А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В связи с этим уравнения, описывающие электромагнитное поле, можно представить в виде с у — — го! Н, ФЕН=О, Е=О. (2.2) Решение задачи должно удовлетворять условиям на поверхности тела о„ = О (2.3) Рнс. 58. и условиям на ударной волне, которые вследствие конечности проводимости жидкости сводятся к условию непрерывности магнитного поля при переходе через ударную волну и обычным газодинамическим условиям сохранения потока массы, импульса н энергии: Нл! Нл2' Н 1 Нл2' р1ол! рзтл2' тгл! ~л2' „2 „2 г2 4) л1+'! рт л2+г2' 1+ 2 !2+ 2 Всюду в дальнейшем будем использовать сферическую систему координат с началом в центре сферы, зада!ошей форму ударной волны (рис. 58).
При этом уравнение ударной волны будет г=-г„ а выражение для напряженности магнитного поля днполя интенсивности г;~*с, расположенного в центре, будет иметь вид (рл — Н= 2 —,соз Ое,+ —, Е1П Оем 232 обтекание намагниченных тел (гл. ч1п В этой системе координат граничные условия (2.4) пере- пишутся в виде: прн г=г, 1 — Н,= 2хсозбе,+ха!п бес, (2.5) вг, = п,е, + о,е, = — т|(1 соз Ое, + У з|п Оев, р;,т — 1 р, = р, + р, (ге сова 9 (1 — т)), ов 1+1 где (г' — скорость набегающего потока.
Таким образом, задача о течении вблизи критической точки свелась к отысканию решения уравнений (2.1) — (2.2), удовлетворяющего граничным условиям (2.5). Граничное условно (2.3) будет служить для определения формы обтекаемого тела после нахождения решения. Преобразуем систему уравнений движения, Применив операцию го1 к уравнению импульсов, получим — го1(тг )с' го1вг) = — го1(р' Х Н). 1 рс (2. 6) Вследствие осевой симметрии Р = го1 и = -„"е, т' Умножая обе части (2.6) на е, получим окончателыго 1, е (пЧ) -', — — . (тгЧ) г' = — го1 (.у Х Н).
г рс (2. 7) Уравнение неразрывности в сферических координатах имеет вид 1 Г д(гвог) ) 1 д(вся|о а) г' ( дг ! г в|и а дз и левая часть уравнения (2.6) преобразуется к следующему виду; — го1(п Х 0) =(ггЧ)о — (ЙЧ)тг+чд|чо — Йд|чгг= = е /(пЧ)с — —,(тгЧ)г*~, где г* = г з1 и 0. $2] пРимеР ОБтекАния нАмАГниченнОГО телА 288 Где О, н Ое — компоненты скоРости в сфсРических кооРдинатах. Это уравнение можно также записать я таком анде: д (гао, е~п З) д (гоа а и З) (2.
81 Для того чтобы замкнуть систему, необходимо к уравнениям (2.7) и (2.8) добавить уравнения (2.2). Легко видеть, что решением, удовлетворяющим уравнению (2,8) и Имеющим ту же зависимость от О, что и на ударной волне (сн, (2,5)), является выражение О -~ ~а ) созб~е,— ~~ ( ) з1ПО~ее. Штрихом здесь и всюду в дальнейшем обозначается проаазводная по г. Будем рассматривать течение в окрестности оси симметрии, т. е. будем считать, что 02 соя 0 1 — —, я1п Π— 0; 2 ' тогда предыдущее выражение для яу перейдет в следующее: 2г / 0''У г' О = —,(1 — — ) е — —,Оем (2.9) Тзк как магнитное поле должно удовлетворять уравнению 41ТН=О и условия на удзрной волне для пего дают ту же зависимость от О, что и для скорости.
аналогичную операцию можно проделать и для отыскания вида функции Н. Следовательно, решение для Н можно искать в виде — Н=1 соя 01е — ~ — з(п 0~ ее = 1 г 2е(г) ч г е'(г) с ~ г' ! г — 11 — — 1е — — Ое,. (2. 1О) !О Зак. !4. А. Г. Куеикоаскиа, Г, А. Любимое Таким образом, рсшсние задачи свелось к отысканию двух функций 7'(г) и е(г). Эти функции на ударной волне.
т. е. при г = г,, должны обращаться в некоторые константы, определяемые видом решения (2.9) и (2.10) и граничными условиями (2.5). Для определения функций 7 (г) и е(г) воспользуемся уравнениями (2.7) и законом Ома (2.2). Выразим 234 [гл. чш овтеклние намагниченных тел члены, входящие в эти уравнения, через функпни 7(г) и сг(г). Так как 1д, 1д( 0) )т г 0+г сг = 2 — 7 — 7' — = — — ~~ 2 — ), 0 „б 0 ( — гз г г(, гг) дг" чб дг* 1 — (тгЧ) г" = — ~о — + - -'- — ( =- - — (о 0 + о ) = г* г01 г дг г д0) гб 0 „, 2У У 2У'У 4УЯ то левая часть уравнения (2.7) преобразуется к виду — го((оХго!н)е =(язЧ) ,-'— — ', (оЧ) г"= ч ь Преобразуем теперь правую часть уравнения (2.7). Вычислим плотность тока Н !о о8 „1 = ан Х вЂ” = а ( — ' Нз — — - Л 1 Е .= с (,с с г/ 9 /2д у'0 2Г я'01 2яб =а( — — — — — ~е = — (г'д — и'г') е .
(,гя г г2 г ~.= гз Плотность силы равна 1 . 2аб —,/Х и= е,—,(г'д — д.~)( — 0)+ з +- Еб — „(У'У вЂ” д'У) ( —,1= = о ~е, —, а' ()'д — и',7) + ез —, а И'ц — а'й~. 236 (гл. чш огтеклнив нлмлгниченных тел где ахвГ, ир, С другой стороны, на ударной волне вв т о=2(УУ'(1)(1 — 2 )е,— ЕУГ'(1) Оев Следовательно, в силу (2.9) У" (!)= 2 г (1)= 1 (2.16) Для получения пятого граничного условия воспользуемся тем, что непосредственно за ударной волной давление известно: ув = ув, -(- р,(Ув(1 — т!)(1 — Ов) ! — =- — ч,с'с — во. др де нли (2.17) Проектируя уравнение движения на направление ев, получим — + — +т' — = — — — + — ! — '(о Цв — овН )1. дев ов дев вв 1 дР ! г'УУ дг г дз г г рг де св ! р г а уравнение (2.!2) будет иметь следующий вид: ( — 0в+ — )= ц, ~ ( — Уг0'+~'0), (2.14) И'1 4хс !Угу где Ур = †' =- ' — магнитное число Рейнольдса.
тм св Найдем теперь граничные условия, которым должны удо- влетворять функции г и О, входящие в эти уравнения. Система (2.13) и (2.14) является системой пятого порядка, поэтому для определения функций 0 (Ур) и г"(У7) необходимо пять граничных условий. Магнитное поле на ударной волне выражается через функцию 0 следующим образом: — О= —,' (! — — )е,— ' Ое,= ! 2е (г,) Ов е' (г,) с г,' 2 ' г, ввт 2 У = 2х0 (1) ! 1 — — ! е„— х0' (1) Ое,. Следовательно, в силу (2.10) 0(1) = 1, 0'(1) = — 1. (2.1 5) $ 2) пример оатвклния намагниченного тала 237 Используя (2.9), (2.10), найдем 1 др 2у' д (у'0 ! у'~0, 2у у'0 ~рг да г' дг ! г ! г' ' г' г' в Г2Л У 2У а'0 у'0 2д!' ' — )1= р ! га ! га г ' г г' ! 2уу" 0 2уу'0 умв 2Д'0, в 4Л0 (2уу ' (~а) + а 4Ф (уГ „~~у) Введя функции Й(Й) н 6(Й), получим и'р,а да Подставляя последнее равенство в (2.17) н воспользовавшись граничными условиями (2.16) и (2.15), найдем соотношение, кото ое юлино выполняться на Р ударной волне: 1 2(1 "1) = ( ч~ 1)+ йа ч +4а~ — — — ).
йа Таким образом, пятое граничное условие можно записать в виде а Р- = — — '+ Х ~ Ч а,ар +2(1 — т)) — 4Я(2 -~ — 1). (2.18) Система (2.12), (2.13) с гранич- йу~ ными условиями (2.15), (2.16) н (2.18) интегрировалась численно при 1 1 д! Й~ = 5 и 1 и различных д аначениях 1;) (от 0,1 до 5). Интегрирование велось от Й, = 1 до Й' такого, что г" (Й') =О. В точке Й" скорость о, = О, н следовательно, эта точка соответствует поверхности тела. Отсюда следует,что сферической ударной волне соответствует обтекание сферы меньшего радиуса Й' ( 1.
Расчет показзл, что Й* уменьшается прн увеличении 07 / у 3 Ф Рнс. 59. 238 [гл. рщ ОБтекАние нАмйгниченных тел При Я ) Я„р„, величина й' становится отрицательной, т. с. обтекаемого тела нс существует. Величина О,ря, для обеих й получилась приблизительно разной 4,2, ПЯ а основании результатов расчета для Различных Я н й были найдены безразмерное расстояние ударной волны от сферы 1 — Л' 1=в Л" и безразмерный градиент скорости нз теле Результаты расчетов этих величин представлены па Рис. 59. Следует отметить, что эти величины слабо зависят от й,я и силыю от Я.
При увеличении <~ ударная волна удаляется от тела. При Я .= Я„р„, безразмерное расстояние от ударной волны до тела обрзщается в бесконечность. Градиент скорости на поверхности тслз убывает с ростом 9, Уменьшение касательной составляющей скорости певязкого потока вне пограничного слоя приводит к уменьшению аэродинамического нагрева летящего тела приблизительно в р' Ъ'~/1~гЬ' раз, где 1гю — градиент скорости на поверхности тела при отсутствии магнитного поля, а У,я — градиент скорости на поверхности тела при наличии магнитного поля Я. Таким образом, использование магнитного поля может пРивести к уменьшению нагрева тела.
БИБЛИОГРАФИЯ' ) Монографии, обворы, сборники 1. А л ь ф в с н Х., Космическая злсктродинаиина, ИЛ, 1952. 2. Баум Р. А., Каплан С. А., Станюкович К. П., Введение в космичесную газотнпамнку, Физматгиз, 1958. 3. Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы, Труды конференции по магнитной гидродинамике. Рига, 1958. Изд. АН Лат.
ССР, 1959. 4. Д а н ж и Дж., Космическая злентродннамика, Госатомиздат, 1961. 5. К а ул и и г Т., Магнитная гидродинаиика, ИЛ, 1959. 6. Л а пдау Л. Д., Лиф щи и Е. М., Элсктродинамика сплошных сред, Гостехиздат, !957. 7, Магнитная гидродипамика (материалы спмпозиуча), перев. с англ., Атамнздат, 1958. 8. П н к с л ь н с р С. Б., Основы космической электродинамики, Физматгиз, 1961.
9. Проблемы современной физики, ИЛ, .'й 2, !954 (сборник переводов). 10. Проблеиы современной физини, И<1, Ай 7, 19о7 (сборник переводои). 11, С и и т ц е р Л., Физика полностью ионизованного газа, ИЛ, 1957. 12. С ы р о в а т с к и й С. И., Магнитная гндроднпамика, УФН, т. 62 (1937), Ай 3. 13. Е!есггогпайпсг!с рвепогпсиа !и созш!са! Рвуз!сз, Ебйеб Ьу В, 1.ейпсг! Сап!Ьг.
Пп!в. Ргезз, 1938. ') В списке литературы приняты следующие сакра ясина названий журналов: ДАН вЂ” Доклады Академии наун; )1<Т<Р— Х<урнал технической фнзнкн; Х<ЭТФ вЂ” )Курпал экспериментальной и теоретической физики; ПММ -- Прикладная математика и механика; УФН вЂ” Успехи физических наук; АЙБ 1ошп. — Агпег!сап йос!ге! 5ос1егу Зон!па); 3А5 — уонгпа! о! Аего-Брасс 5с!евсея; ОНЕйА — ОВсе Канопа! б'Егнбез е! бс йесвегсйез де!опав!!йиез.
240 виплногглеия 14. О е г а а ! и Р., !пггойпс!изп а !'сгпйе йе !'аегоааяпегойупаа!йис, ОЫЕЙА, ркйй 51, 1958. 15. Майлс!о-Ппрй дупла!св. муаров!на 1960, Пею Мв!егп РЬув!св, т. 32 (1960), М 4. 16. ТЬе ааапсгойупаа!св о1 сопйисппя ПиИв, Ейпей Ьу О. Вегвйайег, Вгап!огй ()и!г. Ргевв, 1959. 17. й е в ! е г Е. Е., Б е а г в Чг. )с, ТЬе рговресгв 1ог ааяпе!о-аегойупаа!св, )А5, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
