А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Каждая такая точка отделяет одну линию от другой. Некоторые линии, например $+$ ТБ+, $+ Тй $+, могут простираться до бесконечности. Кроме того, линии могут оканчиваться в точках, соответствующих максимальной интенсивности некоторых из входящих в комбинации волн. Так, например, линии й й Тй, $ ТБ $, й ТБ й и й+$ ТБ оканчиваются в точках й~ахй Тйта» Бта»ТБыа»$ ° йп»а»ТБ й~~ах й $ „ТБ ,„, где интенсивность волн максимальна, т. е, тангенциальпая составляющая магнитного поля за й - или 5 -волнами равна нулю.
Линии же й й Тй и й Тй, $ заканчиваются в точках й й,»Тй,х и й „Тй а»$~, где интенсивность й -волн максимальна и, следовательно, р=О. Будем говорить, что точки йщахй Тй~~ах й~а»ТБ йшах $,»ТБ,»$ и й Б а»ТБ „принадлежат линии центров, а точки й~й„,а»Тй„,ах, й,»Тй „$ принадлежат линии ф 2) РЛСПЛД ПРОИЗВОЛЬНОГО РЛЗРЫВЛ вакуума. Смысл этих выражений будет ясен из лзльнейшего.
Линии, соответствующие некоторым нз рассмотренных комбинаций, явля<отса продолжением одна другой и образуют на плоскости (Ьи, ЬО) четыре кривые (У вЂ” ЛГ на рис. 34). Например, кривая 1 состоит из линий, соответствующих комбинациям йьй Тй, й" й ТБ, йГБ ТВ . Исследуя наклон кривых ! — Л', легко убедиться в том, что максимальной ординзтой каждой кривой являются точки линии центров. Нетрудно видеть, что комбинациям, состоящим из четырех волн н контактного разрыва, в плоскости (Ьи, ЬО) соответствуют области, так как в каждой комбинации из четырех волн и контактного разрыва Ьа и ОО зависят от двух независимых параметров.
Рассмотренные ранее линии, соответствующие комбинациям из трех ударных, или простых, волн и контактного разрыва, являются границами этих областей. Кроме того, границами рассматриваемых областей являются линии, на которых некоторые из входящих в комбинацию волн достигают максимальной интенсивности. Такими линиями является линия центров, иа которой достигают максимзльной интенсивности й - или о' -волны, а также линия вакуума, на которой максимальной интенсивности достигают й -волны.
На рис. 34 в каждой из областей обозначена комбинация волн, возникающая при распаде начального разрыва, когда точка, соответствующая начальночу разрыву скорости, принадлежит данной области. Для завершения качественного исследования задачи, рассмотрим случаи, когда решение задачи о распаде начального разрыва содержит вращательные разрывы.
Так как касательная составляющая магнитного поля И, поворачивается только во вращательных разрывах, то углы поворота О, во вращательных разрывах, идущих вправо н влево, связаны соотношением 0 — 0'=а, (2.3) где а — угол иежду Н,е и О,о. Выясним прежде всего, при кзких би, Ьп н Ьтв решение задачи о распаде пачалыюго разрыва содержит три уларных нли простых волны, а также вращательные н тангснциальиый 150 нкстлционлрныз движения идеального глзл (гл, ч ьи= — )ьи, - ! )ьи' )+)ьи'- ! Ьэ =Ьпе +Атее = У л И ~ба~ и ~п- ~+ р~ 4"Ро à — И +а Н + ' ' —; (Ьяр'л. ).
1~ 4вр, Ио (2. 4) При фиксированных интенсивностях ударной волны и волн разрежения уравнения (2.4) определяют в пространстве (Ьи, Ьо, Ьте) окружность радиуса й= ' + ' — (Ь~' ! — )Ь~ ) (2,5) у 4вр1 У 4вр1 лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси Ьп, центр которой находится в точке Ьи=Л,= — )Ьир-! — )Ьи', )+)Ьи'е ) н„н-1 н'е, (2.5) разрывы. Рассмотрим в качестве примера комбинацию Ай Тй АБ+. Так как изменение Н, и лавлення р в ударных и простых волнах не зависят от направления вектора Н„ то интенсивности волн й, Я, входящих в данную комбинацию, определяются так же, как в плоском случае (рис.
35). Таким образом, при фиксированных ре, ре, Н.в. / + Н,з интенсивность волны 5 в рассматриваемой комбинации фиксирована, а интенсивности волн й связаны между собой, причем интенсивность одной из них можно считать произвольной. Кроме того, в рассматриваемой комбинации имеется еще один произвольный параметр, характеризующий угол поворота вектора Н, в одном из вращательных разрывов (угол поворота вектора Н, в другом вращательном разрыве определяется соотношением (2.3)). Следовательно, в пространстве (Ьи, Ьо, Ьте) комбинации Ай Тй А$ соответствует некоторая поверхность.
Начальный разрыв скорости складывается из изменений скоростей в каждой из волн, составляющих комбинацию: 21 глсплд пгоизвольпого глзгывл Таким образом, каждой из линий, изученных в плоском случае, в пространственном случае можно поставить в соответствие поверхности типа (2,4), отвечающие комбинациям, состоящим из тех же ударных и простых волн и вращательных разрывов. Линии вакуума при этом соответствует поверхность вакуума. Этн поверхности разбивают пространство (Ьи, Ьо, Ьтя) па области, точкам которых соответствует одна и та же комбинация волн з задаче о распаде начального разрыва. Рассмотрим случай, когда векторы Н. и Н, параллельны (а =- 0).
Выберем это направление за ось у. Тогда 1,= О, т. е. центр окружности лежит в плоскости (Ьи, бо). Сечения поверхности типа (2.4) плоскостью тя = 0 являются в данном случае линиями, соответствующими комбинациям, содержащим три ударных или простых волны, тангенциальный разрыв и, возможно, вращательные разрывы, поворачивающие касательную составляющую магнитного поля на 180'.
Если Н з и Н з одинаково направлены, то в комбинации могут присутствовать либо два вращательных разрыва. либо ни одного. Кривые, соответствующие комбинациям без вращательных разрывов, исследованы ранее. Каждой кривой, отвечавшей комбинации без вращательных разрывов, можно поставить в соответствие кривую, отвечающую комбинации тех же простых и ударных воли с зращзтельными разрывами.
Точки этих кривых при одном и том же Ьи одинаково удалены от центров окружностей (2.6). Можно показать. что центры этих окружностей составляют линию центров на плоскости (Ьи, Ьо), рассмотренную ранее. Если зля=О и векторы Ню и Н,а имеют противоположное направление. то в каждую комбинацию воли входит один вращательный разрыв. Исследование этого случая можно провести аналогичным образом. Если точка в пространстве (Ьи, Ьо, Ьтз), соответствующая начальному раарыву скоростей, лежит за поверхностью вакуума, то необходимо дополнительное исследование. За идущими з обе стороны гг -волнами максимальной интенсивности образуется пустота.
На границе с пустотой выполняются соотношения р=О, ',Е ~ =О, ,'Н,) =О. Но в силу. 152 нестаппонлгныв движепня идеального ГАЗА (Гл. ч бесконечной проводимости среды Е„= — — (от Х На)„а 1 Е,, = — —,(оз Х Н; )-. В пустоте в силу автомодельностн задачи векторы Е и Н постоянны, Аналогична предыдущему параграфу можно показать, что (о —,,) Х На= О. (2.7) Уравнение (2.7) описывает прямую в пространстве (Ьи, Ьо, ЬоО. Из каждой точки поверхности вакуума можно провести прямые (2.7). Таким образом, если точка, соответствующая начальному разрыву скоростей, находится за поверхностью вакуума, то в решении задачи о распаде начального разрыва возникает область пустоты, и границы ее движутся со скоростями, разность которых представляется отрезкои прямой (2.7) от точки, соответствующей начальному разрыву скоростей до поверхности вакуума.
ф 3. Распространение слабых ударных волн н слабых разрывов в пространстве Пусть имеется некоторое магнитогидродннамическое течение: не (" г) Не (и г) ра (и Г) Ре (и Г) г = хе„+ уе„+ гв,. Будем изучать распространение по этому течению фронтов слабых разрывов, а также фронтов сильных разрывов, интенсивность которых достаточно мала, так что нормальную составляющую скорости такого разрыва относительно жидкости можно считать совпадающей с одной из скоростей малых возмущений ['а 'т). Уравнение движущейся поверхности разрыва будем искать в виде ю (г) = г — ге, (3.1) где ы(г) — функция, подлежащая определению. При этом поверхность ы(г) =О должна совпадать с начальной поверхностью разрыва т, которую будем считать известной.
Таким образом, ы (г) !, = О. (3.2) 3[ васпгостглнвннз сллвых гдагных волн 153 Обозначим д=дгаг(тв, у,=— ды (3.3) Так как нормальная составляющая скорости распространения поверхности разрыва (3.1) относительно газа равна одной из скоростей распространения чалых возмущений, то [и „(», г) ~,. (», г, а)[ =- — .
1 Ч (ЗА) Уравнение (3.5), являющееся уравнением в частных производных первого порядка, совместно с граничным условием (3.2) служит для определения функции та(»). Как известно из теории уравнений в частных производных первого порядка ['з[, для решения такой задачи необходимо проинтегрировать характеристическую систему уравнений: (3.6) где через» (», та, д) обозначена функция, стоящая в левой части уравнения (3,5), а а — параметр вдоль кривой»=»(а), которая находится при интегрировании системы (3.6) наряду с функциями та(г) и д(г). В рассматриваемом случае из первой группы уравнений системы (3.6) получим дг — =Яге + (а,а+дКгад а,), (3.7) где через пгаг[ а, обозначен вектор е„ да,/дд„, который ортогонален к и (так как а, зависит от д, только через и= г7/д). Вектор г7атад а, представляет собой градиент от ан Здесь пе„(», 1) — нормальная к поверхности составляющая скорости тге(», 1) основного течения, а аг(», 1, и) — одна из скоростей малых возмущений.
Скорость а, зависит не только от парзметров оаювного потока, но и от направления нормали и к поверхности разрыва. Так как а= фд, то уравнение (3.4) может быть записано в виде 1г ° из(», о+1а) — 1 .. дог~», тг+Гм — )=-О. (3.5) 154 нестапнопаяные ханже!шя идеального ГАВА [гл. ч взятый по и„, когда конец вектора и остается на поверхно- .сти единичной сферы д йтаг( а, = атаг(~„~ ~ ан Второе равенство (3.6) в силу (3.7) и (3.5) преобразуется к виду лы лг — = — и ' ~ =Ч'па ~Чпг=1 ° (3. 8) лз ла т. е. в качестве параметра ь на интегральной кривой системы (3.6) можно принять тв=~ — ~ . Кривые г = г(з) могут быть проведены из каждой точки г поверхности а,', так как координаты этой точки х,, совместно с выражениями представляют собой начальные данные, необходимые для интегрирования системы (3.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
