А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 26
Текст из файла (страница 26)
à —,ау — И(х), П о (2.30) Р =Ятр„р =- г — Дх, И р до У Г Лг М х =— — В ~ — ~ (! + В) — — В ~ '( м Фу Здесь мы воспользовались тем, что возмущения, описываемые втой частью решения, на бесконечности должны затухать, так как уравнение (2.28) является эллиптическим. Здесь, аналогично предыдущему, функции у ь и г' описывают решение соответственно в верхней и нижней полуплоскостях.
Выберем за искомую функцию в уравнении (2.28) о(х, у), (т)ы=о). Остальные функции будут выражаться через нее по формулам: 183 СТАЦИОПАРПЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ Вид граничных условий для определения О(х, у) нз урав- нения (2.28), а также функций 7' и 7' в (2.29) должен быть определен нз граничных условий (2.17). Используя уравнения (2.26), (2.29) и (2.30), можно записать эти гра- ничные условия в следующем виде: .Уо +(х)+о,(х, + О) = О, 7„, (х)+-о,(х, — О)= О, — (х) = 7„.„(х), ЛУО,(х)+хо,(х, +О) — Л7о (х) — хо,(х, — 0)=ю'(х). Отсюда следует, что . 1(х) 1 Унт(х) 2 (Л и о(х, +О) =— о(х, -- О) = 2 Л .
(2.32) Таким образом, для завершения решения задачи необходимо решить задачу Дирихле для уравнения (2.28) с граничными условиями (2,32), заданными па положительной части оси х. После этого по формулам (2.31), (2.30), (2.29) и (2.26) можно определить все искомые функции. Так как решение в данном случае содержит эллиптическую часть (т1ы), то возмущения, вызванные пластиной с током, проникают во все пространство, затухая лишь на бесконечности. Кроме того, в области течения существуют две поверхности разрыва, совпадающие с уходяшими характеристиками уравнения (2.27), проходящими через точку к=0.
В заключение отметим, что решение задачи об обтекании тонких тел можно получать, используя соотношения, которые выполняются вдоль харантеристик системы (2.1)1цз). Выражения (2.12) — (2.15), (2.20), (2.21) и (2.29) являются, по существу, разрешением соотношений вдоль характеристик системы (2.1), 9 8.
Стационарные простые волны В этом параграфе рассматриваются стационарные движения идеального газа, в которых все величины зависят только от некоторой комбннзцни пространственных переменных. Такие движения будем называть сщапионарными просп(ы,кп 184 стлционлгные движения иделльного глзл [гл. ч4 волнами. Ниже будут рассмотрены простые волны. в которых все величины зависят только от угла у, отсчитываемого в плоскости (х, у), и не зависят от координаты г]4]. Эти волны могут быть использованы при решении задачи об обтекании угла.
Если перейти к цилиндрической системе координат (г,4р, г) с осью, параллельной оси г, и учесть, что все функции зависят толысо от 4р, то систему уравнений магнитной гидро- динамики можно привести к виду: ро +о,р'+ро'= — О, (3. 1) о (Н; — Н ) = И (о', — о ) — Н, (о,'+ о,) (3. 2) Н'+Н =О, Г (3.3) о Н, '= И о,' — Н, (и'+- о„), ) = —,' (И,' — Н,), (3. 4) (3.5) 1 / Н'~' о (о +о)= — — ~р+.— ), г р( 8в)' (3.6) Н оо'= Н', т * 4пр (3.7) (3.8) р=Ср. б]ч о = о + о, = О.
Штрихом обозначены производные по р. Прежде всего заметим, что системе (3.1) — (3.8) должно удовлетворять решение, описывающее поступательный поток в однородном магнитном поле. В поступательном потоке отсутствует расширение частиц жидкости. Кроме того, при рассмотрении нестационарных одномерных движений газа было показано, что в магнитной гидродинамике возможны и другие движения газа, в которых газ ведет себя как несжимаемая жидкость (вращательные простые волны). В связи с этим изучим решения системы (3.1) — (3.8), в которых не происходит расширение газа: Ф 3) 185 стхционлвныз простыв волны о,(И,' — И )=Н,(о,'— о), Н = — Н„ о (ю о ) И 1 И И ) Н' р+.
— = сопз1, зв и оо =- — Н, з 4вр г' ,.= — Ср. (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16) В решениях этого типа, согласно (3.9), (3.16) и (3.14), р = сопз1, р = сопя( и Из = сопя(. Комбинируя (3.12) и (3.15), получим и.' '1 ( И''1 — — ' / о' = О, ~о' — — т( Н' = О. (3.17) 4яр ( в ' ) т 4зр( (3.10) и (3.13), получим (о', — о ) = О, (оз — — ") (Н' — Н ) = О. (3,18) Комбинируя (;-4) Из (3.!7) и (3.18) следует, что либо о,' = Н,' = о,' — о = Н' — И = О, (3.19) либо г и, Ф 4кр (3.20) В первом случае, используя уравнения (3.13) и (3.11), полу- чим решение в виде: оз = сопз1, Н,=- сопя(, о,=Асов(о — срц), о = — Аз)прр — щ), (3.21) Н =-В сов(ср — ср ), Н = — В з)п(ср — о ), где А, В, рз, у,— постоянные.
При этом система (3.2) — (3.8) упростится н перейдет в сле- дующую: 186 стлционлгныа движения идеального газа 1гл. е Полученное решение представляет собой поступательный поток, причем постоянные А, В, ~р и ~р, определяются граничными условиями. Из равенств (3.12) и (3.10) следует, что Нт Н' = — о', я е г' (3.22) Н' = — т и . Г е Г' Если имеет место равенство (3.20), то Н, — = У 4ер= К =сопз1. пт Интегрируя уравнения (3.22), получим, что К, = сопя(, Н Кю +Ко Н Ко +Кю Кз = сопз1.
Из уравнений (3.9) и (3.11), при условии (3.20), следует Н +Н„=Кц,+Ко„+К,=Кз= О. Отсюда Н= Ки+ К,е,, (3.23) т. е. в этом решении в системе координат, движущейся со скоростью К,К-'е,, векторы о н Н параллельны и постоянны по абсолютной величине. Для завершения построения решения в этом случае необходимо найти вектор Н. Для его определения служат только соотношение Не= сопз1 и уравнение (3.11), из которых следует: (3.24) Следовательно, решение задачи зависит от одной произвольной функции, за которую можно принять Нл(р). Тогда уравнение (3.24) определяет Н, а Н„ находится нз соотношения Полученное решение назовем станионарной вращательной простой волной. Это решение может описывать движения как газа, так и несжимаемой жидкости. Выберем систему координат, движущуюся вдоль оси з, так, чтобы в равенствах (3.23) было К,=О; тогда во всем потоке и=Н/"Г'4яр.
Отсюда 187 % 3) стационлвные пгостыв волны (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) р=ср'. следует, что для несжимаемой жидкости полученное решение есть частный случай решений, рассмотренных нами ранее, в которых э=Н( у 4пр, и форма линий тока произвольна, а именно тзкое решение из этого класса, в котором все величины зависят только от угла р и давление постоянно. Если Н,(р) меняется разрывным образом, то решение (3.22) — (3.24) описывает стационарный вращательный разрыв. Если Н,(р) = сопз1, то получаем частный случай решения (3.21), описывающего поступательный поток.
Рассмотрим теперь решения, в которых происходит изменение плотности. Система (3.1) — (3.8) в общем случае пока не исследована, известно только, что в области, где происходит изменение параметров потока, она имеет алгебраический интеграл вида п4 +Сурт ) и +С7рт — = О (Н,,1 . т. и', ~ар ! т ар= который показывает, что решения системы (3.1) — (3.8) обладают тем свойством. что нормальная к лучу р .сопя( скорость равна одной из скоростей звука. Отсюда следует, что в искомом решении прямые р= сопя( являются характеристиками, так же как в соответствующем решении в обычной газовой динамике.
В дальнейшем будем рассматривать простые волны, в которых вектор скорости и параллелен вектору напряженности магнитного поля Н. В этом случае из уравнений ц(т рп= 0 и г)1ч Н= 0 следует, что Н=С1рп, С1 —— - сопз1. (3.25) При этом уравнения индукции удовлетворяются, а уравнения неразрывности и движения приводятся к виду: птр и'+ и т г р !88 стлционагныв движения идеалыюго газа (гл.
т( Уравнение (3.29) интегрируется: Сг 3-) о~ Сз 1 4 Р Сз (1 ЬР) (3 ЗЦ где Ь= — ' Если в уравнениях (3.26) — (3.28) выразить о, из (3.31) и р из (3.30), то получим три обыкновенных дифференциальных уравнения для определения р, о, о„. Произведем дифференцирование в правой части (3.27): Ь ( 2С',Ь а ',.=3(3-'3-3)Ю3 — 32'( ( ', 3-(-, 1,'3-~)]. (332) Умножая (3.26) на о„, (3.28) на о„получим, что (13)т 3)т()2 3' ! (го( ото2 Ь~Г 2 (ГР Р' Р ' 2 (ГР Р' 1 — ЬР Складывая эти уравнения и подставляя в (3.32), найдем конечное соотношение, связывающее о, о,, р, которое является, следовательно, интегралом системы (3.26) — (3.30): ЬзраСз С7рт (+ Р з +ЬР(от+от+от)+ (1 — ЬР)' (3.33) Так как Н=С)ро и е=оо, то Е= — — (о)(, гт) = О, н, 1 е следовательно, система (3.26) — (З.ЗО) имеет еще один интеграл — интеграл типа Бернулли: „г Ср- =С. 2 + — 1 Рг з' (3.34) Из соотношений (3.33) и (3.34) можно выразить о и о„ через р. После этого функция р(7) находится квадратурой 189 СТАПНОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ из уравнения неразрывности огв, а'т / 2 1,1г+ +С.
т р 2 ар (3,35) а', = — ((Сурт '+Ьрог) + 'р' (Смарт-'+ Ьрог)2 — 4ЬрСТрг-ьаг], 1 но в силу (3.34) и (3.33) Сург-2+ Ьрог.= Стрг -2 + Ьр(ог+ог+-ог) =- Сг +(1 — Ьр) 'ог — С'(рг г (1 — Ьр) — Ьр 1 — о + СТЬрт, следовательно, аг = — ((о + С (Ьр") + ( о — С(Ьр ~]. Таким образом: г а, =о,, а =С Ьрт, 2 ! а = СуЬрт 2 2 а =о пРи о, ) С",Ьрг, при ог ( СТЬрг, то есть о совпадает с медленной скоростью звука, если о <С(Ьр; при обратном знаке неравенства о совпадает 2 и с быстрой скоростью авука. Решение содержит пять констант: С, СН Сг, Сз и С4.
Эти константы должны быть определены из граничных условий, которые могут быть заданы на одном нз лучей у=у'. Заметим, что если О,=О при О=О', т. е. на начальной характеристике движение плоское, то Сг=О и о,= — О, т. е. все течение является плоским. Так как все величины в полученном решении выражаются через р, то для выяснения характера зависимости всех Убедимся в том, что о'=аз, т. е. что лучи ~р=сопз( являются характеристиками. Действительно, 190 стациоилвныв движения идвлльного газа [гл. тг величин от угла о в простых волнах разного типа достаточно выяснить характер зависимости р от угла Р. Из (3.35) сле- дует, что 1 Г Т+1 т-з (Т+1)(Т+2) т-1 3 Для того чтобы определить характер изменения р(о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
