А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 27
Текст из файла (страница 27)
надо знать знак г'" в последнем выражении. Так как № Н' Ьр= — = —, а в быстрых волнах (юах(1, №) < Мз < сс)— О <ЬР<1. Используя (3.33), вычислим выражение го для случая Ьр= 1, ° Т+1 г з( Т+2 Т 3 ~~ьр=|=Р = СТР ~1 — 1 ЬР + 2 Сев Т 2 (Т-1) ~ 2 з — — Ср + — С= 3 (Т+1) 3 =Я вЂ” СТР +Сз~= 2 — (от — СТР )= 3Г ,+! , 1 3 1 21 Т вЂ” 1 3! 2Р 3 1 з г 2 ~ т пв~' 2 р Так как для медленных волн Ь'< гт*, а для быстрых волн гт > г', то для быстрых волн 1= > О, для медленных волн Р < О.
Отсюда следует, что в медленных волнах — >О и|г йр — "„9 <О при з1ппо,=з!япо, при 51яп и = — 3!япо, е' то в медленных волнах (М'з = — гчз/1 + № < Мз < пг!п (1, №) ) имеем 1 < Ьр < !+ Из, % Э] СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ а в быстрых волнах — (О при от лр — )О при лр з!Епо,=з!ап о, з!Нп о, = — з!ап о . Следовательно.
медленные волны сжатия состоят из характеристик„направленных вниз по потоку, а волны разрежения — иа характеристик, направленных вверх по потоку. В быстрых волнах положение обратное. Быстрые и медленные стационарные простые волны разрежения и сжатия могут описывать решение задачи о стационарном обтекании угла, меньшего я. При этом если в потоке отсутствуют другие источники возмущений, то волна, описывающая течение газа, должна располагаться вдоль уходящих от угла характеристик. В этом случае, если в набегающем потоке М* ( М ( пнп(1, йГ), то решение описывается медленной простой волной разрежения, направленной вверх по потону.
Если же шах(1, И) ( М ( са, то решение описывается быстрой простой волной разрежения, направленной вниз по потоку (рис. 45). Рнс. 45. При обтекании угла, большего тс возникает ударная волна. При М* ( М ( ш!п(1, П!) ударная волна направлена вверх по потоку, а при шах(1, И) ( М(оо — вниз по потоку. ГЛАВА Ч11 СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ') ГАЗА ф 1. Течения в трубках тока При изучении движения газа в трубах и каналах переменного сечения часто пользуются теорией одномерных стационарных движений (гидравлическое приближение).
Будем считать, что газ является невязким и нетеплопроводным, и все параметры потока пе меняются в плоскости сечения трубы, перпендикулярной к осн трубы, т. е. что все функции аависят только от одной координаты х, отсчитываемой вдоль оси трубы. Такой подход эквивалентен предположению о возможности осреднепия потока в плоскости, перпендикулярной к оси трубы.
Если рассмотреть трубу бесконечно малого сечения — трубку тока, то такое осреднение всегда возможно сделать вследствие малой пространственной протяженности сечения трубки и соответственно малого отличия функций от их значений па оси трубки. Таким образом, одномерная теория течений газа по трубам эквивалентна теории течения в трубках тока. Рассмотрим вопрос о том, к каким результатам может привести поздействие внешнего электромагнитного поля на поток газа в трубке тока. При этом не будем интересоваться способами создания электромагнитного поля. Будем считать, что вдоль трубки тока задано некоторое-электрическое поле Е(х) и магнитное поле Н(х), влияние которых на стационарный поток проводящей жидкости будем изучать. В связи с этом отпадает необходимость использования уравнения индукции.
Задание Е(х) и Н(х) вдоль трубки тока не означает того. что Е и Н являются функциями ') См. сноску на стр. 82. 193 5 1) ТЕЧЕНИЯ В ТРУБКАХ ТОКА только х но всем пространстве. Эти величины могут быстро меняться в направлении, перпендикулярном к трубке тока, однако внутри трубки тока это изменение мало, так как ширина трубки тока предполагается достаточно малой. Отсюда следует, что хотя электромагнитное поле в пространстве Е(х, у, х), Н (х, у, з) удовлетворяет системе уравнений Максвелла, значения напряженносгей полей вдоль трубки уо го) Н(х) = Н(х, уо хо)(у= уо(х) х = го(х) — уравнение оси трубки тока), вообще говоря, не удовлетворяют системе одномерных уравнений Максвелла ( —, =- —,=-9) Если канал имеет конечное сечение, то введение средних по сечению канала значений механичсских величин и иапряукенностсй электрического н магнитного полей позволяет применять теорию одномерных движений для каналов конечной ширины, когда движение, строго говоря, не является одномерным (такие движения называют квазиодномернмми).
Итак, рассмотрим одноиерныс стационарнь|е движения невязкого нетеплопроводного проволяшего газа в трубке тока переменного сечения й=Х(х) и в заданном электромагнитном поле Е(х) н Н(х) [ы). Лля простоты будем считать, что Е и Н перпендикулярны друг к другу и лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению движения. Выберем ось х вдоль оси трубки тока, ось у в по направлению электрического ноля, ось г, перпендикулярную к х и у, — вдоль направления магнитного поля (рис. 46). Уравнения, описывающие движения в трубке тока, можно предстзвить в виде ри Х = иг = сопз(, (1.1) 1 .
1 . 1 у и рии'+р'= — ЦХН)= — / Н=- — а(Š— — Н)Н, (1.2) с с У с 1 с ри (с лт + ии ) = Еу' = а (Š— — Н) Е, р= ~р~, где штРихом обозначено дифференцирование по х. Первое из этих уравнений выражает постоянство расхода массы вдоль трубки тока, второе — изменение количества движения, третье †-иаменение энергии, четвертое — уравнение 13 Знк Ы. А.
Г. Куликовский, Г. А Лннсиннов 194 стлпионлгные движения неидеАльноГо ГА3А [гл. чн состояния газа. Из этих уравнений получим соотношения, выражающие изменение скорости и числа Маха Л4 вдоль трубки тока через параметры потока. Рис. 46. Дифференцируя уравнения (1.1) и (1.4) по х, получим — + — + — =О, р' и' Г р и х — +. — + — = О. Р Р Т Исключая при помощи этих соотношений Т' из уравнения (1.3), получим р' = — р ( — + — ) + т ~ — рии' + — (Š— — Н) Е1.
Подставляя это соотношение в уравнение (1.2), преобразуем его к следующему виду: 1 Г Х' аНЯ /т 1 с2Еъ т 1 ГЕ ц/ А4а — 1( Х гр 'А т На т Н 5 11 195 ТЕЧЕНИЯ В ТРУВКАХ ТОКА или окончательно; .г — 1 сЕ сЕ и=, В из=и' (1.5) Аналогичным образом может быть получено следующее вы- ражение, определяющее изменение числа М вдоль трубки тока: т †! 2 г 2' аН2 М'= М' — ! 2 ларс' з ~М вЂ” — — (и — и ) (и — «2)~, «2 †.7.
р 1+ М' О Р г= 21 (Т 1)Ма (1.6) Если электромагнитное поле отсутствует, то полученные соотношения переходят в известные газодинамические соотношения для течения в кзналах переменного сечения. Для того чтобы исследовать характер влияния электромагнитного ноля на течение газа, рассмотрим течение в трубке тока постоянного сечения сч = О. Характер влияния определяется знаком правых частей равенств (1.5) и (1.6). Так как при М < 1 выполняются неравенства иг < и, < из, а при М ) 1 — неравенства и, < иг < аз, то влияние электромагнитного поля на движение будет разным в областях М ) 1 и М < 1.
Кроме того„ в отличие от обычной газовой динамики. характер влияния (знаки правых частей уравнений (1.5) и (1.6)) зависит от абсолютных значений и и М в данном сечении. Линии и = ио и = иг, и = из. М = 1 разбивают плоскость и, М (рис. 47) на области: 1. М)1 А2 аз<« В, «,<и<из С, и,<и<иг, 1.), и < ип !!. М<1 Аги<и, Вг а,<и<из.
Сг аг < а < 02 а<«2. 13* Характер воздействия электромагнитного поля на течение в сечении х зависит от того, в какую из этих областей попадает точка, соответствующая и и М в данном сечении х. 196 стлпионлвпыв движения неидалльного глзл [гл.
тп ц, а(Š— — Н) Ни а (Š— — Н) сЕ При этом надо помнить, что ин иа, иа, вообще говоря, различны в различных сечениях трубки тока. Пусть и н М вЂ” значения скорости и числа Маха в некотором сечении. Тогда при смещении вдоль оси х эти параметры меняются так, что точка (и, М) смещается в областях Аа, Вп 7)а — напрзво вверх, в областях Ан Ва О,— налево вниз, и в областях С, и Са — палево вверх. Йа линии и = и,1М) смещение происходит в вертикаль,,Ац пом напРавлении. На Аа А ~~'Й д рис. 47 направления из~~~ци менепия величин и и М в различных областях цц указаны стрелками. д а~ ц цс)и) Из УРавнений 11.5) н с '~~ г1.6) ясно, что переход через значение М = 1 в 2 точках, отличных от из и и,, невозможен 1рис.
47). цс 1 Здесь явление аналогично подобным явлениям обыч- 0 пой газовой динамики. и Если при М = 1 скоРис. 47. рость и равна и, илн иа, то при этих условиях возможен непрерывный разгон нлн замедление потока с переходом через скорость звука. Области С, и С соответствуют ускорению потока при уменьшении числз М. В этих областях скорость звука растет быстрее скорости потока. Полученные результаты относительно характера изменения скорости можно пояснить, если пользоваться тем, что воздействие электромагнитного поля на течение выражается в силовом воздействии и в выделении тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
