А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На поверхности поршня должно быть выполнено условие непротекания и обычные электродинамические граничные условия. Решение задачи о движении газа в этом случае может зависеть только от определяющих задачу параметров Нз, Н. Рз, йн а также от кооРдинаты х и вРемени Е Так как из этих величин можно составить безразмерные комбинации, в которые х и 1 входят только в виде отношения —, то решение задачи будет зависеть только от п(х, О = хф, и рассматриваемое движение будет автомодельным.
Поэтому решение задачи может состоять только из непрерывных простых волн и поверхностей разрыва. При х/1=А =сопят все величины постоянны, и на плоскости (х. 1) возмущения распространяются вдоль прямых х = И, Отсюда следует, что области, занятые простыми волнами, расширяются с течением времени. Поэтому ясно, что непрерывная вращательная волна в решении задачи о поршне присутствовать не может, ') См. сноску на стр. 82. ! 36 нсстАционагные дВижения идеальноГо ГА3А [гл. ч так как ширина этой волны не меняется с течением времени. к Так как в простых волнах скорость фазы й =- — при фикси= г рованном Г пропорциональна х. то меньшим х должны соответствовать меньшие скорости фазы волны, что возможно только для воли раарежения.
Следовательно, непрерывные решения не могут содержать простых воли сжатия (волны сжатия в момент г =- О превращаются в ударите волны). Таким образом, решения задачи о движении плоского поршня с постоянной скоростью могут содержать только простые волны разрежения, вращательные разрывы и ударные волны.
Иа условия эволюцнонности ударных волн следует, что скорость быстрых волн относительно газз перед и за волной удовлетворяет неравенствам и, ) а, „, азл с иа . аз э, а скорость медленных полн относительно газа — неравенствам а, ( и, ( а,д, и, С ам Скорость вращательного разрыва относительно газа перед и за разрывом совпадает с альфвеновской скоростью: "1 = из = алг = ала Скорость движения переднего и заднего фронтов быстрой и медленной простых волн относительно газа совпадает с иагнитозвуковымн скоростями, т. е. для быстрых:.волн иг=а1, из=ам+, а для медленных воли и,=а, из=аа,— Соотношения между скоростями различных волн показывают, что решение задачи может состоять только из одной быстрой волны (ударной или волны раарежения), вращательного разрыва и только из одной медленной волны (ударной или волны разрежения), которые идут от поршня одна за другой в указанном порядке и разделены между собой интервалами, где параметры газа постоянны.
Если последней идет медленная волна разрежения, то в ией плотность газа может упасть до нуля, и между поршнем и газом может существовать область пустоты. 137 Ф 1! ЗАДАЧА О ПЛОСКОМ ПОРШНЕ Рассмотрим пространство скоростей и, и, ш. Заданной скорости поршня соответствует в этом пространстве точка. Предположим, что при любой скорости поршня задача о движении газа имеет единственное решение. Тогда каждой точке пространства скоростей соответствует определенное решение задачи, состоящее из некоторого набора волн разрежения, ударных волн и вращательного разрыва, Найдем в пространстве скоростей геометрические места точек скоростей поршня, соответствующих тому или иному набору, распространяющихся от поршня волн. Невозмушеиному состоянию газа в пространстве скоростей соответствует начало координат. Рассмотрим сначала решение задачи в случаях, когда газ граничит с поршнем.
В этих случаях из граничных условий на поверхности поршня следует. что скорость частиц газа, прилегающих к поршню, совпадает со скоростью поршня. Действительно, так как поршень и газ бесконечно проводящие, то в системе координат, связанной с поршнем, электрическое поле в поршне равно нулю. Из условия непрерывности касательной составляющей электрического поля на поверхности поршня следует, что в газе, прилегающем к поршню, Е-= — ~ — (е — СУ) Х Н~ =О. Так как О„= У„и 0„4-О, то отсюда следует, что аз =(7. Если по невозмущенному газу распространяется быстрая волна разрежения, то скоростям газа за этой волной соответствуют в пространстве скоростей точки некоторой кривой ОА (рис. 29).
Эта кривая, как следует из равенств (2.18) и (2.19) гл. !11, лежит в квадранте я=О, и ( О, и ) О. На плоскости р, Н (рис. 7) этой кривой соответствует отрезок интегральной кривой от точки (йм Н ) до точки, в которой Н = О. Этой точке на рис. 29 соответствует точка А. Нетрудно убедиться, что в точке А касательная к кривой ОА параллельна осн О.
Если по невозмущенному газу распространяется быстрая удзрная волна, то скоростям газз за ней соответствуют точки кривой ОВ (рис. 29). Соглзсно ф 3 гл. !'ч', кривая ОВ лежит в квадранте ш = О, и > О, О ( О и имеет вид, изображенный па рис. 29. !38 нвстлциоплгные движения идеального глзл (гл. ч Таким образом, сслн точка пространства скоростей, соответствующая скорости поршня, лежит на кривой 5 = ОА+ОВ (рис. 29), то решение задачи о поршне содержит только одну быструю волну (разрежения или сжатия). Рис. 29.
Если по газу, движущемуся со скоростью ие + ое, распространяется вращательный разрыв, то, так как во вращательном разрыве изменение касательных составляющих скорости и магнитного поля связаны соотношением то скорости газа за вращательным разрывом может соответствовать любая точка и, и+ (1 — соз О), сйп О) (!.1) — У- и и 1' 4яа Углвз окружности радиуса Н /Р 4нР с центром в точке (и, о-!- +Н ~~/4вр, О). При этом вектор Н,=е Н + е,Н, поворачивается па угол 0, Таким образом, если решение задачи состоит из быстрой волны (ударной или разрежения) и вращательного разрыва, то точки, соответствующие скорости поршня, должны лежать в пространстве скоростей на поверхности Х (рис. 30), состоящей из окружностей (1.1). построенных для каждой точки кривой Б. Если скорость поршня не лежит па поверх- 139 Ф 1! ЗАДАЧА О ПЛОСКОМ ПОРШНЕ ности Х, то в решении задачи должна содержаться медленная волна (ударная или волна разрежения).
При этом точки, соответствующие скоростям поршня, при которых решение содержит комбинацию быстрой волны и вращательного разрыва с фиксированными интенсивностями, а также медленную волну, лежат на некоторой кривой б (рис. 29), проходящей через точку С, на поверхности ~ соответстпуюшую заданной Рис. 30. комбинации быстрой волны и вращательного разрыва. При этом вектор, проведенный из точки С в точку. соответствующую скорости поршня, представляет собой изменение скорости газа, происходящее в медленной волне. Как следует из результатов гл.
!!! и 1"ч', это изменение, а следовательно и вся кривая 6, лежит в плоскости, параллельной оси и н вектору О = е гт' +е,И,, направление которого в медленной волне не меняется. Эта плоскость составляет с осью О угол 0 (0 — угол, на который поворачивается магнитное поле во вращательном разрыве). Кривые б. Непрерывным образом зависящие от точки С, заполняют некоторую область, которую обозначим через Я. 140 нестлцнонлгные движения нделлы!ОГО Глзл [Гл. и Так как в медленной волне разрежения плотность газа может упасть до нуля, а скорость при этом остается ограниченной, то геометрическое место точек концов кривых О, соответствующих равной нулю плотности, образует поверхность гч (рис.
80), являвшуюся границей области Ц. Другие концы кривых О, соответствующие медленным ударным волнам максимальной интенсивности (за которыми магнитное поле нормально к волне), сходятся к некоторой линии, де>кашей внутри поверхности Х. Для доказательства этого утверждения покажем, что все кривые О, проходящие через точки одной и той же окружности (1.!), сходятся к одной точке. Действительно,так как медленная ударная волна максимальной интенсивности движется с альфвеновской скоростью по газу перед волной, то нз сохранения касательной соста- 1 вляющей импульса следует соотношение (и,) = (И,), у'ьр которое выполняется как на уларной волне, так н на вращательном разрыве.
А так как изменение касательной составляющей магнитного поля в такой волне равно половине изменения магнитного поля во вращательном разрыве, поворачивающем поле на 180', то изменение о составит половину диаметра окружности (1.1), и все кривые О, вышедшие нз этой окружности, сойдутся в некоторой точке, лежащей на прямой, параллельной и, и проходящей через центр окружности (1.1). Может показаться, что прн скоростях поршня, соответствующих одной из точек, в которой сходятся кривые О, отсутствует единственность решения, так как интенсивность вращательного разрыва в этом случае не определена.
Однако вращательный разрыв при этом фактически не входит в решение задачи, так как скорость его движения совпадает со скоростью медленной ударной волны, и эти две поверхности разрыва предстзвляют, по существу, одну поверхность разрыва, которая является медленной ударной волной. Если точка, соответствующая скорости поршня, принадлежит области О, то существует решение аадачи, в котором газ граничит с поршнем; в противном случае в окрестности поршня имеется пустота. Очевидно, что кривая О, соответствующая медленной волне, не может пересекать поверхность Х в точке, отличной от исходной, так как иначе для скорости поршня, соответ- 5 1! 141 злдлчл о плоском погшнв ствующей этой точке. существовало бы два решения: одно— содержащее медленную волну, з другое — не содержащее, что противоречит предположению о единственности решения.
Так как поверхность гч не пересекается с поверхностью Е и лежит вне поверхности Х, то отсюда следует, что точкам области Ц, лежащим вне г, соответствуют решения, содержащие медленные волны разрежения. Точкам же внутри поверхности Е могут соответствовать только решения, содержащие ударные волны. Для того чтобы при заданной скорости поршня определить характер быстрой волны, рассмотрим поверхность М (рис. 30), состоящую из точек, соответствующих скоростям поршня, при которых решение содержит только вращательный разрыв и медленную волну (ударную или разрежения). Очевидно, что этз поверхность является поверхностью вращения с осью симметрии и, я=О, о== г' 4яр Точка Е поверхности 44, лежащая на оси симметрии, соответствует скорости поршня, при которой в решении присутствует вращательный разрыв произвольной интенсивности и медленная ударная волна максимальной интенсивности, слившиеся друг с другом.
Если точка, соответствующая скорости поршня, лежит в ограниченной области между поверхностями М и Г, то быстрая волна является волной разрежения, если же скорость поршня лежит вне этой области (но в области о ) О), то быстрая волна является ударной. Если между поршнем и газом имеется пустота, то в ней электрическое и магнитное поле постоянны, так как единх1 ственным автомодельным решением (зависящим от — ) уравпений Максвелла в пустоте для области х < сг является постоянное электромагнитное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
