А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В зависимости от того, в какую из трех областей, изо, браженных на рис. 39, попадает конец вектора — о в потоке газа, движущегося со скоростью о, будет различное число действительных характеристик. Если конец вектора — о попадает в область 1, то существует четыре действительные характеристики (см. рис. 39). Эту область значений параметров потока будем называть гиперболической (смысл названий различных областей станет ясен из дальнейшего). Если конец вектора — о попадает в область П, то в потоке существует также четыре действительные характеристики (рис. 40).
В отличие от области у зту область значений параметров потока назовем квазигиперболичеекой, Если же конец Рис. 40. вектора — о попадает в область !И, то существует только две действительные характеристики 1рис. 41). Эта область значений параметров потока называется эллиптико-гипербо- 168 стлционлгпые движения иделльного глзл 1гл. тг лической.
Заметим, что если векторы тг и Н параллельны, то в этом случае направление двух характеристик совпадает с направлением скорости (две характеристики вырождаются в линии тока) и, следовательно, кроме линий тока, в областях У и П существует по лве действительные характеристики, а в области 1И вЂ” ни одной. Рнс. 41. Характеристики плоского поступательного потока играют важную роль при решении задач об обтекании тонких тел потоком газа. Рассмотрению этих задач посвящен следующий параграф. ф 2.
Линейные задачи В этом параграфе рассмотрим задачу об обтекании тонких тел потоком идеального газа [' з а е "1. Пусть имеется поступательный ноток идеального газа, скорость которого равна бе= Бее . В этот поток помещено тело такое, что вызванные им возмущения основного потока моя<но считать столь малыми, что их квадратами по сравнению с параметрами основного потока можно пренебрегать. Решим задачу о стапионарном обтекании рассматриваемого тела в присутствии внешнего однородного магнитного поляНе составляющего с направлением скорости некоторый угол а.
Линеаризируя систему (!.1), получим следующие уравнения 9 2) 169 линейные задачи для определения параметров возмущенного двиаксния: — + — + — о, ди де дР дх ду дх двх да, г..+.— ' =. О, дх ду ди др лгу дах дс др ЛГх ! ддх д"у 1 дх ду М ~ ду дх У' 1 Ь + — "и — о =О, Р= — — Р, У М М ' М' (2.1) где Р= Р„иео ' Ра ' (Гга тРа )' 4зг~р~ ' О' Ю= —, (га ' л а 4яаааГа л Ь У 4.РаУа ра, ра — давление и плотность в певоамушеином потоке, а величины со штрихом означают возмущения параметров поступательного потока.
Линни разрыва решения системы (2.1) располагаются вдоль характеристик невозмушснного потока, число н направление их легко определить, пользуясь результатами предыдущего параграфа. Следовательно, возникающие при обтекании тела ударные волны н волны разрежения будут, согласно линейной теории, направлены вдоль характеристик невозмущецного потока (интенсивность этих волн будет, естественно, малой, и энтропия при переходе через удзрные волны не меняется).
Таким образом, картина обтекания тонкого тела будет существенным образом зависеть от того, в какую из трех областей (рис. 39) попадает конец вектора — аа при задзнных параметрах певозмущепного потока. Если, преобразуя систему (2.1), исключить нз нее все искоиые функции, кроне одной, то для определения этой последней получится дифференциальное уравнение четвертого порядка, причем внд уравнения не зависит от того, какая 170 стлциоплвныв движвния идвлльного глзл 1гл. ш из искомых функций определяется: где под у1, подразумевается любая из искомых функций и, и, р, л или их производные.
Это уравнение легко получить. если воспользоваться следующим правилом. Пусть система линейных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид аииг — — О, (2.3) где и,— матрица-столбец искомых функций, а !)агу!) — ма- трица дифференциального оператора системы (2.2). Тогда каждая из искомых функций обращает в нуль оператор, представляющий собой определитель матрицы йа1й.
В частных случаях, когда коэффициенты исходной си- стемы (2.1) таковы, что она может быть преобразована к виду, распадающемуся на независимые части, функции. вхо- дящие в каждую из подсистем, удовлетворяют уравнениям типа (2.2) более низкого порядка, а оператор уравнения (2.2) является произведением соответствующих операторов для подсистем. При этом очевидно, что все искомые функ- ции будут удовлетворять уравнению (2.2), но ие все решения уравнений (2.2) будут удовлетворять исходной системе. Будем искать решения уравнения (2.2) в виде )г — — Л(у+Ех) (2.4) где ~, — произвольная функция своего аргумента.
Очевидно, что число решений уравнения (2.2) такого вида совпадает с числом действительных характеристик уравнения (2.2), причем с представляет собой тангенс угла наклона характе- ристики к оси х. Подставляя (2.4) в (2.2), получим: (с4+ а(а+Ь1г+ а" + с) У~У = О, )~гудгу (1 — М') (М' — ДГг) (- Мг Р7г М' — № (1 — Мг) (1 М) М Дх)+М~у ,г с=— — Мг) гМг дГг) + Мгд,г = у'+ у. 171 э 2) линяйныя задачи Таким образом, условием существования нетривиального решения типа (2.4) уравнения (2.2) является выполнение равенства сР+ асз+ Ь(Я + а". + с = О.
(2.6) Если (2.6) имеет четыре действительных корня, то оператор (2.2) является гиперболическим и уравнение (2.2) имеет четыре действительные характеристики и четыре решения вида (2А). Если (2.6) имеет два действительных корня, то оператор (2.2) имеет две действительные характеристики и два решения вида (2.4). В этом случае уравнение (2.2) будем называть эллиптико-гиперболическилг.
Очевидно, что оператор (2.2) всегда может быть представлен как произведение двух операторов второго порядка (этот вопрос равносилен вопросу о разложении много- члена (2.6) на множители): (- '-,,И= '-, ' ) =' д' д' де 1 Г д' д' дг 1 дхг+ дхду + 7 дуг) (,для+ дхду + дуя) (2.7) Если (2.2) имеет гиперболический тип, то оба оператора в (2.7) гиперболические, если же (2.2) — эллиптико-гиперболический оператор, то в (2.7) один оператор эллиптический, а другой гиперболический.
Так как вопрос о типе оператора (2.2) связан с вопросом о числе действительных характеристик невозмущенного потока, то при заданных параметрах невозмущенного потока тип оператора (2.2) определяется тем, в какую из областей на рис. 39 попадает конец вектора — Сгв. В областях 7 и П рис. 39 оператор (2.2) имеет гиперболический тип, а в области Ш вЂ” эллиптикогиперболический. Для того чтобы найти искомые функции, соответствующие конкретной задаче, необходимо сформулировать граничные условия для уравнения (2.2). Если все точки обтекаемого тела расположены вблизи оси х, то, как обычно в линейной теории, граничные условия ставятся па некотором отрезке оси х. С гидродинамической точки зрения граничные условия должны выражать тот факт, что обтекаемое тело является линией тока.
Кроме того, должны быть выполнены электролинамические условия, определяющие разрыв электромагнитного поля в точках оси х, соответствующих 172 стюгионхвпыз движения идзлльного газа 1гл. ш обтекаемому телу, Эти условия сводятся к условию непрерывности нормальной составляющей магнитного поля (Л ) и к тому, что разрыв касательной составляющей магнитного поля определяется суммой токов, текущих в теле, и поверхностных токов, текущих в жидкости на границе с телом. Условие непрерывности касательной составляющей электрического поля выполняется автоматически, так как при плоских движениях во всем пространстве Е=Е,е, и Е,=сопьй Кроме указанных условий, будем всюду предполагать, что в потоке, кроме рассматриваемого тела, нет никаких других источников возмущений. Рассмотрим некотарыс примеры.
1. Пусть в невозмушенпом потоке магнитное поле Нз параллельно вектору скорости (И =О). Так как течение У плоское, то в атом случае из уравнения го1(яг Х Н) = — О следует, что Еа Х На — — е Х Н =.= О, т. е. во всех точках воамушеиного потока магнитное поле и скорость параллельны. Это обстоятельство вместе с условием, что поверхность тела есть линия тока, обеспечивает равенство нулю на поверхности тела нормальной составлявшей магнитного поля. Таким образом, в данном случае решение задачи зависит только от гилродицамическнх граничных условий. Разрыв касательной составляющей магнитного поля определяется токами, текущими в теле, и поверхностными токами— в жилкости, причем токи, текущие в теле, надо считать заданными, а поверхностные токи в жидкости определяются решением задачи. Пусть функции у- == ув (х) задают форму обтекаемого тела.
причем плюс относится к верхней поверхности тела. а минус — к низ<ней. Вне отреака оси х, занятого телом, функции У~ = — О. Так как поверхность тела есть линия тока, то задание функции у„(х) опрелеляет значение о в точках поверхности тела, т. с. приводит к следующим граничным условиям для определения функции тн о=~' (х) при у=..О и О -.
х <Л. (2.8) Здесь Š— длина тела. Уравнение (2.2) для рассматриваемой задачи имеет внд 173 9 2) ЛИНЕЕНЫЕ ЗАДАЧИ Величина Ь определена в (2.5). Однако в этом случае система легко преобразуется к виду, распадающемуся на подсистемы. При этом функция о удовлетворяет уравнению более низкого порядка, которое получается из (2.1) последовательным исключением входящих туда функций: д'о д'о — +д — =О. дх' ду' Для определения функции о необходимо решить это уравнение при граничном условии (2.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
