А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Проведем на плоскости (Р,, И,) прямую И,= . Кривая р= — О и 2Ут — 1 2 — т прямая И, = 2 ггТ вЂ” 1/(2 — Т) не пересекаются при И, ) О 2 и Р, ) О, так как )г т — 1 > )г т — 1. Таким образом, эти кривые ограничивают на плоскости начальных данных (Р,, И,) три области (1 — /П). Положение начальной точки в одной из областей (И вЂ” 3!() будет определять, во-первых, наличие или отсутствие у кривой И = И (г) вертикальных асимптот и, во-вторых, знак абсциссы (з.= — " ~ точки „И, 1 пересечения кривой И = Из(г) с горизонтальной асимптотой. Отметим еще, что если у кривой (3.11) имеются две вертикальные асимптоты, то 124 поввахности глзгывл я иделльном газе [гл.
ш Действительно, г, и г, имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком 12 — т л,+а, г, = — — л,= Точка л. при л, > 2 [/ 7 — 1/(2 — 7) принадлежит отрезку лмы ( л, ( б где При подстановке г = г ы в знаменатель правой части равенства (3.11) получим Таким образом, г ы лежит вне отрезка [гн а ]. Легко проверить также, что при Д, > 2)' 7 — 1/(2 — 7) выполняется неравенство з,в(вял„. Этим доказываются неравенства (3.12).
На основании вышеизложенного нетрудно качественно построить график функции )ге= ле(г). Этот график будет рааличным в зависимости от того, в какой из областей ! — 77! на плоскости начальных данных лежит начальная точка (рис. 15 — 17). Отметим, что в случаях ! (рис. 15) и 77! ф 3] гхзпешвнив тсловий нх хдлгпих волнах 125 (рис. 17) минимум кривой (3.11) лежит в области г ) О, если Р > 7(2 — 7) Ь~, и в области а < О при Р ( 7(2 — 7) Ь!. Рнс. 17, Однако пе все части трафика п =па(г) отвечают ударным переходам из состояния 1 в состояние 2, сопровождающимся увеличением энтропии.
Как было показано в й 1, 126 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ [ГЛ. !У условие возрастания энтропии эквивалентно условию возрастания давления Р, ) Р,. В переменных г, И2 это условие примет вид 1 г ) 2 (И2+ И!) Лри И2 ) Ин г<-2 (И,+И) при И,< И,. 1 (3.1 3) Полставляя И =-= 2г — И, в уравнение (3.11), получим г (() — 1) (г — И,)'+ (Р,! = О. Таким образом, единственной точкой пересечения кривой ! И=Из(г) с прямой г=- — (И2 — И,) является точка г=О, И2 = — И,.
Поэтому ударным переходам 1 — «2 с увеличением энтропии соответствуют те части кривой И=И,(г) (выделенные на рис.!5- 17 жирной линией), которые удовлетворяют неравенствам; И >Ии )О, ИЗ<И,, г<О. Точки остальных частей кривой соответствуют разрывам, в которых энтропия убывает при ударном переходе из состояния 1 в состояние 2. Можно счнтзть, что они соответствуют ударным переходам 2 — »1, сопровождающимся увеличением энтропии. Если известна ззвисимость И = И2(г), то, используя равенства (3.5), (3,9), нетрудно найти зависимости величин О*2 и ОАТ От г или От И2 ОАЛ 1 + и та О 2 1 + и г Если И, отрицательно, то очевидно, что величины О*, — 1 и О" — 1 имеют разные знаки, или, что то же самое, либо х2 О„, ) алн О 2 < ал2, либо О, < алн О„2) ала.
Отсюда, пользуясь результатами предыдущего параграфа, можно сделать вывод, что ударные волны, в которых касательная составляющая магнитного поля меняет знак, неэволюпионны. В связи с этим в дальнейшем будем изучать только те части графиков, в которых И2 .Р О, и, следовательно, только те ударные волны, в которых Иа ) О.
~ 3) нлзгвшвниа гсловнй пл главных волнах 127 2 Качественный вид зависимостей о" /л ) для случаев У вЂ” И! ы~ 2) представлен соответственно на рис. 18 — 20. При Ьт=й, имеем Л', + -Р— 1 М(Л,'+-Р— 1)'+ йда о", =1+в, = ' ЬР, + й',+1+ ~'(й',+Т»,-1)' — 4й,'! =.*,„= ал! Таким образом, точки йа=й, соответствуют магнитозвуковым волнам. ! Рис. 18. Жирной линией па рнс.
18 — 20 выделены отрезки кривой. точки которых соответствуют ударным переходам 1 — «2. Характер зависимости о'„, от ла позволяет сделать вывод о том, что (3. 14) окг )~ о~г, ! для ударных волн, в которых магнитное поле возрастает, и о, <~, <ал, (3. 15) для ударных волн, в которых магнитное поле убывает. При ~1+1 атом очевидно, что нз отрезке ~ йн 0~ скорость удар- ы ной волны о„, меняется монотонно в зависимости от ла. 128 повеРхности РАВРВВА В идеАльном ГАзе !Гл. Гч Остальные части кривой о*„(л ), проведенные на чертежах тонкой линией, состоят из точек, которые соответствуют ударным переходам 2 — Р 1 с возрастанием энтропии.
Если Рнс. 19. а,,' 1 а,",", ГД Л т„у 'Я"а Рис. 20. в этих ударных переходах переобозначить состояния так, чтобы 2 обозначало состояние за ударной волной (фиксированное), а 1 — состояние перед ударной волной (переменное), то непосредственно из рис. 18 — 20 (в этом случае ударным ф 3] РАВРешение УслОВий нА УдАРных ВОлнАх 129 переходам с возрастающей энтропией соответствуют части графика О„', = О', (л ), начерченные тонкой линией) следует неравенство ал, ( о ~ ( п~,з (3.16) для ударных волн, в которых магнитное поле возрастает, н (3.17) для ударных волн, в которых магнитное поле убывает.
Из сопоставления неравенств (3.1 4) и (3.16), (3.!5) и (3.17) следует, что ударные волны, в которых магнитное поле воарастает, являются быстрыми, а ударные волны, в которых магнитное поле убывает, не меняя знака, являются медленными. Рассмотрим теперь характер изменения давления в ударных волнах. Из (3.3) следует, что Р,— Рг=(ЬŠ— Ь,)(е — 2 (лт+л,)~. (3.18) 1 Так как для эволюционных ударных волн с возрастающей энтропией квадратная скобка в (3.18) нигде не обращается и нуль, то на плоскости (Р, л) кривая Р,= Р,(л,) будет иметь внд, изобрауненный на рис.
21. На рис. 21 показаны и'А ~-( Рнс. 21. только те участки кривой Ра = Р (лт), где Рэ ) Р, и ла ~ О. т. е. те части кривой, точки в которых соответствуют эволюционным ударным волнам с возрастанием энтропии из состояния Р,, лп для быстрой ударной волны кривая Р,=РЕ (лз) 9 Зак. 1Е А. Г. Куаиковокия, Г. А Лкабииов 139 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ [Гл. !Ч при () ) О не пересекает, а при р' ( О пересекает асимптоту !+1 Из 1 6!' Первый случай изображен на рис.
2! сплошной линией, а второй — пунктиром. Пользуясь (3.9), нетрудно построить график зависимости т) = т)(л ). Качественный вид этой зависимости изображен Рис. 22. на рис. 22. Сплошная линия отвечает случаю р ) О, пунктирная — случаю р ( О.
Используя выражения о" — о' =Ьо*= тт у! у ~х! (3. 19) йо» о» о»! — О» (1 т))= „= » й~', (л,— л,)» ~х! которые следуют из (3.6), (3.8), (3.9), нетрудно графически определить общий ход изменения функций Ьо„*=бо„*(И,) и Ьв"=Ьо" (Ьо„*)(рис.23 и 24). При построении графиков было принято, что о', ( О, т. е. графики построены для волн, движущихся относительно газа в положительном направлении оси х. Как это следует из теории малых возмущений, кривые Ью' = Ьо*(Ье') для быстрой и медленной волн ортогональны 7» в начале координат. 5 31 газгешеиие воловий нл тдавных волнах 13! рассмотрим теперь, что происходит с ударными волнами, когда й,— >О.
Прежде всего изучим„как меняется при атом предельном переходе скорость ударных волн ю'о )" л ~/-I Рис. 23. Рис. 24. В зависимости от знака величины ) Р, — 1, который при Ь, = О совпадает со знаком р=" +(Т 1)(уР~ 1) возможны два предельных случая: 1. уР, ) !. Имеем а* — >1, —,! На (3.20) 132 ПОВВРхности РАВРыВА В идеАльном ГАзе (ГЛ. ю ,а ,а При этом отрезок кривой о'„= о„', (и ), представляющий скорости медленных ударных волн, стягивается к точке о*„, = 1, В = О, а отрезок, представляющий скорости быстрых хг ' а ударных волн, стремится к совпадению с полубесконечным отрезком ~а', со] оси и„', (рис.
25). Последнее утверждение Рис. 25. вытекает из того факта, что кривая о„*, = ю"„,(л,) при Ра ) Рг, не может пересечь прямую ((+1)Ь,Я( — 1). Очевидно, что быстрая ударная волна в этом случае стремится к совпадению с газодинамической ударной волной, а интенсивность медленной ударной волны должна стремиться к нулю.
так кзк в противном случае медленная ударная волна в пределе -; —,(-у > т ",/- г Рнс. 26. г должна была бы обратиться в газодинамическую ударную волну, что невозможно, так кзк ее скорость ал ( аз. 2. (Р, < 1. Имеем а' — ь 1. ГГ предельном состоянии отрезок кривой О„", =о„',(7г ), представляющий медленную ударную волну, совпадает с отрезком '1(а' )р 1] оси ю„"', (Рис.
26). ОтРезок кРивой в„", =о*„,((г ), 5 3! глзгашвниа головня нл гдхгных волнах 133 соответствующий быстрой волне при и, = О, имеет часть, 2 не совпадающую с осью о*г Эта часть описывается уравнением г 1 — Ф'~-- г (1 — тР~) — (т — 1)ааа ох~ = !+лаз !+ ! (3 22) Ее концы ле>кат на осн о* в точках «! «~ «1 !+- 1 (1 1 1)' Так как при любом л, кривая е„', = о„',(л ) уходит в бесконечность, то очевидно, что при л,=О к кривой о'„, = о„",(и,) относится также полубесконечный отреаок ~1+ — (1 — '(Р ), со~ 1 . 1 оси о",, Таким образом, при л, = О и ТР, < 1 медленные ударные волны совпадают с газодинамическими ударными волнами не очень большой интенсивности (такой.
что их скорость относительно газа перед волной не превосходит альфвеновской). Быстрые ударные волны малой интенсивности, скорость которых относительно газа перед волной не пре- 2 восходят ал ~1 + (! — ТР,)~, являются магнитогазодина- т — 1 мическими, и касательная составляющая магнитного поля за ними отлична от нуля. Более мощные быстрые ударные волны Рис. 27. совпадают с газодинамическими ударными волнами, движущи- 2 мися со скоростями, превышающими а ~1+ — (1 — ТР~)~. Непосредственной проверкой можно убедиться, что газодинамичсские ударные волны, движущиеся со скоростями а 2 ! < о', < 1+ ! (! — '(Р,), не эволюционны, так как 134 поввгхности газгывл в идеальном газа 1гл.
~ч а 2 в этом случае выполняются неравенства о„', ) 1 и тн* (1. Яля обоих случаев (7Р, ) 1 и .1Р, ( 1) нетрудно представить зависимость Ьо' = Ьо'(Ьо') (см. соответственно рис. 27 и 28), т~ е причем в первом случае отревок кривой, представляющий медленную волну, вырождается в точку. 1лиу Рнс. 28. Пользуясь полученными соотношениями и качественными зависимостями, можно выяснить характер изменения любой величины в зависимости от интенсивности ударной волны. Например, могут быть построены поляры скорости и магнитного поля, которые были получены другим методом в [" з). ГЛАВА У ИЕСТАЦИОНАРИЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ') ГАЗА ф 1.
Задача о плоском поршне Пусть в момент времени г=О идеальный газ занимает полупространство х ) 0 и ограничен при х = 0 плоским, бесконечно проводящим поршнем. В начальный момент газ покоится (ее =- 0), давление и плотность его постоянны (р= р, р = ра) и задано однородное магнитное поле (Н= Нз= =Н„„е,+Н„ае, Нхе ) О, Н е) 0). В момент времени 1=0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью У= = У„е + У е + У,е,. Необходимо найти движение газа в последующие моменты времени 1 ) 0 [' т з з ю "].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
