А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 15
Текст из файла (страница 15)
гле заштрихованные области соответствуют быстрым, альфвеновским, медленным и энтропийной волнам, обозначенным буквами Б, Л, М,,Э. Незаштрихованные участки соответствуют невозмущенному состоянию. ГЛАВА 1Ч ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ИДЕАЛЬНОМ' ) ГАЗЕ ф 1. Классификации поверхностей сильного разрыва В предыдущей главе было показано, что простые волны сжатия с течением времени превращаются в сильные разрывы. Разрывы являются необходимым элементом течения н во многих других случаях движений идеального газа.
В связи с этим представляет интерес исследование свойств магнитогидродинамическнх разрывов. Для изучения этих свойств обратимся к полученным ранее соотношениям, которые лолжны выполняться на поверхности сильного разрыва. Для идеального газа эти соотношения имеют внд: 1Н„)=1Е,1=0, (ро„1=0, (ри+рпо„— Тапке,~=О, 1 ~р(.+ —,) «+„«+ —,' (ЕХН)„~=О, ~(Е~) причем Е= — — Х Н, Т,д= — Н„Н вЂ” — и'Ь,д, 1 1 1 с Преобразуем некоторые входящие сюда члены: 1 пН« 1 И'„Иа Т и де, = — НН вЂ” — = — Н Н + —" п — — ' и. 4« " 8« 4« « 8« 8« 4 (ЕХН) = 4 ((оХН)ХН)'и= е 1 1 4 ( «( 4- ( «( «л+ ~ ~) ( «+ ~) «) 1 4 ~ л( «'о«) «л~' ~) См.
сноску на стр. 82. 1) кллссиеикапия поввгхноствй сильного глзгывл 107 Соотношение (Е,(= — —,Ни Х Н),', =О 1 равносильно следующему: (Нлил Нлвл( = 0 (1.2) (1.3) (1.4) Ргпю = Ртолт = — лг Нл (и,( =(Н,ол!, ( р+Р '„+ — 1=-0, ~Р(е+ — )ил+ р л+ 1 Ньпл — Н" (Н,.,)~= О, (1.5) (1.6) (1.7) Соотношения (1.2) — (1.7), как будет видно из дальнейшего, могут описывать поверхности разрыва различных типов [б,а, И,13) Прежде всего рассмотрим поверхности разрыва, через которые отсутствует поток вещества (и = 0). На таких разрывах должны выполняться следующие соотношения: Н„(тг,( =О, (р(= — 8 (Н'( 1 Н„(Н,( =О, Нл(Н, и,( =О. (1.8) Из этих соотношений видно, что возможны два типа подобных разрывов. Если вектор напряженности магнитного поля параллелен поверхности разрыва (На = 0), то скорость и магнитное поле с обеих сторон разрыва параллельны Подставляя полученные выражения з (1.1) и проектируя векторные соотношения на нормаль и касательную плоскость к поверхности разрыва, получим следующие условия, которые должны быть выполнены на поверхности магнитогидродинамических разрывов 1ОО поввгхпости Рлзрывл в идзлльпом глзв !гл.
ш поверхности разрыва и испытывают произвольные скачки. Произвольный скачок испытывает также плотность, скачок давления же связан со скачком поля. Такая поверхность разрыва есть поверхность раздела двух жидкостей с разными термодннамическими параметрами, которые двигаются друг относительно друга с некоторой скоростью, параллельной поверхности раздела. Поэтому, по аналогии с обычной газо- динамикой, такой разрыв называют танзекпиальным. Если же напряженность магнитного поля составляет некоторый угол с поверхностью разрыва (Н„+ О), то на поверхности разрыва скорость, магнитное поле, а также давление непрерывны.
Плотность и другие термодинамические параметры, за исключением давления, могут испытывать произвольный разрыв. Такой разрыв называют контактным. Если через поверхность разрыва существует поток массы (пг чь О), то параметры потока и поля с обеих сторон такого разрыва должны быть связаны соотношениями (1.2) — (1.7). Прежде всего заметим, что среди этих поверхностей разрыва должны содержаться вращательные разрывы, полученные нами ранее как предел вращательной волны Римана. На вращательном разрыве пг ~ О, (и„(= (Ъ'( =О, 1 где Ъ' = — — удельный объем, Р Рассмотрим все возможные поверхности разрыва, обла- дающие этим свойством.
Иа соотношений (1.4) и (1.6) находим, что или и„ = угеяр т= ~п 1Г жь' (тр,( — ~I — (гт,', =О. ~ и+- — И'~=О, ()Ч-~'(л-Ь ц„'(-Ь вЂ”,((,— Р—,.и( (=~н=о. т. е. все поверхности разрыва, обладающие тем свойством, что т ~ О, (Ъ"( = О, распространяются по частицам жидкости со скоростью вращательного разрыва. Оставшиеся соотношения на разрыве дают: $ 1) кллссивикхция поввгхноствй сильного ихзвывл 109 Так как (1') = 0 и (е) = О, то па этом разрыве непрерывны все термодинамические параметры. В частности, (р) = О, откуда следует, что (И~) = О, т. е.
модуль вектора Н непрерь|вен при переходе через разрыв. В системе координат, движущейся относительно исходной системы со скоростью о, †'7 РИ~~/4к, векторы о и Н параллельны с обеих сторон разрыва и поворачиваются вокруг нормали. Все эти свойства совпадают со свойствами вращательных разрывов.
Таким образом, при лг чь О, (к') = 0 ие существует других разрывов, кроме вращательных. Теперь, для того чтобы исчерпать все возможные поверхности разрыва, описываемые (1.2) †(1.7), необходимо рассмотреть поверхности разрыва, на ноторых и+О, ((г) чьО. Такие поверхности разрыва называются ударными волнами. Отметим, что при любой скорости набегающего потока можно выбрать движущуюся систему координат так, чтобы движение было плоским и с обеих сторон от ударной волны. Действительно, из (1,4) и (1.6) следует, что векторы НлЪ', — Н„(г, и ̈́— Н„параллельны одному и тому же вектору (о,).
Так как в ударных волнах и', чь ~"м то отсюда следует, что Н„и (о,) параллельны Неи Если выбрать движун1уюся систему координат так, чтобы вектор скорости о, лежзл в плоскости, проходящей через Н, и нормаль к поверхности разрыва, то в этой плоскости будут лежать также Нз и и,. В дальнейшем при изучении ударных волн будем пользоваться такими системами координат. Кроме того, выбором системы координат можно добиться того, чтобы векторы скорости и напряженности магнитного поля были параллельны между собой перед и за ударной волной. Действительно, выбором скорости системы координат в направлении касательной составляющей магнитного поля можно сделать векторы еь и Н, параллельными.
При этом из условия (1.4) следует, 1то ~( — ' — — ') о„1=0, т. е. векторы о, и Нз тоже параллельны. 110 поввгхности влзгыва в идвлльном глзв (гл. !ч Приступая к исследованию ударных волн, докажем, что в магнитной гидродинамике при обычных предположениях относительно термодинзмических свойств газа ~~ — 1 (О, г дрт )д Ь О ("~ дг'1 г д~У~ д~) -ь О, ~ д, ) ) О~ энтропия может возрастать только в волнах сжатия [з э). для этого прежде всего исключим (о,( из соотношений (1.4) и (1.6), которые в выбранной системе координат являются скалярными: Нл гле (,)гН ( = " (Н,(. (!.9) Из равенства (1.5) следует, что (р) + — ' (Н,'( лгалЂ (И) (1.
10) Равенство (1.6) можно переписать в виде ~о, — — "Н,,)(= О. (1.11) Соотношение (1.7) преобразуем следующим образом: ( >+(рР(+ —" ( '(+Ч(о, — — "" Н,)'~+ + — ( Н,( — „,, (Н,(=0. Сделав приведение подобных членов, получим 1 ег+ 2 ()га Ъг1)+ 16 ()гт 1 ))(Н~~ — Н1) =О ° (1.12) Подставляя сюда в третий член и' из (1.10), а в последний — нз (1.9) и воспользовавшись (1.11), получим (е(+ (рР( — —,,) (Ре(+, ()гн,( 1 (р)+ (Н'(/В (н'( ( г и ( 8н (Н.) э 2) эволюционность хдавпых волн Соотношение (1.12) отличается от уравнения адиабаты Гюгонио в обычной газовой динамике только последним членом. Так как последнее слагаемое при $'а <')г, отрицательно, Ф а при Иа > Ъ', положительно, то в области Иа < $', на плоскости (р, И) (рис. 12) точки, которые могут удовлетворять уравнению (1.12) (сплошная линия на рис. 12), лежат выше адиабаты Гюгонио (штрихпунктирная линия), а в области \ 1" >И,— ниже ее (рис.
12). Нанесем на этот же чертеж адиабату Пуассона, т. е. кривую г =- г, (пунктнрная линия). Известно, что в обычной газовой / с 0-0 динамике при принятых предположениях адиабата Гюгонно при Ъ'< Ъ', лежит выше адиабаты гг г Пуассона, а прн Ъ" > У, ниже Рнс.
12. нее. Следовзтельно. точки плоскости (р)'), которые могут удовлетворять уравнению (1.12), лежат при 1г < Ь', в области а > аы а при 1г > Ъ', — в области а < эи Таким образом, при принятых предположениях в магнитной гидродинамике невозможны скачки разрежения, так как им соответствуют переходы с уменьшением энтропии. Детальному исследованию соотношений на ударных волнах будет посвящен отдельный параграф (см. й 3 этой главы). ф 2. Эволюционность магннтогидродннамических ударных волн Рассмотрим плоскую ударную волку, перемещающуюся относительно выбранной системы координат со скоростью ).). Плоская ударная волна разделяет два поступательных потока газа, параметры которых связаны соотношениями на ударной волне. Эти соотношения получены в предыдущем параграфе в предположении, что ударная волна покоится в выбранной системе координат (В = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
