ' ИаУ лгэ)У~ с~ и~ -1- у у Т! Зз эк 2 2 2 + — -+ —— У ()У 7)+~оНу НоНу > НеНу~ 0(У+ у ' ' (2'0) ! где 7' = е — Та — массовая плотность свободной энергии.
удовлетворяющая термодинамическому тождеству Ф)' = — з д Т вЂ” Р г(1", (2.1 О) Система уравнений (2.7) гожст быть записана через функции (2,8) и (2.9) следующим образом: (2. 11) дяу дяу где через д, обозначены величины Н, Н,, о, ы, 1У, Т. а д =г)7)!г(х. Так как 7)(д,.) — квадратичная форма переменных дп то 21)= . д,. =- — дг = —, дс! дР ' дР (2.1 2) д~у~ ' дя, ' дх илн Р(х~! — Р(л,)= 2 ~ Одх.
ь, (2.13) Так как О .-О, то Р(дг) — неубывающая функция вдоль интегральных кривых системы (2.11), причем Р(д,) возрастает. когда действует хотя бы один механизм диссипации. В особых точках Ал системы уравнений (2,11). которые являются которое является следствием первого и второго законов термодинамики (Тг!г =с(е + рг(1'). При этом нетрудно выразить энтропию з через функцию Р: дУ д дР з — — дТ дТ (РТ) = Р+ Т дт 205 э 2) стРуктуРА удАРнОЙ Волны стационарными точками функции Р (так как в этих точ- как дР/ддг = О), имеют место равенства Поступательному однородному потоку 071 = 0) соответствуют особые точки АА системы (2.11). Поэтоиу рещение задачи о структуре ударной волны должно представляться интегральной кривой системы (2.11) в пространстве д1, соединяющей особые точки этой системы, вдоль которой х иеняется монотонно от — оо до + Оо.
При этом если А,.— особая точка, соответствующая начальному состоянию, а А- — особая точка, соответствующая конечному состоя- 1 нию, то из уравнений (2.13) и (2.10) следует. что Р(А,) ( Р(А)), г(А,) < г(АУ). (2.15) Введем пространство переменных, ',Ну, Н,, О, и, 1", Т, и, Но, Я, Е, Ее~ и рассмотрим в нем поверхность Х, точки которой удовлетворяют уравнениям дР дР дР дР дР ОР л — — д — — — —— А — — —, — — - л —— — О. (2.16) В силу определения Х очевидно, что все особые точки системы (2.11) лежат на поверхности Х. Две точки поверхности Х будем называть объединенными, если они имеют одну и ту же проекцию на подпространство ',т.
Н, Е, Я, $~. Такие точки могут быть связаны ударным переходом. Из равенств (2.9) и (2.10), в силу (2.16), следует, что на Х имеет место равенство ТйР= Тйз=Н г(Е + +М Ь ПЯ Н т йНе НаевйНв+ 2 (2 17) вл Вводя обозначения 4кНе=Ъ'е= —, можно записать первые четыре равенства (2.16) в следующем виде: О=НеНу, м=-НЛН„Н (И Ио)+4лЕР— — О 1 Н,()г — И ) =О. 206 стАциОнАРные движения неидеАльнОГО ГАЭА [Гл. Гп Как следует из (2.18), в случае Ее=0 в особых точках системы (2.11) выполняется равенство Н,(Ъ" — )Гр)=0, (Н =Н е„+Н,е,), которые показывают, что при Е„= 0 ударные волны являются либо газодипамическнмн, либо лежат на границе эзолюциоп- ности, так как условие Ъ'=-(гр эквивалентно условию и = а~».
Поэтому будем в дальнейшем предполагать, что Ер ть О, при этом из равенств (2.18) получим, что в особых точках си- стемы (2.1!) имеет место Н,=-О, я=О. Два последних уравнения в (2.16), преобразованные прн помощи (2.18), принимают вид 4ИЕ'„! 4ОЕр'(2~ — !Гр) '+ + 2(!' — Ь'о)' ~' + 2 + 2(К вЂ” Ь'р)' (2.19) На плоскости ()Г, р) особые точки А» являются точками пересечения кривых, определяемых уравнениями (2.19). Коли- чество особых точек, отвечающих начальному или конечному состоянию в задаче о структуре ударной волны, равно числу точек пересечения этих кривых в области )Г ) О, р ) О.
Будем менять постоянную и, оставляя неизменными остальные постоянпыс (лг, Нр, Ер, ЕУ). Тогда особые точки системы (2.11), лежащие па поверхности 2', опишут кривую, проекция которой па плоскость Р)' есть кривая ! (рис. 49), точки которой удовлетворяют первому уравнению (2.19). Со- гласно равенству (2.!7), на этой кривой Тде = Г(аь (2.
20) Следовательно, $ н з одновременно принимают па этой кри- вой максимальные и минимальные значения. С другой сто- роны, дифференцируя первое из равенств (2.19), получим ЛР е 4 Ер , , Ля — лгя+ (1 ь )~ Р~ +р Л»Р 12ИЕЕ (" — Р О! О»г „Йз „! да 1» 2О7 ф 2) стРуктуРА удА!'ной ВОлны Если 4)з/4Л ' =- О, то из (2.1) и (2.22) следует, что 412У/4)У'2 ( О. Поэтому точки, в которых 41У/41)У=О, являются максимумами энтропии, и па каждой связной ветви кривой 1 имеется не более одного тако~о максимума з, а следовательно, и $.
Таким образом, кривая, определенная вторым на уравнений (2.19), может иметь с каждой ветвью кривой 1 нс Р и з М Ув А) Рнс. 49. более двух точек пересечения. Зануь4еруем точки пересечения кривых в порядке убывания $'. А,, А2, Аз, А4. причем А, и А2 принадлежат ветви, лежащей в области 1" ) Ъ"в. а Аз и А4 — ветви, лежащей в области $" ()гв. В точках А, и Аз величины $ и з убывают с ростом )г, а в точках А2 и А4- — возрастают. Согласно (2.21), 442 2, 4яЕВ 2 Р, ь Ру+41 ь)4 где ав — газодинамическая скорость звука (ав2 = — Ъ'2Р ). Преобразуем последний член в правой части этого равенства 208 стлционлгные движения йеиделльного газа [гл. чн прн помощи соотношений (2.18) 4аЕг1'г Н~ Ь' 1У~ г г (У вЂ” 1ко)' 4е тк — гоЪ и — ад г г г здесь ад и а — альфвеновские скорости в направлении осей х и у: Нх( НгЪ' аг — к — т(/ (,к аг = У д 4е о ' 4н При этом предыдущее равенство перейдет н следующее: р' „, = — — — „й(и), й(и)=и — а —, .
(2.23) йу 1 г егиг д Так как в точках кривой 1. где з достигает максимума, й(и) обращается в нуль, то в этих точках и удовлетворяет уравнению и4 — ( ау + аз+ а' 1 и'+ а'а' = О, о ду о д т. е. совпадает с одной из магннтозвуковых скоростей а., и=а,, или (к= т Очевидно, что больший корень (и = аэ) лежит на правой ветви кривой 1, где (к ) (уо, или. что то же самое, и ) ад, а меньший корень (и = аэ) лежит на левой ветви, где И< 1/о, нли и < ад. Точки А, и Ам Аа и А4 лежат соота, ветствснпо по разные стороны от точек Ъ"= — +(и = аэ) и = = (и= а ), причем, как это следует из (2.1) и (2.23), т значения функции й(и) в точках Аи Аг, Аз и Аа удовле- творяют неравенствам й(и)1д > О, й(и)1д < О, й(и)1д ) О, й(и)~ „<О. Из этих неравенств, а также из вида функции й(и) (график функции й(и) изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
