Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Плотность этой энергии обратно пропорциональ- Рис. 0.24.1. на длине отрезка [х,; хз), на котоРом в Данный момент вРемени нахоДЯтсЯ волны с Й Е [хй хз), где [Й1 — йз) = Ьа мало. Для длины Ьх, см. рис. 0.24.1, выполнено /дх ~ дП''~ Ьх=х,— х,= [ — ~ +~ ~Л/с, [,дй !с=о дй ( где У вЂ” групповая скорость.
Кроме того, плотность энергии пропорционачьна квадрату амплитуды А(х,г) волн, поэтому А(к, 0) "" —,Й~цгг~~(й ~ где дх~ дзм а(/с) = — [, 6(к) = — —. дк ~=о' ' д/сз Глава 5. Механика жидкости и газа 176 24.16 а) Г = с+ й —; и'с Н' /9 с 2) с= ~/ —, 'я' к' 2 1) с = У = х/дЬ; где о — коэффициент поверхностного натяжения, а Вг(я) и Вг(и) — радиусы главных кривизн свободной поверхности. Учи- тывая, что з получаем линеаризованное условие на свободной поверхности: ду( д'~ Р ~ +Рдг =~ г.
д1 ~ д г' Аналогично решению задачи 24.3 получаем дисперсионное урав- нение Р = дй 1+ — Сййй. Р9 Для длинных волн при аг « Р9 аг о влияние поверхностного натяжения мало, а для коротких (капиллярных) волн с 2и л«л.=— и, оно существенно. Для волн на воде: о = 74дн/см, Л„= 1.73см. 24.17 Линеаризованная задача для маяых возмущений отличается от задачи 24.2 только граничными условиями на свободной поверхности.
По формуле Лапласа выполнено 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 24.18 Так как поверхностное натяжение существенно для коротких волн, для упрощения выкладок рассмотрим приближение ЙЬ » 1. Дисперсионное уравнение задачи 24.17 примет вид Ьз ь~~ = дй+ —. Р Отсюда следует д а) с = — + — /с, й р П= — 1+3 — Й~ 1+ — й /рд достигает минимума при й = й,:— ~)' —, б) Фазовая скорость 24.20 а) Проектируя уравнение Эйлера на вертикаль и пренебрегая вертикальной составляющей ускорения, получим др — = — рд, откуда р = ро+ рд(à — л), дя т. е.
распределение давления является гидростатическим. Остальные два уравнения движения запишем в виде (24.2). Уравнение (24.1) получим, интегрируя уравнение Жч н = О по глубине с граничными условиями при л = — Ь и г = ~. д~ дн ди д~ б) — +Ь вЂ” =О; — +д — =О. д1 дх, ' д1 дх Из этих уравнений получим волновые уравнения для о и ~ д~~ Д~~ дзц дзц поэтому скорость распространения волн равна с = ~~/дЕ.
Здесь использованы обозначения о = о1 и х = х . 1 причем с(Ь,) = П(/с,). Для волн на воде дн , см 2я и=74 —, с =23.2 —, Л,= — =1.73см. см сек Й, 24.19 Причиной является дисперсия волн. Картина стационарна только для волн, фаэовая скорость которых с(к) равна скорости потока $'. Согласно решению задачи 24.18 выполнено неравенство с(к) > с = с(/с,). Следовательно, при 1' < с стационарная картина волн невозможна.
Для каждого значения Ъ' > Ъ'. = с имеется два действительных значения й, для которых с(й) = к". Для гравитационной ветви (й < Ь„) выполнено Г < с = Р, а для капилярной — выполнено 17 > Р. Поэтому волновой пакет длинных гравитационных волн находится ниже препятствия, а пакет коротких капиллярных волн — выше него. 1Т8 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.24 Пусть д = М = сопв1. Тогда ,=и+~, 1, =и+~..., = и+з...д.
° = ~~дз+о; Так как 1е — — сопв1 вдоль линий Ых/й = сч., см. задачу 24.23, то а = сопн1 вдоль этих линий, являющихся прямыми и — с~1 = сопвс. Поэтому а = ~д(х — сч.г), ь = гг(х — сч.г), ов = гз(х — сч.с). Функции ~ы 1г и гз можно найти, если, например, в начальный момент заданы Цх) и М. б) Так как ~ = Ях — с+1), то каждое значение ~, не меняясь, переносится в пространстве со скоростью с+. Так как сч. зави- сит от ~, то форма волны со временем меняется: если сч. > О, то участки с д~/дх > О становятся положе, а с д~/дх < Π— круче; на этих участках и возникает опрокидывание. д~ д~ 3 ~ д~ в) — + (ор + ъ/д6) — + —;/д6. — — = О, дс дх 2 6 дх оо = о., ~~=о 24.21 а) Очевидно е = е,(х, ~), ~ = Дх, ~).
Рассмотрим уравнения задачи 24.17 б), добавляя в правую часть уравнения движения силу Е . Исключив скорость, получим неоднородное волновое уравнение для свободной поверхности Дх,1) дг~ дг~ — с' — = АК6 сов(Кх — о.~), сг = д6, дгг дх' Его решение имеет вид ~ = уг(х — сс) + ~г(х+ с1)+ ~р. Функции ~г и 1г находятся из начальных условий. Частное решение будем искать в виде ~к = асов(Кх — И), где а — неизвестная амплитуда. Подставив в уравнение, найдем а = АК6/(с~К~ — ог).
б) Резонанс наступает при 6 = ог/(дКг). 24.22 Аналогия вытекает из совпадения уравнений „мелкой воды" и уравнений движения газа, см. задачи 24.20 и 25.5 б), д(6+ Г)г при замене 6+~ = р и = р. 2 24.23 Уравнения для инвариантов 1 и д+ есть характеристическая форма системы уравнений мелкой воды при 6 = сопв1. Способ их получения описан, например, в 125. 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости Внд прыжка сбоку Внд сверху Рис. 0.24.2. 24.25 Применяя законы сохранения массы и количества движения для малого объема, заштрихованного на рис.
0.24.2, с учетом гидростатнческого закона распределения давления по глубине получим условия на гидравлическом прыжке 111 (нп1 0) 62 (нп2 ) ~) = пг~ 62 61 Н1 (Нп1 Нп2) — У (0.24.1) 2 Нп1 — От2. где нп и н, — проекции скорости на нормаль и касательную к скачку, О = Вв. б) ПУсть и, = О, нп1 = нм нпг = ог.
Исключал нг из Условий (О.24.1), найдем ~62(111 + 6,) 261 Выбор знака и+и обосновывается в пункте в). в) Если в направлена в сторону 1, то при 0 > н1 частицы среды переходят со стороны 1 на сторону 2. Вычислим разность втекающей в скачок и вытекающей из него механической (кинетической и потенциальной) энергии (6г — 61) ЬЕ=рд Так как при прохождении скачка происходит диссипацня механической энергии, то прн 0 > н1 должно быть ЛЕ > О, т.
е. 61 < 62. Это означает, что глубина потока после прохождения скачка возрастает, а скачок по отношению к жидкости движется в сторону меныпей глубины. 180 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.26 а) Искомые уравнения имеют вид д5 д(5и) ди ди 1 дР— + — =О, —,+и — = — — —, д1 дх ' д1 дх 5 дх' где Р = д(6 — х) ~Ь. л Здесь ось х направлена по оси канала, х — вертикально вверх, 6 — глубина потока. Рнс.
0.24.3. б) Аналогия видна при введении обозначений р:= 5, р:= Р. Зависимость р1р) определяется зависимостью РЯ. Для случаев 1) и 2) соответственно получаем, см. рис. 0.24.3, Р ~,з В1,2 ~2 ЗС1йо По Л 2 2В' Зъ' сьп д дР в) с=иж~( —. ~дд г) Волны Римана могут существовать, если форма сечения канала не зависит от х; /а д'Р Зь=и~/ — НЯ, где а=~(, с+=и+а. ./ 5 ' ~(д5' Условие опрокидывания волны, перемещающейся в положительном направлении вдоль оси х, можно записать в виде д2Р дд 2 > О дГ1г дх 1 где Й = —. Я' 181 24.
Волны на поверхности тяжелой жидк<><ти 24.2< Пусть н — горизонтальная скорость жидкости в системе координат, связанной с волной. Из закона сохранения массы следует н дл = — с6. -л +сс +со < о.=р< <*<«,,.<<*=р.< «*; Еяст = < д( их< 2 2,< +ос 2 + б) так как с6 о = — = — с+с — при «, < 6. 6+<, 6 Из интеграла Бернулли 2 2 2 — + д«, — — — — д)<,"+...
= сопя$. 2 2 ~6 следует с = ~т<дЕ, позтому Е„„„= Енс . Для определения профиля волны требуется более тонкое приближение Кортевегаде Вриза, см. задачу 24.31. д2~ д2~ 24.28 а) а< = дбй2, — = д6 —; д~2 дх2' б) а< = Ыс~<<д66, — ~ ~<<д6 — = О. д<, д<, д~ дх 6262 < 6262 < 24<9 ц =<<А (1 — — ), б< =рррьй~< — — ).
3 )' ~ 82' 24.30 Добавить в уравнение, полученное в задаче 24.24 в), члены, учитывающие дисперсию, см. задачу 24.29 б). 132 Глава б. Механика жидкости и газа 24.31 Решение уравнения Кортевега — де Вриза для'формы волны будем искать в виде ~ = 6 И'(~), где с =— х — И, У = сопв1. Для функции И'(с) получаем уравнение 2 — И' + — И"И' — ( — — 1)И' = О, со = ~!д6. 6 „, 3, Ж б 2 со Интегрируя дважды, находим 62 — И" ~ + И'з — 2 ( — — 1) И'~ + 4СИ' + Р = О 3 со — = И" (а — И~), (0.24.2) где а = 2(У/со — 1).
Его точное решение И' = аеесЬ~(у'3а — ). 26 Ясно, что И' имеет максимум в точке, где И'=а, ~=6а=~". Если амплитуда волны ~* задана, то находим а = — и ~ = (*весЬ ф — (х — И) . 6 * ф46з Скорость этой волны У = со(1+ — ) ) со. 26 24,32 При волновом движении введем л = ~1(л,1) + 6~ уравнение свободной поверхности, л = ~з(л,1) — уравнение поверхности раздела. В приближении длинных волн малой амплитуды нз уравнений движения, осредненного по и уравнения неразрывности и гра- где С и Р— постоянные интегрирования. Из условий при х = ~ос находим С = Р = О и уравнение принимает вид 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 183 ничных условий получим: для верхнего слоя 1с индексом 1) дн1 д1",1 дн1 Ж~'~ д~г р, = ро+ ргрк - 2+61). — = -д —, 61 — + — — — = О; д1 дх ' дх д1 д1 для нижнего слоя (с индексом 2) рг = ро+ ргуй — 1,2+ 61) + Ргрй — г), д г Ргдб ( ~М дьг — =-р — — — д~1 — — ! —, д1 рг дх 1.
Рг! дх' днг д~г 6г + =О; Рг>Р1. дх д1 Ищем решение этой линейной системы с постоянными коэффи- циентами в виде га и(/са-~~) е и =Ъ' ец па — а е о= 1,2. Нетривиальное решение существует, если удовлетворено диспер- сионное уравнение с1,2 ~9(61+ 2) ~ ! которое определяет два возможных значения величины скорости распространения волн. Отношение амплитуд внутренней и поверхностной волн равно г, д6, — = 1 — —. У1 с 2 При (рг — р1)/р1 « 1 получаем г У~ 62 с1 д(61 + 62) А 61+ 6г как в однородной жидкости; эта пара волн распространяется в разные стороны с малой по величине скоростью и большой амплитудой на внутренней гра- нице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
