А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если Г) ~ О, то условия на 112 поввукности улзуывл в идеальном глав [гл. !у магнитогидродннамической ударной волне примут следующий внд: Нх! Н«2 Нн' (2.1) Р! (ох! О) Р2 (о«2 )) (2.2) (2, 3) ( 2) ( ! ) 2( ) 2 2 Н„+Нхп р +Р (о — 1))2+ Ну2 + Н«2 :=-)22 [ — р2(о«2 - В) + —, (2.4) Р2оу2(о„, — В). Рзоуз(о«2 — В) — — — '-'(И, — Н,), (2.5) (ох! ЕУ) Р! ~ е! — '2 + 2 (оу! — оу2) + ! +2(«! ) '2(«2 )+2(«' '~)+ р, р, ь 1н„',ух', и„',ух' )! Нх 4 [(Н 2оу! — Н 2о 2)+(Н 22 ! — Н 2ию)[, (2.6) Нх(о«! — о«2)-=Н,!(о«! — Л) — Н«2(оха О), (2.7) Нн Р2ох! (ох! * О) Рзв«2 (о«2 х«) = 4з (Нг! Н«2)' (2'8) Соотношения (2.!) — (2.8) выписаны в системе координат, ось х которой направлена по нормали к поверхности ударной волны, а оси у н г лежат в плоскости волны.
Рассмотрим вопрос о взаимодействии ударной волны с малымн возмущениями [' "[. Руудем предполагать, что ударная волна разделяет дза слабовозмущенпык поступательных потока, причем ограничимся случаем, когда все функции возмущенного движения ззвисят только от координаты х и времени 1, т. е. будем рассматривать взаимодействие плоской 113 й 2! эволюцнонность хдкгпых волн уларпой волны с плоскими малыми возмущениями. Естественно, что возму|ценное движение должно удовлетворять уравнениям магнитной гилродннамикн с обеих сторон от ударной волны и условиям па ударной волне (2.1) †(2.8). Так как невозмущенный поток задан и, по предположению, возмущения малы, то они дол4кны удовлетворять липеаризированной системе уравнений магнитной гидродипамики и соотношениям на ударной волне, которые получаются путем линеаризации условий (2.1) †(2.8).
Отметим, что линейные системы, описывающие возмущения с разных сторон от ударной волны, отличаются значениями коэффициентов. Произвольное плоское (в том смысле, что все функции зависят только от х и 1) малое возмущение может быть представлено в виде суммы линейных простых волн (см.
й 3 гл. И!). Каждая нз этих волн характеризуется одной величиной, которую будем называть амплиглудой волны. Ес.чи амплитуда волны задана как функция х + а, 1, то распределение всех остальных величин в волне находится в зависимости от типа волны по формулам (3.1), (З.З) н (3.5) гл. !!1.
Скорость линейных волн относительно ударной волны зависит от типа линейной волны и скорости ударной волны относительно газа. Можно различать волны, приходящие на ударную волну. скорость которых относительно ударной волны направлена к ударной волне, и расходящиеся волны, относительная скорость которых направлена от ударной волны. Амплитуды приходящих воли определяются начальными данными.
В результате взаимодейстпия падающих воли с ударной волной возникают расходящиеся линейные волны (отраженные и преломленные). Их амплитуды определяются амплитудами приходящих волн и условиями на ударной волне. Если прн заданных амплитудах приходящих возмущений условия на данной ударной волне позволяют однозначно определить амплитуды расходящихся волн, то ударную волну будем называть эволюционной, Понятие эволюционности связано с возможностью по строения решения нестзционарных зздач по начальным данным [з!. Если линеаризированная задача о взаимодействии малых возмущений с ударной волной не имеет решения или имеет неединственное решение, то ударную волну будем называть незволюиионной. Если линеаризирозанная задача не имеет однозначного решения, то, следовательно, она может иметь нетривиальное 8 Зкк 14 А.
Г. Кглккчксккя, Г Л Леванов 114 повеахности глзгынл в нделльном глзе [гл. !ч решение н в том случае, когда на ударную волну не падает фактически никаких возмущений. Это соответствует самопроизвольному излучению уларной волной малых возмущений. Если же линеаризированная задача не имеет решения, то так как решение физической задачи должно существовать, необходимо предположить, что линейная задача плохо описывает в этом случае взаимодействие ударной волны с малым возмущением, т. е. явление взаимодействия н делом нелинейно и возникающие при взаимодействии возмущения не являются малыми ['г[.
В этом случае при падении на ударну!о волну малых возмущений должны появиться конечные возмущения. Обоаначнм через 3!у! (через д! обозначены величины р, р, о„, о, Н и т. д.) отклонение параметров от их значений й невозмущспном потоке. Если выбрать систему коордннзт так, чтобы невозмущенная ударнзя волна покоилась относительно этой системы координат (1) = О) и невозмущенные векторы г! и Н были бы в этой системе координат параллельны и лежали в плоскости х, у (в этой системе координат компоненты скорости будем обозначать и, о, гв, при этом гв= Н,= О), то из условий (2.1) †(2.8) можно получить следующую систему линейных соотношений, которым должны удовлетворять иа ударной волне соответствующие возмущения (йд,.)! 3Н 1 3Н»г (2.91 р, (йи! — Ю)+и, Ьр! = Рг(бит — Ы)+ изЬрг, (2.10) Н„(8о! — Ьпг) = и, ЬН~, — аг ЬН~г+ +Н !ба! — Н гЬиг — Й0(Н»! — Н г).
(2.11) Ню ВН, Зрг+ 2р,и, 8и!+ а', Ьр!+ = ЗРг+ 2рги, Виг+ иг 8рг+ 4, (2.12) Ргв! 8и! — Ргог йаг+ аго! 8Р! — агпг йрг+ Р!и! (8о! М ! ~» — аО (Рго! — Ргог) = —" (8Н, — 3Н г), (2.13) э 2) 115 ВВОлюционность удАРных ВОли (". ) й Н2 1и' Н„Н„! НУНУУ Х + ХР2Н2~2 4 2 ~О2 ~РУНУО2 4 ) ~От+ НУ|я> НУУВУ НУ2 НУ2 2 2 2 2 (2. 14) и2 Ӟ́— Н2 ЬН,~ = Н„(йш, — йш2), (2,15) РУЛ~ (етн~ йш2) 4," ,(ЬНЫ вЂ” ВН,2). (2.16) уг„ В этих соотношениях 1=2+-- — теплосодержанне единицы Р Р массы газа.
Так как в плоских линейных волнах компонента магнитного поля, нормальная к волне, не меняется, то ЪН„= ВН„.2 = О. Это соотношение было использовано при получении уравне- ний (2.! О) — (2.16). Иа (2.10) следует. что ХР РРН~ РУ~НУ+И~ВР~ я~ВРУ (2 17) Р~ РУ Это равенство позволяет исключить Ю из соотношений (2. 11) — (2.! 4). Таким образом, условия, которым должны удовлетворять возмущения параметров потока на ударной волне, представляют собой систему шести линейных уравнений (2.11) †(2.16). Эта система уравнений, как легко видеть, распадается на две системы: уравнения (2.15) и (2.16), связывающие между собой величины 3У1ю, 5Нмп АУ, йш2, и уравнения (2.11)— (2.14), связывающие возмущения остальных величин.
Система (2.11) — (2.16) связывает между собой четырнадцать величин: йрь2 йрь2, еиьа, 3о, 2, йшьа, ЬН 3НУ 116 поввгхностн Рхззызл в нделльном ГАзе [гл. щ Любое возмущение с каждой стороны от ударной волны может быть представлено в виде суммы, вообще говоря, семи линейных воли, каждая иа которых определяется одной величиной — амплитудой.
Следовательно, путем линейной замены переменных из системы (2.11) †(2.16) можно получить систему шести линейных алгебраических уравнений, связывающих между собой амплитуды четырнадцати линейных волн. Часть из этих амплитуд, соответствующих приходящим волнам, является заданной, остальные амплитуды должны быть определены из этой системы уравнений. Очевидно, что ударная волна может быть эволюционной только в том случае, когда система (2.1!) — (2. 16), записанная через амплитуды волн, имеет единственное решение. Это требование накладывает определенные условия на возможное число расходящихся волн различного типа.
С другой стороны, возможное количество волн, расходящихся от ударной волны, зависит от скорости невозмушепного потока за и перед уларной волной. Последнее обстоятельство позволяет путем исследования системы (2.!1) †(2.16) получить усчовня, которым должны удовлетворять скорости невозмущенного потока за и перед ударной волной для того, чтобы данная ударная волна была эволюционной. При получении этих условий в дальнейшем будем предполагать, что скорости газа перед ударной волной (и, = Е> — о„) и за ней (и, = Π— о з) ие совпадают ни с одной из скоростей малых возмущений.
Так как в альфвеновских линейных волнах все возмущения, кроме ьтв и 6Н„ равны пулю, а в остальных волнах Вш =ЪН,=--О, то система (2.11) — (2.!6), записанная относительно амплитуд воли, тоже распадается на две независимые системы, причем в уравнения (2.15) и (2.16) входят только амплитуды альфвеновскнх волн, а в уравнения (2.11) -(2.14)— только амплитуды магнитозвуковых и энтропийных волн. Эти системы можно рассматривать отдельно, т. е. можно рассматривать отдельно задачу о взаимодействии ударной волны с малыми альфвеповскнмн возмущениями и задачу о взаимодействии с малыми звуковыми и энтропийными возмущениями ['"[. рассмотрим прежде всего задачу о взаимодействии ударной волны с альфвеновскими возмущениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
