А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отношение 1 работы механических сил Е е = — Ц Х Н) и к полной с подводимой энергии И = Е т' в данном случае равно 197 5 11 течения в тгувкйх тока Нв +р+ зк ри (г+ — )]+е н= ю, (1.7) 4 Е=Ео выра4кающим законы сохранения массы, импульса, энергии и напряженности электрического поля вдоль трубки тока, и одному дифференциальному уравнению 41Н вЂ” = 4-.Š— иО, кв 44х " О описывающему изменение магнитного поля вдоль трубки тока. В уравнениях (1.7) — (1.8), как и раньше, п(и, О, 0), 14 Звк. 4К А. Г.
Куликовский, Г. А. Любимов Если и ) из, то М < О, ут а4 < 0 и, следовательно, механическая энергия газа при его движении переходит в энергию электромагнитного поля. Если же и < и, то энергия электромагнитного поля передается газу в виде механической и тепловой энергии. В последнем случае при о).
близких к единице (и близко к и ), воздействие поля выражается в основном в виде работы электромагнитных сил над газом, а прн малых т) (и мало) — в основном в виде подвода тепла. Если воспользоваться результатами газовой динамики, то можно сделать вывод, что при т], близких к единице, дозвуковой поток газа должен замедляться, а сверхзвуковой ускоряться, а при малых т1, наоборот, дозвуковой поток должен ускоряться, а сверхзвуковой замедляться. Эти выводы находятся в соответствии с результатами, полученными выше. Из (1.5) следует, что и'=0 при и= и, и при а =из, причем при и = и, тепловое н механическое воздействия компенсируют друг друга, а при и= и оба эти воздействия равны нулю.
рассмотрим теперь движение электропроводного невязкого и нетеплопроводного совершенного газа в строго одномерной постановке (поле удовлетворяет одномерным уравнениям Максвелла, сечение трубки тока постоянно) [4]. Уравнения, описывающие такие движения, можно привести к четырем конечным соотношениям: 198 стлционлгныв движения иеидалльного газа 1гл. чп Н(0, О, Н), Е(0, Е.
0), 1= — - Г ~ — теплосодержание еди1г ницы массы совершенного газа, ч,„= се/4ка- — магнитная вязкость. Константы (и, Я, $, Ея) определяются заданием потоков массы, .импульса, энергии и напряженности электрического поля и некотором сечении, которос иожно принять за началыюе. Исключая из (1.7) давление и плотность, получим, что скорость и магнитное поле связаны вдоль трубки тока соотношением В плоскости (и, Н) точки, соответствующие различным сечениям трубки тока (различным х), лежат на кривой (1.9). Вид кривой (1.9) я зависимости от определяющих констант может быть легко исследован.
Лля примера рассмотрим случай не очень больших Е,, когда кривая (1.9) имеет вид, представленный на рис. 48. Исключая в (1.8) и при по- моши (!.9) и интегрируя, получим зависимость напряженности магнитного ноля вдоль трубки тока от координаты х х= ~ ~„(и(Н)Н вЂ” 4пЕ,) 'г(И+сопз1. (1.10) т лн Сеченняи трубки тока, в которых отсутствует ток ! = 0), 1 ггх соответствуют на плоскости (и, И) точки гиперболы иН=4кЕо (и=из= 7). еб1 — з= Н/. (1.1 1) Следовательно, сеченияи трубки тока, в которых отсутствует электроиагнитное воздействие на поток, соответствуют точки пересечения кривых (1.9) и (1.11). В этих точках (А, В, гт на рис.
48) все производные равны пулю, т, е. поток является поступательным. Если точка, соответствующая и и И, в данном сечении трубки тока лежит на плоскости (и, Н) выше гиперболы (!.11), то с ростом х магнитное поле вдоль трубки тока возрастает фН/г(х ) 0), если же эта точка лежит ниже гиперболы (1.11), то с ростом х магнитное поле убывает (г(Н/г)х ( 0). Направление изменения магнитного поля вдоль трубки тока указано на 199 В 1) течения В теуаклх тОкА рис. 48 стрелками. Точкам, в которых скорость потока равна скорости звука, соответствуют на плоскости (и, Н) точки параболы Кривые (1.9) и (1.12) пересекаются в точках, в которых с(Н7йи = 0 (точки С, О, тч на рис. 48).
Р . 48. Очевидно, что прн расположении кривых (1.9) и (1.11), указанном на рис. 48, непрерывный переход через скорость звука (и=а) при заданных константах т, Я, $, Ее невозможен пи при каких начальных данных (см. знак изменения Н). Непрерывный переход через скорость звука возможен при и =из= аз, т, е. при таких начальных данных, при которых точки В и С (рис. 48) совпадают.
В этом случае происходит непрерывный переход из сверхзвуковой области в дозвуковую (см. для сравнения рис. 47). Если начальные данные таковы, 200 стлционлгиые движвния неидеального глзл 1гл. чп что точка В лежит выше точки С, звуковая скорость прн положительных Н недостижима. Отметим, что если в некотором сечении трубки тока параметры потока таковы, что через это сечение продолжить поток непрерывным образом нельзя, то в некоторых случаях возможно построить течения, содержащие на исследуемом участке трубки тока скачки уплотнения. Скачкам уплотнения в данной постановке соответствуют переходы при постоянном магнитном поле с верхней ветви кривой (1.9) иа нижнюю ветвь.
Эти скачки представляют собой обычные ударные волны, так как соотношения (1.7) при Н= сопя( представляют собой условия на газодннамической ударной волне. Точкам потока, в которых силовое воздействие электромагнитного поля компенсируется тепловым воздействием (и = и,), соответствуют иа плоскости (и. Н) точки гиперболы т — 1 сЕ и=и,= — —, Н ' лежащей ниже гиперболы (1.11). Если гипербола (1.13) не проходит через точку С, то в точках ее пересечения с крили вой (1.9) — = — О, т.
е. при переходе через точки гипер- ИН болы (1.13), замедляющийся дозвуковой поток начинает ускоряться, а ускоряющийся сверхзвуковой поток замедляется, что находится в соответствии с результатами, полученными выше (см. рис. 47). Заметим, что рассмотренная задача о течении в трубке тока постоянного сечения аналогична задаче о структуре магнитогидродинамической ударной волны с учетом только диссипации за счет электрических токов (магиитогидродинамической ударной волне на плоскости (и, Н) соответствует переход А -э.
В), В более полной постановке эта задача будет рассмотрена в следующем параграфе. й 2. Структура магнитогидродинамической ударной волны К задаче об одномерных стационарных течениях газа приводит также задача о структуре ударной волны 1' 'з!. ударная волна в идеальном газе представляет собой геометрическую поверхность разрыва параметров газового потока. 20! СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В действительности, конечно, ударная волна представляет собой узкий слой, в котором параметры потока изменяются от их значений перед поверхностью разрыва до значений за ней. Если ширина этого слоя много меньше характерной длины задачи, то законно отождествлять этот слой с поверхностью разрыва в идеальном газе.
Но если интересоваться характером изменения параметров внутри самого слоя, представляющего ударную волну, а это может в ряде вопросов оказаться необходимым, то благодаря уаости слоя и связанным с этим большим градиентом газодинамических величин, диссипативными процессами в этом слое пренебрегать нельзя. Вблизи некоторой точки волну можно считать плоской и движение внутри слоя. представляющего ударную волну, стационарным в системе координат, в которой волна покоится. В связи с этим задача о структуре ударной волны, нли, что то же самое, о течении внутри узкого слоя. представляющего ударную волну, сводится к рассмотрению одномерных стационарных движений вязкого, теплопроводного и электро- проводного газа.
Рассмотрим задачу о структуре ударной волны (' з) в газе, уравнение состояния которого имеет вид р=р((г у) где )г — удельный объем, г — энтропия. Нз функцию р(Р', з) наложим ограничения довольно общего типа, а именно, будем считать, что р' ( О, р" > О, р,' > О. (2.1) Первые два неравенства показывают, что на плоскости (р, )г) кривая У=сопя( имеет отрицательный наклон и обращена выпуклостью вниз.
Ниже будет показано, что если два стационарных однородных потока идеального газа в магнитном поле связаны через быструю магнитогидродинамическую ударную волну, то всегда найдется единственное непрерывное решение уравнений магнитной гидродинамикн, описывающее стационарное одномерное течение вязкого теплопроводного конечнопроводящего газа (при произвольной зависимости диссипативных коэффициентов от параметров потока), обращающееся при удалении в бесконечность вверх и вниз по течению 202 стхцнонаяныв движения неидеального глзл [гл. чц го)Е= — О, гогН=- — ',у, с))ч И=О,,)'= с) Е+) — Х Н)~, с ~с (2.2) в случае одномерного движения следует, что Е„ =- сопзй Е, = сопзй Н„= сопя), (2.3) иН„ — ~=иН вЂ” пИ +сЕ, ы их х л' иНс ч — «=иН вЂ” шН вЂ” сЕ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
