А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Магнитное полена границе газа с пустотой должно быть непрерывным, так как в противном случае при Н„ ~ 0 на этой поверхности существовал бы разрыв касательных напряжений. Поэтому скорость поршня с' и скорость газа на границе с вакуумом и должны быть связаны соотношением 142 нвстлционлвные движения идеального ГАВА (гл. ч которое выражает непрерывность касательных составляющих электрического поля на поверхности разрыва. Так как Н„,-ь О, то нз последнего равенства следует (и — ) Х Н=О. (1. 2) Таким образом, если интенсивности всех воли зафиксированы и между газом и поршнем имеется пустота, то точки, соответствующие скорости поршня, должны лежать на прямой, параллельной магнитному полю в пустой области между поршнем и газом, выходящей из точки поверхности р= О, характеризующей состояние газа на границе с пустотой.
Построенная диаграмма (рис. 30) позволяет по заданной скорости поршня определить комбинацию возникающих при его движении волн, что облегчает численное решение задачи об определении их интенсивностей. ф 2. Распад произвольного разрыва Пусть в момент времени 1 = 0 величины р. р, Н, и терпят разрыв на плоскости х = О.
Если иа этой плоскости не выполняются соотношения законов сохранения, начальный разрыв не может существовать. Необходимо определить движение газа в последующие моменты времени (4, 9, 15) К задаче о распаде произвольного разрыва сводятся многочисленные задачи о столкновениях масс газа, движущихся навстречу друг другу, о различных столкновениях плоских поверхностей разрывов, о разлете масс газа друг от друга и др.
Будем в дальнейшем предполагать, что па первоначальном разрыве Н„+О, так как в противном случае задача сводится к газодинамической (гл. 1, 2 4). Из автомодельности задачи следует, что движение должно состоять из идущих в обе стороны различных комбинаций быстрых о+ и медленных 8 ударных воли, быстрых Я+ и медленных Я автомодельных простых волн, вращательных разрывов А и контактного разрыва Т. Символы 8+, 8, гх+, й .
А, Т обозначают соответствующие волны и разрывы. Скорость распространения этих волн такова, что впереди идет волна 5 или ге+, за ней разрыв А, за которым 143 ф 21 РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА следует волна 5 или 1т . Таким образом, в обе стороны могут идти по три волны, а на месте первоначального разрыва остается контактный разрыв, неподвижный относительно газа. Схематически решение задачи о распаде произвольного разрыва изображено на рис. 31. Параметры, характеризующие среду, а также скорость и магнитное поле в начальный момент времени. будем обозначать индексом О.
Величины, относящиеся к области, рас- Рнс. 31. положенной в начальный момент справа от плоскости разрыва, а в последующие моменты времени справа от плоскости контактного разрыва, будут писаться со штрихом. Величины, относящиеся к области, расположенной слева от контактного разрыва, будут писаться без штриха. Величины, относящиеся к области за быстрой волной, идущей влево или вправо, будем обозначать индексом 1, за вращательным разрывом— индексом 2.
за медленной волной — индексом 3. В дзльнейшем выясним, какие волны возникают при распаде произвольного разрыва в зависимости от величины начального РазРыва скоРости Ьи= и — и„', Ыо=п — О', бтп=шо тво пРП ФнкснРовзнных Ро Ро Ро Ро' 1Уо Оо. В результате прострзнство начальных разностей скоростей (Ьи, ЬО, Ь~ю) будет разбито на ряд областей, так что комбинация волн, возникающих при распаде начального разрыва, будет зависеть от того, в какую из областей попадает точка, соответствующая начальной разности скоростей. 144 нзстлционлвныв движяния идеального газа 1гл. ч Выясним прежде всего, при каких условиях произвольный разрыв распадается на две ударные, или простые, волны м контактный разрыв. На контактном разрыве должны быть непрерывны магнитное поле, скорость и давление.
Так как в ударных и простых волнах движение можно считать плоским, то очевидно, что для возможности осуществления описанного выше распада начального разрыва необходимо, чтобы векторы Н, Н' и М лежали в одной плоскости, которую примем за плоскость (х, у). Рассмотрим плоскость переменных Н и р (рис.
32). Через каждую точку Н~., р* и" Рис. 32. этой плоскости можно провести кривые р= р >(Нт, Н;, р"), р=р +1Н, Н', р'), р=ра-(Н, Н', р') и р=р — (Н, Н', р*), изображающие зависимости р от Н соответственно в 5", Я~-, 5 - и Я -волнах. Пары кривых р = р г и р = р р=р — и р='рл- являются продолжением одна другой. Так как нз контактном разрыве р и Н должны быть непрерывны, то на плоскости р н Н контактному разрыву должна соответствовать либо точка пересечения двух кривых РАСПАД ПРОНЗВОЛЪНОГО РАЗРЫВА Р= Р(Ну, Ну Р"), пРичем одна из них имеет в качестве начальной точкУ (Ро, Н з), а ДРУгаа — точкУ (Р, Н„„), либо одна из точек (Ро, Н р) или (Р', Н' ) (последний слУчай имеет место, когда обе волны распространяются в одну сторону от поверхности начального разрыва).
Точки (Р,Н ),(Р', Н, ) на плоскости (Р, Н„) могут располагаться различным образом. Рассмотрим более подробно случай, когда Н о ) Н' ) О, уо уо Рб) Рз'(Нуо, Нуо, Ро) Рос- Рл+(Но Н о* Ро)' изображенный на рис. ЗЗ (остальные случаи взаимного распо- у И ложения точек (Ро, Н ) и (р', Н'о) могут быть исследованы аналогично). При этом. как видно из рнс. ЗЗ, возможны следующие комбинации волн, решаю~цие задачу о распаде начального разрыва: Р, ТБ+, ус+ ТБ Б~ТБ~, ус~ус Т, ТБ Б+. (2.!) Здесь предполагалось, что кривые Р=Р -(Н„,Н„З,РЗ) Ра Ра Р Рз (~у уз Ро) Рнс.
33. не пересекаются, а кривые р=р о(Н, Н, ро1 и Р=Р о(Н, Н', Р') пересекаются один раз. Условия. при которых могут осуществляться другие случаи, не исследованы. В комбинациях (2.1) интенсивности входящих в них волн однозначно опРеделены значениЯми величин Ро, Н б Ро Н о. Поэтому каждой из рассмотренных комбинаций соответствует вполне определенная величина начального разрыва скорости Ьи, ОО. Эти значения определяют на плоскости (Ьи, дп) пять точек (рис. 34, где около каждой из этих точек написана комбинация воли, которой она соответствует).
10 Звк 1К А, Г. Куликовский. Г. А. Любимов 146 наст/щнонляньш движения идеального глзл 1гл. и Рассмотрим теперь случаи, когда решение задачи о распаде начального разрыва состоит из трех ударных или простых волн и контактного разрыва. Покажем, что в плоскости (Ьи, Ьо) комбинации такого типа соответствует линия.
Рассмотрим в качестве примера комбинацию Я Т/г 8+. /ая 1 гмг ш-а г'А'.г атг и/5' /гю' + чг/гг 5/г/О А5 ы жг" Р/г /я/Б и/г./ал5' .гу г/ы5' ° т5 .ц/т/. ха'ляг- 5" гиг ы/г' а'" РЯР /Г а' //г Я5 лг/ гэг /г/ г/г-/гя я~6 - - - ~ггг- /хи// гж/гм /, г' г /г „4 г' /г и„'„ /аг /гхг .
о и гш ггтг' г'г / г', гт-/гт гв/гт' г г-и- '. кьг ят /г григ' я/; и 'г/ - ' л' гг-д г гг //5 / // з., в//г гэтг. / /гга гы5 гтт/г 5' гпс гтми гн ггт* л Рнс. 34. Характер изменения давления и магнитного поля в волнах, составляющих эту комбинацию, изображен на рис. Зб (ломаная линия ОВОС). Контактному разрыву соответствует в этом случае точка В, лежащая на кривой В, выходящей из точки (рр, На ). Решение задачи о распаде начального разрыва при заданных /эр, р', Н, Н„'возможно при любом положении точки В на кривой р = р~ (Н, Н ш /тэ).
Каждому положению точки В, которое мы будем задавать значением давления р = р' в этой точке, соответствуют определенные интенз сивности всех волн, составляющих рассматриваемую комбинацию, а следовательно, определенные значения Ьи и Ьо, т. е. точка иа плоскости (би, Ьо). Меняя ра, на плоскости начальных разрывов скорости, получим кривую. 147 РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА Очевидно, что сумма изменений компонент скорости в каждой из волн, составляющих комбинацию, равна начальному рззрыву скоростей, т.
е. бл= по- - мо — — -- ~ би, -! — (Ьи,',— ~+)Ьи'эо (, ЬО=Π— о'= — (Ьо ) — (ЬО'-) — (Ьо'- (. (2. 2) Рнс. 35 В этих выражениях знаки поставлены с учетом того, что каждый член представляет собой разность скорости слева от волны и скорости справа от волны. Интенсивность н„ ударной волны в этой комбинапии фиксирована (см. рис. 35). Интенсив- Я' ности же волн раареже- 3 иия связаны между собой У- ли возрастают с уменьше- С нием давления на контактном разрыве. При о' этом, как следует из и Ю (2.2), Ьи и ЬО убы- С вают, т.
е. па плоскости (ьи, ьо) кривая, соответствующая рассматриваемой комбинации, имеет положительный наклон. Если интенсивность идущей вправо )7 -волны С Ро от аг Р равна нулю, то рассматриваемая комбинация переходит в комбинацию гт Т3 ', состоящую из двух воли и контактного разрыва. Таким образом. кривая, соответствующая комбинации гс Тгг 5 ', проходит на плоскости (Ьи, Сго) через точку, соответствующую комбинации гт Т$ (рис.
34). Когда интенсивность волн разрежения максимальна (рз=О), то на плоскости (Ьи, Ьо) получаем точку, которой соответствует комбинация й„~„ТЙ~,„Б . При этом после прохоокдепия волн раарежения образуется пустота. 148 нвстлционлгные движения иделльпого глзл [гл. н Нетрудно видеть, что в точке й Т$, помимо линии й Тй $, оканчиваются линии, которым соответствуют комбинации йчй ТБ, $ й ТБ, й ТБ Б+, когда интенсивность соответствующих воли равна нулю. Из уравнений этих линий, составленных аналогично уравнениям (2.2), следует, что они расположены так, как показано на рис, 34, Выясним теперь, где оканчивается линия $ й ТБ', выходягцзя из точки й ТБ .
Из рис. 33 (ломаная ВЕЛ) видно, что при движении по этой линии (на рис. Зб этому соответствует изменение положения точек Р и Е) интенсивность й -волны будет уменьшаться до нуля. Таким образом, $ й ТБ -линия приходит в точку, соответствующую $ ТБе-комбинацни. Из аналогичных рассуждений следует, что линии й й ТБ и й Т$ Б оканчиваются соответственно в точках, которым соответствуют комбинации й й Т н ТБ $~. Во все эти точки могут приходить еще по трн линии и т.
д. Из скаванного следует, что комбинациям, состоящим из трех ударных или автомодельных воли и контактного разрыва в плоскости (Ьи, бо), соответствуют линии. Точкам пересечения линий соответствуют рассмотренные выше комбинации, состоящие из двух ударных или автомодельапях воли и контактного раарывз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
