А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Установим качественный вид диаграмм скоростей распространения магннтозвуковых разрывов. Скорости этих разрывов в направлении Ь равны простые ВОлны Заменяя в подкоренном вьсрасхении правой части равенства (1.8) член — 4аоЬ„выражением — 4аоЬ, приходим к дру- 2 2 г г гой поре неравенств а, ) спах[ао, Ь~, а (поп[ага, Ь21, (1.11) Из (1.10), (!.11) и (1.8) следует, что !пах [ао+Ь-Ь„[ ( а, (ао+Ь, О.-.
а (си[и[аз, Ь„1, Неравенства (1.9) и (!.12) и равенства (1.6) и (1.7) позволяют начертить качественно диаграмму скоростей слабых магнитозвуковых разрывов [а[ (рис. 6), которая получается различной для случаев ао) Ь и ао(Ь. Удобно ввести па- Ь раметр [4[ Ф= — и различать случаи М ( 1 н Ь7) 1. ио ф 2, Простые волны Рассмотрим движение идеального бесконечно проводящего газа плоскими волнами, когда все величины зависят только от х и !. Система уравнений, описывающая такое движение, будет иметь вид: ди ди 1 с)р 1 д с 2 су — — (н [ н,'), д! дх р дх 8ир дх( до до Нк д77у — +а — =.— —, д! дх ' 4яр дх ды ды Нх дН, — +и с1! дх 4яр дх др др ди — +р — +,— =О, д! дх ' дх (2.1) др др Тсг др тр др — + и — — — — — — и — =О, д! дх р д! р дх которые обращасотся в равенства прн Ь,=О.
Последние неравенства можно усилить. В самом деле. отбросив в под- 2 2 коренном выражении равенства (1,9) член 4Ь„Ь„получим неравенства а4.' щах[по+Ь-, Ь„1. а (сп!П~[ао+Ьг, Ь ~. (1.12) ОО пгбстыв волны и малые возмтщення 1гл. пс дН„дНт до ди — "+и — — Н вЂ” +Н,— =О, 1 дг дх к дх хдх дНх дН, — — и —.= О, дт ' дх дН„ — ~ = О. дх (2.1) Из последних двух уравнений следует, что Н = сопя(. Будем разыскивать те решения этой системы, в которых все величины зависят от некоторой комбинации независимых переиенных су(х, 1) ['з '-" "], Такие решения будем называть простыми волнами или волнами Римана. Характерной особенностью простых волн является то, что среди непрерывных решений только они могут граничить с невозиущенной средой, в которой все параметры постоянны Я.
При этом передний фронт простой волны является слабым разрывом и движется относительно среды с одной из скоростей а,, ал, аэ, а . В простых волнах для производных искомых функций получим выражения —,'' . - и ь =, С с,', 1 дв дУ д. функция су, а вместе с ней и все остальные величины„ остается постоянной, если (2.2) дг = д~ "'+ д' дт дт ду (2.3) илн с ах т, тх дх а = — „— и. аг (2.4) Таким образом, фаза волны (поверхность су= сопз1) должна с перемещаться в направлении х со скоростью — —,. Рассмотх трим скорость движения фазы волны относительно частиц жидкости 91 пРОстые золя!я (2.7) (2.8) (2.9) Отсюда х = (а (о) + и (о)) ! + 7 (о), (2.12) Если подставить равенства (2.2), (2.3) (2 4) в си- стему (2.1), то для пронзволнь:х искомых функций получим линсйную однородную систему уравнений: и, и — аи'+ — Р'+ Н + — Н,с —.-О, р 4ор Р 4вр — - ао' — — Н„= О, 4ор (2.6) с гх — ати' — Н, = — О, с ри' — ар' = О, а т р' — аР'=О, тР Р Нри' — Н;о' — аН =О, (2.
10) Нси' — Н,.тв' — аН, = О. (2.1 !) Так как определитель этой системы совпадает с определи- телем системы (!.3), то для того, чтобы решение этой си- стемы было нетривиальным, необходимо, чтобы а имело одно из значений а,, ал, аь, а . Подставляя каждое из этих значений в систему (2.5) — (2.11) и интегрируя ее, будем получать рззличные решения, соответствующие разным типам простых волн.
Будем рассматривать общий случай, когда все а„ал, аь, а различны. Тогда все эти величины являются однократными корнями определителя системы (2.5) — (2.11). При этом для каждого из указанных значе- ний а одно уравнение системы (2.5) — (2.11) будет линейно зависеть от остальных. Отсюда следует, что все проиавод- ные искомых функций пропорциональны одной из них, при- чем коэффициенты пропорциональности зависят от искомых функций и, о, тп, Р, р, Ню Н, нот Н =сопя!. Если проинтегри- ровать систему уравнейнй, то получим, что в волне каждого типа все искомые функции выражаются через одну из них, которую можно принять за ср(х, !). Зависимость этой функ- ции от х и ! будет определяться начальными или граничными условиями.
Если все решение выражено, например, через р, то = а(р) !, „„„+и(р) ! х >р=соос! 92 простыВ ВОлны и мллые Возмусцессня [Гл. ссс где 7(р) — произвольная функция, которая определяется по начальному распределению плотности р(х, 0). рассмотрим теперь различные типы простых волн. 1.
а = — а, = О. В этом случае из уравнений (2.7), (2.6), (2.6) следует а из уравнений (2.8), (2.10), (2.11) имеелс и' =- о' = тэ' = — О. Отсюда р = — сопа1, Н= сопз1, ес = сопз1. (2.13) Таким образом, в волне данного тина лсолкст изменяться только функция р, которая в этом решении является произвольной функцией. Полученная волна носит нааванне энспранийной, так как изменение р прн неизменном р связано с изменением энтропии.
Эта волна может перемещаться в пространстве только вместе с частицами. Так как и = сопз1, то все фазы перемещаются с одной скоростью, и профиль волны не деформируется. Заметим теперь, что если а чь О, то из (2.9) слелует тр с аэс (ОР) рс (2.14) Так как вообще Фр=~ — Р— ~ сср+~ Р)лсэ, то нз (2.14) сле- о+ н= — о,1 л' 4сср Из (2.10) и (2.1!) Слелуен что рр = О.
дует, что с(а=о нли г=-сонэ(. Тзким образом, все простые волны с а Ф 0 представляют собой изоэптропические течения, и мы можем понизить порядок системы, подставив выражение (2,14) в (2.6). 2. О=ад = " . Из уравнений (2.6) и (2.7) в этом "лс 4сср случае получим 0 2! ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ С учетом предыдущего уравнения (2.8), (2,9) и (2.5) соответственно дают: р = О, Н,Н,', + Н,Н. '= О. р=о, Интегрируя систему получившихся соотношений, найдем: и = сонз1, р =.
сопз1, Н- =-- Н„-! Н, =- сопз1, р = сопз1, 1 яр =- — Н+ сопя(. )' 4ср (2. 15) Очевидно, что решение (2.15) содер1кнт одну произвольную скалярную функцию, за которую можно припять угол 0 поворота вектора И, = е„н + е,н, относительно начального положения. Тогда Н = Н, соз 0, Н, = И з)п 0, причем Н,= — сопз1. Выбором скорости движения системы координат можно добиться того, чтобы решение имело вид И )С4ср В этой системе координат Е = — (и Х И) = О, ! дИ следователыю.
=О, т. е. движение стационарно. В тадс кой волне касательные составляющие векторов и и Н поворачиваются, пе изменяя своей величины. Такие волны называются вращательными или альфвеновсними простыли волнами. Во врзщательной простой волне и=сопз1, а = " = сопз1 и, следовательно, все фазы этой волны л перемещаются с одинаковыми скоростями и+ил и профиль волны не деформируется. При этом 0 является произвольной функцией от х — (ад+и)11 0=0! — (ал+ )1!. Если 0 представляет собой разрывную функцию, то вместе с 0 претерпевают разрыв также Н„и яг„. Такой разрыв называется вращательным, 94 ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. Ш 3.
а = а, . Выберем систему координат так, чтобы в некоторой произвольно выбранной точке выполнялись условия: та=О и Н,=О. Тогда из (2.7) и (2.11) следует, Н,' что если аз+ †. то Н,= ти'= О, т. е. приращения векто4кр ' ров О и Н лежат в плоскости (х, у). Очевидно, что и сами векторы О и Н всюду лежат в этой плоскости (Нх = О, те==О).
При этом система уравнений упрощается и принимает вид: 2 а„Н . аи'+ — Р'+ — У Ну р 4ВР Н» — ао — Н 4ВР Ри' — ар' Нуи' — Н»О' — аНУ =О, (2.1 6) =О, =О. 1 Очевидно, что ае, является корнями определителя этой системы уравнений. Из дальнейшего будет видно, что при подстановке а =- а„ первые три уравнения будут линейно независимыми.
Следовательно, наследное уравнение можно отбросить. Приняв р за независимое переменное, можно привести первые три уравнения системы (2.16) к следующему виду: ин У = 8л(аз — аз), ии а, ир Р ае Н (а — аза) или ир раы Ну (2.1 7) (2.18) ае Н (2. 19) ЛН 4яра ь, Уравнения (2.17), (2.18) и (2.19! представляют собой полную систему уравнений, связывающ)чо изменение величии в быстрой и медленной простых волнах (так мы будем называть волны, распространяющиеся соответственно со скоростями а=а+ и а=а ).
Так как а~, зависит только от р и Н, то очевидно, что достаточно проинтегри1 овать уравнение(2.17), чтобы отыскание остальнь х величин свелось к вычислению квадрат) р. Подставляя е (2.!7) выражения (1.4) для а, 95 ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ получим [[ В Ну 1 2 2 2 — „У = — [Н +Ну — 4каор+ ллР Р + [У (4каор+ Н»+ Ну) — 1бпаорН, == 7„, . (2.20) Из уравнсння (2.17) и неравенств (1.13) следует, что у „)~0. (О, причем равенства могут иметь место только прн Н =О.
Следовательно. в быстрой простой волне Н„ при увеличении р растет, а в медленной — убывает. Рассмотрим поведение функций 7+, при Ну — «О. Если Ну= О, то подкоренное выражение в равенстве (2.20) равно (4прао — Н )2. Так как корень берется арифметический, то 2 2 он равсн ( 4грао — Нк!. При этом если Ну =0 и 4прао > Н», то =О, У = — (Н вЂ” 4ярао) < О, Р если Ну= 0 и 4крао< Н„, то 2 2 У'+ — — — (̈́— 4ярао) > О, Р = О.
Будем считать, что ра2 — возрастающая функция р. Тогда если р > р,, то имеет место первый случай, ссли р ( р,, то имеет место второй случай (р, определяется из равенства 4пр,ао(р,) = Нк). Пусть теперь р — «О. Тогда сели аор — ».0, то У „— »сю, 1 2 8ваоРНк [ 8»аоНу 2 2 2 2 У вЂ” 1, — Р о+ н2 1 но~ н2 [ н2 у к у Если ао(р)- 0 при р — »О, то г' — О.
Рассмотренные свойства функций 7», позволяют качественно представить картину интегральных кривых уравнений (2.20) (рис. 7). Рассмотрим теперь поведение интегральных кривых уравнения (2.20) вдали от начала координат, когда выполнаетса хотЯ бы одно из неРазенств Ну,з»Н» или 2 2 96 пгостые волны и малые возмкщвння 1гл. ш 4ярао))Н„(последнее неравенство можно считать эквива- 2 2 лентным неравенству р)) Р„нли р)) Н ) В этом случае 2 2!~х У., = — ', т =- — 8яао, (2.21) Р и интеграция уравнения (2.20) даст для быстрой волны Н =Ьр, где Ь=-сопз1, (2.22) а для медленной волны— н' р+ — = сопз1, йя (2.
23) так как р= 1 а,',др. Равенство (2.22) имеет внд интеграла вмороженности компоненты Н, а равенство (2.23) выражает постоянство а Рис. 7. полного давления для этой же компоненты магнитного поля. Чтобы представить качественное поведение функций и(Р) и о(р) в простых волнах, достаточно заметить.
что знак приращения и совпадает со знаком приращения р, а знак приращения о противоположен знаку приращения Н (уравнения (2.1 8) и (2.1 9) ). Особый интерес представляют простые волны в совершенном газе, когда р = Срг и ао' =- С) р1-'. $2! пеостые волны Введем безразмерные переменные согласно равенствам: 1' 4ие )»4ио,, Нк Ну Н к где р, определяется из условия 4аТСрг= Н». Тогда уравпег ния (2.17), (2.!8) и (2.19) можно привести к системе ('2. 24) (2.25) (2.26) ие содержащей никаких параметров, кроме ,. Таким образом, поле интегральных кривых системы (2.24) — (2.26), описывающей простые волны в совершенном газе, зависит только от 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
