А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В этом случае амплитуды расходящихся воли должны опрелеляться из системы двух линейных уравнений. Эта система имеет вид (для эволюциОнность удлгн!Ах волн определенности примем, что и! 0 и Н„ ) 0): (и, — ал,) 6А Н„+(и, + ОА!) 6А,, Н„= .= (Н2 - НА,) ЗА Н„+. (Н2 + аА2) 8А, тН,2 — '!(и! —" ) 8А.-Н.! — (и! +НА!) 8А,+Н.!) = Р! Р! =!(Н2 !"А2) ~А, -Нв2 (Н2+ !2А2) ~А, Н~2).
В этих уравнениях символом 8,АН, обозначено изменение магнитного поля в альфвеновской волне, движущейся по частицам газа в положительном направлении, а через 3А, Н, изменение Н, в волне, движущейся по частицам в отрицательном направлении. Легко видеть, что ранг матрицы. составленной из коэффициентов при амплитудах, равен двум, если скорости невозмущенного потока зз н перед ударной волной не совпадают с соответствующей альфвсповской скоростью. Очевидно, что эта система будет иметь однозначное решение только в том случае, если число расходящихся волн, которые в этом случае являются волнами Альфвена, равно двум. Необходимыми и достаточньж|и условиями существования двух расходящихся волн Альфвена являются следующие условия: (2.18) и, ( алп иа ( ОА2, или (2. 19) Н! ~ ПА!' Л2 ~ 22А2' В первом случае (2.18) одна альфвеновская волна распространяется по газу перед ударной волной н одна по газу за волной, во втором случае (2.19) обе альфвеновские волны распространяются по газу за ударной волной.
Условия (2.18) и (2.!9) являются необходимыми условиями эволюционности ударнь!х волн. На плоскости (ин и ) (рис. 13) точки, удовлетворяющие нсравенствам (2.18) и (2.19), лежат в областях, покрытых вертикальной штриховкой. Вопрос об эволюционности ударных воли, соответствующих границам этих областей, не исследован. рассмотрим теперь вопрос о взаимодействии ударной волны со звуковыми и энтропийными возмущениями. В этом 1!8 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ !ГЛ.
Щ случае амплитуды расходящихся волн должны определяться из системы четырех линейных уравнений (2.11) — (2.!4), записанных через амплитуды волн. Эта система будет иметь однозначное решение, если число расходящихся воли равно четырем. Прн этом предполагается, что ранг матрицы. составленной нз коэффициентов при неизвестных амплитудах, 'г Е,а Рнс. 13.
равен четырем (фактическое исследование этого вопроса в общем случае в настоящее время не проведено.) Так как среди расходящихся воли рассматриваемого типа обязательно присутствует энтропийная волна, движущаяся вместе с газом за ударной волной, то необходимыми и достаточными условиями существования решения системы (2.11) — (2.14) является условие того, что имеются три расходящиеся магнитозвуковые волны. Легко проверить, что условие существования трех магнитоззуковых воли эквивалентно следующим условиям, наложенным на скорости газа за и перед ударной волной: ан ( и, ( а, иг ( аг,— (2.20) $ 3] глзгвшзние головни нл гдт*ных волнах 119 или аь „( ин аг ( иг ( аг, (2.
21) В случае (2.20) одна волна распространяется по газу перед ударной волной н две по газу за ней. В случае (2.21) все три волны распространяются по газу за ударной волной. Условия (2.20) и (2.21) являются необхолимыми условиями эволюцнонности ударной волны. На плоскости (и,, иг) (рис. 13) точки, удовлетворяющие неравенствам (2.20) и (2.21), лежат в областях, покрытых горизонтальной штриховкой.
Эволюционными ударными волнами являются волны, удовлетворяющие обеим системам неравенств (2.18) — -(2.19) и (2.20) — (2.2!). Точки, соответствующие эволюционным волнам, лежат на плоскости (и,, иг) (рис. 13) в областях, покрытых двойной штриховкой. При этом скорости газа за и перед эволюционной ударной волной должны удовлетворять следующии неравенствам: аь — ( и| < ал| иг ( а а, < ип алг < иг < а,,г, (2.
22) (2. 23) ф 3. Разрешение условий на ударных волнах в совершенном гаае Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена по нормали к ударной волне и векторы о и О лежали бы в плоскости х, у (см. ф 1 настоящей главы), В этой системе координат систему соотношений, эквивалентную соотношениям на ударной волне в совершенном газе, которые являются необходимыми и достаточными условиями эеолюлионности ударной еолны.
Знаки равенства в (2.22) и (2.23) соответствуют ударным волнам бесконечно малой интенсивности. Ударные волны, удовлетворяющие (2.23), будем называть быстрыми, а удовлетворяющие (2.22) — медленными. Аналогично тому, как это сделано для ударных воли, может быть поставлен вопрос об эволюционности других поверхностей разрыва (в частности, вращательный разрыв удовлетворяет условиям эволюционности ]']).
12О поверхности глзрывл в идеальном глзе [гл. я можно записать в виде: Н„' Ну,— Ну, 4в )у,Л 2 — $у~Н ~ 1 2 Ру Р1 + и (Нут Ну2) 1 т =-— г 1 (Р2~2 — Р2| 2) 2 (~2+22)(Р2 Р2)+ + — „(1, — [У,)(Нуз — ™у,)'= О, 1 (3.1) Н„ о 2 — о, = (Нуз — И,). В настоящем параграфе будет показано, что можно ввести некоторую величину, характеризующую интенсивность ударной волны так, что все величины за ударной волной и скорость волны выражаются явным образом через эту величину и параметры, характеризующие состояние перед волной Я').
Предполагая, что Ну Ф О, введем безразмерные переменные по формулам: Н22 =1е'вп Нх 1'2 рд Р2 (3.2) в, в2 )Г 4ва, а„ Х ! 4пр2 2* В2 Я2, А2 Ня Здесь всюду 1=1, 2, причем индекс 1 относится к параметрам перед волной, а индекс 2 — к параметрам за волной.
6 Величина Р связана с ранее введенным вектором У=в Л2 ~) В данном параграфе излагается метод разрешения условий ва ударных волнах, предложенный Л, Л. Бармнным, $3] РАЕРешение УслОВий нА УдАРных ВОлнАх 121 (9 1 гл. 1И) соотношением 1 (Р= —,. Аг~~ Вместо Р, введем переменную г=. „' „' + — (Иа+И,). Р,— Р, 1 7 ! Заметив, что 7 „7 т7 = — О" 4я «1 (3.3) преобразуем соотношения (3.1) к новым переменным (3.2) †(3.3) (3.4) ок! И,— И, О 77;И,— И, (3.5) (И,— И,) а (3.6) «1 1 — 1! 7)~ — е(и — и,) + т Р, — (и,— и,)(и +-1и,)1— — а (И7 — И,) — 2! Р, + И, (И, — И!) = О, (3.7) и,— И, О 7 — О У У7 ех! (3.8) Ига+ 1 «2а+ 1 (3.9) Перед волной будем считать заданными все величины, кроме о и т. е. величины И,, Р,, Н», ри о Р Для определенности положим И, ) О. Интенсивность скачка будем характеризовать величиной г, что равносильно заданию одного параметра за волной. Считая г переменной, исследуем зависимость от нее остальных величин -- Иа Р,, 7), о,, о„а, о 7.
Из равенств (3.5) и (3.6) находни 122 поввгхности глзгывл в идеальном глзв (гл. !ч Подставляя зто выражение в (3.7), получим после деления на И,— И,: (И,-- И,) [(т — 1) з'+(2 — т) И,а+1!— — 2(И|г — (И1+ тРь — 1) г -- И11=- 0 (3 10) или т+1 2 Зе+тл, т — 1 т — 1 (т — 1)22+(2 — т)И>а+ 1 где (3П 1) Исследуем кривую И = Из(г) на плоскости г, И . Для того чтобы не рассмзтривать большого числа различных случаев, будем в дальнейшем предполагать, что т (2, Случай т ) 2 исследуется аналогичным образом. При х — ь+ оо кривая (3.11) стремится к асимптоте Из —— т+1 Ин с которой она имеет точку пересечения при и г = г, = — — Идф, Знак г, противоположен знаку р. Кривая (3.11) пересекается с осью Из в точке с ординатой Из И1 Отметим, кроме того, что точка з-т(2 — т) и| И, — ! т ~(т — ) также лежит на кривой (3.11).
Если И, ) 2 и' т — 1/(2 — т), то знаменатель в правой части равенства (3.11) имеет два р=-И +(т — 1)(тР— 1) Так как Р,)~0, то ~) (! ы— = И1 — (т — 1). Если г задано, то по формуле (3.11) паходии И,, затем из равенства (3.9) находим т). По известным г, И и т) равенства (3.5) нлн (3.6) определяют о"„а равенство (3.4) — о„" . )!аконец, уравнение (3.8) определяет о,. Таким образом, если ро Ин Рн Нх, о„, и г заданы, то соотношения (3.11), (3.9), (3.6), (3.4)*н (3.8) являются соотношениями, разрешающими условия на ударной волне (3.1). Пользуясь равенствами (3.2) — (3.3), легко найти любые параметры за и перед волной, в частности давление Р;.
Р =Р, +(И вЂ” И,) — — (И вЂ” И ). э 3) глзгвшение головни нл главных волнах 123 коРна (г, и гт), и кРиваЯ (3.11) нмсст веРтикальные асимптоты г=х, и г=гв. При И, < 1 кривая не имеет 2 ТГ.~ — 1 2 — т вертикальных асимптот. Для того чтобы было удобнее различать возможные случаи расположения кривой (3.11), введем плоскость начальных данных (Рн И,) (рис. 14). Па этой рнс. 14. плоскости р ) О для точек, лежащих правее параболы 'р = О и р < О для точек, лежащих левее ес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
