А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 23
Текст из файла (страница 23)
+ О;Ь У= — Р 7= — 2'О С с 4я (4 О) с ,— зло 4в где ~р- — 4я ~ рогоз с(го ф — 812 ~ рогового Кроме того, по оси симметрии течет концентрированный ток (4.10) Если В ) О, то распределенный ток гс совпадает по направлению с концентрированным током; если В ( О, то эти токи противоположны. Если же М = О, т. е. концентрированного тока нет.
то В должно быть обязательно положительным. Если 7 = 2, то в первый и последний члены правой части уравнения (4.5) р(1) входит в одинаковых степенях. Поэтому Здесь А, В, с2, дГ, М, 7.— произвольныс постоянные, причем И)~0, М)~0 и 7.)~0. Знаки А и 0 совпадают соответственно со знаками производных др/дг и дй,)дг. Плотс ность тока у= — го1 Н определяется равенствами 4л $4! одпомвиныв освсимивтгичныя движения 161 (4.6) и (4.8) заменяются одним соотношением Нот по+ ' — А / ого (го+ Аг 8и о- (4.1 1) и решение содержит две проиавольные функции рб(гб) н кго( о) Используя равенства (4.6) — (4.8), перепишем (4.5) следуюшим образом: А(к1-яг В -г г)1л-з кгГк (4.12) или + ! л ! Юу(и) Здесь С в произвольная постоянная, которая при заданных А.
В и !) определяется начальной «скоростью» ~ — ~ = О. Постоянная С ктак должна быть такой, что у(1))~О. й г р 1(ачественное поведение решения уравнения (4.13) зависит от вида функции г'(р), который Рнс. 38. в свою очередь зависит от постоянных А, В, С, г). Рассмотрим для простоты случай о Н,= сопз1, когда В=О. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следуюшие случаи: 1) А ) О, В ) О.
В этом случае г" (р) имеет вид, изображенный на рис. 38. Если вк(к/б(! < 0 при ! = О, то р !1 Звк. и Л. Г. Куликокскиб. Г А Любимов где при ( = 2 следует считать О = О. Уравнение (4.12) служит для определения (к(!). Умножая равенство (4.12) на б((к!к!Г и интегрируя, получим уравнение (+) = (кт а! — 2В1пр+ + — !)(к «+ С = — у ((к), (4.13) 1 162 нзстлционагныа движьния идалльного газа !гл, ч становится равной нулю через конечное время. При этом р все время убывает и происходит сжатие всего газа к оси симметрии.
Если же Нр/Л.ь О, то р сначала достигает своего максимального значения в точке р = р . В этой точке юпах' производная г1р/г1г меняет знак, после чего за конечное время происходит уменьшение р(1) до нуля. Таким образом, в рассматриваемом случае, если прн 1=О, г!р/Л.ь О, то происходит сначала расширение газа, а затем его сжатие к оси симметрии. 2) А ( О, В ( О. Если г1р/пг ) 0 прн 1 = О, то р возрастает до бесконечности при 1 — ьоэ, т. е, происходит разлет гзза. При этом «скорость» Ир/И вЂ” з.сю. Если же пр/Н ( 0 при ~ = О, то !х сначала достигает своего миннмального значения, а затем возрастает до бесконечности. 3) А ) О, В ( О.
Возможны следующие подслучаи: а) У(р) не имеет корней. Тогда, если др/гГГ ) 0 при 1=-0. то происходит разлет газа, а если ~Хр/г11 (0 при 1=0, то происходит сжатие газа к оси. б) /!Р) имеет один двойной корень рм При этом если внаки г1р/Л и ра — 1 совпадают, то происходят лимитационные движения газа р-ь!ьз при 1-ьоа, В противном случае будет происходить разлет илн сжатие газа к оси в зависимости от знака рз — 1. Если р =1, то имеем положение неустойчивого равновесия.
в) / !р) имеет два корня, причем единица не может лежать между ними. Если 1 ( рч ( рз, то движение газа происходит аналогично случаю 1). Если же ря ( р, ( 1, то движение происходит аналогично случаю 2). 4) А ( О, В ) О. При этом существуют либо два корня р, ( 1 ( рм либо один двойной корень р, = ря= 1. В случае двойного корня точка р = 1 является положением устойчивого равновесия. При р, ( 1 ( рз происходят периодические колебания р между значениями р, и рз с периодом, зависящим от постоянных А, В, С, т.
е. происходят пульсации газа. Рассмотрим теперь цилиндр конечной длины и конечного радиуса га= а. Пусть Н, = О. Для того чтобы явление 2 внутри цилиндра описывалось полученным решением. достаточно с торцов поставить проводящие стенки, а к боковой его поверхности приложить давление, равное полному Ч 4) одномегныа осесимметгичные движения 1ОЗ давлению изнутри: Нет(а) и р*(а.
~)=Ф( ) р-'т+- Это давление можно создать внешним магнитным полем. Давление магнитного поля на поверхность цилиндра равно Н,)8я (Н, — напряженность внешнего поля). Так как цир- 2! куляция магнитного поля вдоль некоторого контура пропорциональна полному току, протекающему через поверхность, натянутую на этот контур, то суммарная сила тока, текущего вдоль цилиндра, должна быть равна ) (г) прН о )~'Яяро(п) ра-аг+ Нет(о) В частности, при ре(а)=-О суммарная сила тока получается постоянной по времени.
Таким образом, для того чтобы явление внутри цилиндра описывалось полученным решением, необходимо к концам цилиндра приложить такое напряжение, чтобы суммарный ток был равен У(~). При этом ток, который течет внутри цилиндра. не зависит от приложенного напряжения, а находится из уравнений магнитной гидро- динамики. Приложенное же напряжение влияет только на величину поверхностного тока.
11* гллвл ч СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В 1. Характеристики уравнений магнитной гидродинамикн, описывающих стационарные течения В этом параграфе будут рассмотрены свойства характеристик системы уравнений магнитной гидродинамнки, описывающей плоские (в плоскости х, у) стационарные движения бесконечно проводящего газа при и = О и Н, = О [нт з з 'Ь Эта система уравнений может быть записана в следующем виде: 1 1 (и7)и=- — — втаб р+ — го1НХН, Р лир г)1чро=О, г11чН=О, (1.1) го1(в Х Н) =О, о игаб — =О.
р т Как уже указывалось ранее, характеристическими поверхностями называются поверхности, на которых возможны слабые разрывы. В случае плоских движений характеристические поверхности являются цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными осн х. Линии пересечения этих поверхностей с плоскостью (х, у) называются характеристическими линиями или просто характеристиками.
Было выяснено, что скорость распространения поверхностей слабого разрыва равна сумме нориальной составляющей скорости газа и одной из скоростей распространения малых возмущений, В случае стационарных лвижений, когда характеристики неподвижны, это условие принимает вид (1.2) и ° и": а,=О Э 1! хлглктауистики уг-ний магнитной гидеодинлмнки 165 "'=" =-'[( ° — "')- — — и .»! (верхний знак соответствует быстрой мап»нтозвукояой скорости, нижний анак-- медленной). Перейдя в (1.3) к безразмерным переменным 2 Н2 Н' и И»= = —., 1=х, у, (14) 4 тР 4~зла М,. =— ла и воспользовавшись тем, что 'и =о 5!па — о созя, Н =Н 5!пв — Н созв, и х' у ' х х у Н =Н,+Наш 1(,в=у'(х), И =ЛГ,+И„, где у=у(х) — уравнение характеристики в плоскости течения, преобразуем (1.3) к следующему виду: (у»)»[М» ! ~У М2(1+Л(2)] ! ( )»[2М М (1+Л»2) — 4М»Му — 2Л1хЛ(у]+(У') [6МхЛ4у — М (1+ ЛГ )+ ЛГ ]+ + У' [МхМу(1+ Л! ) — 4МхМу — 2ЛГхЖу]+ + [М, — Му (1+ Л» ) + Л1у] = — О.
(1.5) Чтобы получить уравнение для тангенса угла наклона характеристики к линии тока, достаточно в (!.5) положить М = О. у Направления характеристик можно найти также и графическим путем. Направления характеристик в точке потока г совпадают с направлениями касатеаьных, проведенных из (и — единичный вектор нормали к характеристике, лежащий в плоскости х, у) и служит для определения направления характеристик. Так как в настоящем параграфе рассматриваются плоские движения, при которых Н, =- О, и =. — О, то альфвеновскне возмущения невозможны, потому что они нарушают это условие, Характеристики, соответствующие энтропийным разрывам, должны, очевидно, совпадать с линиями тока. Направления характеристик, соответствующих быстрым и медленным магннтозвуковым разрывам, определяются из условия 166 стлционленые движения идзлльного глзл (гл.
щ точки — о(г) к линиям Е~ и Ь, построенным в начзле координат по параметрам потока в точке г (рис. 39). Действительно, согласно результатам 9 3 гл. Ч, векторная скорость движения относительно газа элемента поверхности разрыва, лежащего на построенной таким образом касательной, равна ар+йтад„,~ ~ а~ (п — нормаль к касательной, а,— одна из скоростей малых возмущений) и совпадает с радиусом-вектором (например, ОС, рис. 39), проведенным из начала координат в точку Рис. 39.
касзния. Очевидно при этом, что равенство (1.2) выполняется и, следовательно, построенное направление является характеристическим. Скорость элемента раарыва, расположенного вдоль характеристики, равная У~ — — о+лги+йгаг)1„1 гао представляет собой вектор, проведенный из точки — ю в точку касания, Таким образом, элементы разрывов ф 1) хлглктвяистикн тг-ний млгнитной гидеодинлмики 167 движутся вдоль характеристик со скоростью У, от источника возмущения.
Проведенное исследование позволяет определить число и направление характеристик в каждой точке потока, а также показывает, что разрывы малой интенсивности, возникающие от стационарного точечного возмущения, помещенного в данную точку потока, локализуются на лучах характеристик, проведенных из данной точки в направлении векторов бо Эти лучи будем называть уходящими характеристиками, а остальные части характеристик, проведенных через зту точку, — приходящими в данную точку характеристиками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
