Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 24
Текст из файла (страница 24)
184 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.33 Пусть г = 0 -- положение невозмущенной поверхности разрыва, У = п1 — п2 — относительная скорость слоев. Направим ось я вдоль У, тогда в системе координат, движущейся со скоростью п2 выполнено п1 —— 17е, п2 — — О. Для возмущений потенциалов скоростей 1Р (я, 2,1) и поверхности разрыва 1,(я,1) получаем линейную задачу Лд.=О, — =О, дф~ дг д~ д~ д1Р1 д~ дд22 д1 дя дг,=о д1 дг .=о / д1Р1 дд21 '1 д~р~ д2~ ~ — + 17 — ~ + Р1 дГ = р — + Р К вЂ” о —.
(,д1 д,),, а,, д*' Дисперсионное уравнение, отвечающее этой задаче, имеет вид ы1 2 — — х )~Е(й), к > О, р1ИУ 7— Р1 + Р2 (Р2 — Р1)дь Р1Р2А 77 + Р1 + Р2 (Р1 + Р2) Р1 + Р2 При р2 > р1 и 4 49 о(Р2 — Р1)(Р1+ Р2) 4 17 > 2 2 кв Р1Р2 тангенциальный разрыв неустойчив (недстойчиеость КельеинаГельмгольца), так как выполнено неравенсгво 7те11 > 0 для к Е (к1, к2), где к1 и 1с2 — ненулевые корни уравнения Г(к) = О.
Наибольшую скорость роста имеют возмущения, для которых к = к„, где к„— больший корень уравнения ИГ/Ик = О. 24.34 а) Уравнения движения жидкости таковы: й~~ 1 др — = — — — — 2й о, +2й,о, 1Ы рдя 1др — — — 2й,о + 2й о„ р д пп, 1 др ' = — — — — д — 2й пк+2йхп . Й рдг Для Земли 2(й х и], « д, так как й = 7 10 ~ сек 1. 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 185 Ин 1 др — = — — — + ~ю„, й рдх 1др = — — — — 1о, р ду 1 др д параметр Кориолиса, ~р — географи- й~я й Но, сй где г' = 2Й, = 2И егп ~р— ческая широта места.
24.35 В предположениях теории мелкой воды, для волн малой амплитуды, из уравнений задачи 24.34 получаем д~ /до до '1 до д( дол дС вЂ” +61 — + ") =О, * — )о„+д — =О, "+(о +д — =О. д1 1,дх дУг) ' д1 " дх ' д1 дд а) Рассмотрим частное решение этой системы, положив пя = О: д~ до, до, д~ д~ — +6 =О, +д — =О, Хо +д — =О. д1 дх ' дг дх ' ' ду Первые два уравнения сводятся к волновым и имеют решение с(Р1 Р1 — 1 г Рг) ~ = Р1(у) Р1(х — с1) + Рг(у) Рг(х+ с1), о~ = 6 где с = д6; Р1 и Гг — произвольные функции, а Р1 и Рг опре- деляются из уравнения — +~с — Р1+ — — ~с — Ег =О, следующего из последнего уравнения системы. Учитывал произ- вольность функций Р1 и Гг, имеем о 1 Р1 оР2 Рг — =-У вЂ”, ду с Иу с Следовательно, .Ь Ля ~ = АЕ с Р1(Х вЂ” С1) + ВЕ Гг(Х+ С1). б) Для движений, близких к горизонтальным, в первых двух уравнениях движения членами, содержащими о„пренебрегаем по сравнению с н и н„.
Приближенная система уравнений имеет вид 186 Глава 5. Механика жидкости и газа В Северном полушарии / > 0 и из условия затухания ~ при (у( — + оо имеем В = 0 при у > О, А = 0 при у < О. Полученное решение называется волной Кельвина, с = и/д6 6— ее скорость, //с = (2Й вш д)/,„/д6 6— коэффициент затухания амплитуды волны при удалении от границы влево (в Северном полушарии) по движению. б) Пусть о„ф О. В силу линейности задачи, ~, о, оя представимы в виде суперпозиции вопи вида ехр(й х + йпу — ио1) с неизвестными амплитудами. Дисперсионное уравнение имеет вид ы' — д6(6' + 6') — /~ = О.
Из него следует, что для заданных действительных м и 6 имеется два корня 6„= 6„(ы, 6к), о = 1, 2 (которые соответствуют двум волнам), причем из условия затухания решения при ~у~ — ~ оо зти корни должны быть чисто мнимыми. Для ип(х, у, 1) имеем г оя — — ~~ С ехр(й х — 1т йп,„у — иЛ), а=1 где 1т й„п > О, 1т йпз < О, ф— кон~танты, ок — ~ 0 при (у( — ~ оо, оя — — 0 при у = О. Отсюда Сп = Сз — — 0 и о„— : О. 24.36 При о, = 0 имеем до доя 4 /дия до 'и И(2й вшу) — + — ~=0, — ( —" — — )+)Зо„=О, Д= дх ду ' й (, дх ду / " ' ду Здесь второе уравнение получено в результате исключения давления из уравнений задачи 24.31. Решение этих уравнений будем искать в виде и = иве'(ь О, где ио — постоЯнный вектоР.
Тогда = ио —— сопв1, о„= оо е' й™, йм — ио6~ + Д = О, фазовая скорость: с = ю/й = ио — Д/6з; групповая скорость: 11 = 4и/Ий = 2Д/йз. В частности.ио — — О, с = †)1/йз. В Северном полушарии выполнено Д > 0 и эта монохроматическая волна распространяется на Запад, а волновой пакет — на Восток, ~с~ мал из-за малости Й. Наблюдаемые в природе волны имеют Л 300 — 400 км и, следовательно, с 3 — 5 м/сек. 25. Механика сжимаемой жидкости 187 25. Механика сжимаемой жидкости 25.1 а) В систему уравнений входят: уравнение неразрывности пр — +р йч и= О, ~й (0.25.1) уравнение движения е(и 1 1 $" — = .г' — — Беата р+ — Ч тое;, Й р р уравнение энергии г ) 1 .
1 '3 еИ й 2 / р р ~ ' пе' — — и +и = (яе и) — — Йч(ри)+ — '(~у(т"о;)+ —, (0.25.3) уравнение энтропии ов Нд 1 Т вЂ” = — + — т"е тое > О и'е и'е 0~ б (0.25.4) р определяющие уравнения (0.25.2) и = и(р, Т), (0.25.Б) (0.25.6) р=р(р Т) тмг = то(еы, Т), ен = О.Б (~5ьо! + ~(7~оь). (0.25.7) Здесь г' — плотность массовых сил; т" и ен — компоненты тензоров вязких напряжений и скоростей деформации; Ид/Й— приток тепла к единице массы в единицу времени.
При заданных Г и Йу(й эта система замкнута. Вместо уравнения энергии (0.25.3) часто используют равносильное ему уравнение притока тепла Ыи е(д 1; р Ир — = — + — тг)е,; + — —, (0.25.8) (1 (1 р *' рг (1' а вместо уравнения для энтропии (0.25.4) — его комбинацию с уравнением (0.25.8) — тождество Гиббса Нв и'и р ор Т вЂ” = — — — —, (0.25.9) ,(1 ,(1 рг,(1' откуда при заданных и(р, Т) и р(р, Т) можно найти л = в(р, Т).
Глава 5. Механика жидкости и газа 188 б) В этом случае, см. гл. 3, Ид лг т" = Лс)1чиу" +2рео, ги = У, — = — ЬТ, дг р и = счТ+ сопвг, р = КРТ, где Л и р — коэффициенты вязкости; х — коэффициент теплопроводности; сч = сопег, Л = сопе$; у — ускорение силы тяжести. Система уравнений имеет вид Ир — +р г11чв= О, Й дп 1 и — = у — — игах) р + — кгаг) 1йч в) + ивов, дг р 3 ЙТ р г1р 1;, лг с„— = — — + — т"е,. + — ЬТ, 'дг рз 11 р л = се 1и ~ — (+сопвг = сч 1и ~ — (+сопег, ~р-( РУ где и = р/р — кинематический коэффициет вязкости; у = се/с„ — показатель адиабаты; се = Л+ с„.
25.2 а) Запишем уравнение притока тепла, используя уравнение неразрывности и уравнение состояния р = ЛРТ, в виде дТ;дТ, 1; х с„— = — счо' —. — КТ Йч в+ — т" е;; + — ЬТ. дг дх' 1,; дТ вЂ” т"е„« с„о' — т"е; « ~ЙТ Йчи~, Р 1 „дТ вЂ” тое « с Р дг (0.25.10) Притоком тепла за счет теплопроводности можно пренебречь, Работой вязких напряжений можно пренебречь, если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств 25.
Механика сжимаемой жидкости 189 если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств Х ,дТ вЂ” ЬТ «ско' —. Р дяе — ое~«~вто Р (0.25.11) М дт — ЬТ (( с„— Р дс Введем характерный линейный масштаб рассматриваемого движения ( — расстояние, на котором параметры потока меняются на величину порядка их самих, и характерное время т— время, за которое параметры потока в данной точке постранства меняются на величину порядка их самих. Типичные значения скорости, давления, плотности и температуры будем обозначать о, р, Р и Т. Тогда дТ Т дТ Т вЂ” — — и так далее. дя' 1' д( т Неравенства (0.25.10) принимают вид но~ КТн — « —, р но~ скТ вЂ” « 12 т ио сеТи — « Р 1 Первые два неравенства выполняются или не выполняются одновременно, так как ск Л, и могут быть записаны в виде Не»М .
(0.25.12) Здесь Ро, Ро и Яо — значениЯ паРаметРов в данной частице в некотором состоянии. Дифференцируя эту зависимость по р при н = сопв1, получим формулу для а~. Здесь Не = И/г — число Рейнольдса; М = о/а — число Маха; ах = (др(др), = "~КТ; а — скорость звука. Выражение для аз для совершенного газа получается следу.- ющим образом.
Уравнение состояния р = ВРТ можно, используя выражение для энтропии совершенного газа, см. задачу 25.1 б), переписать в виде 190 Рвана 5. Механика жидкости и газа Последнее неравенство группы (О. 25. 10) для установившихся движений, когда т = оз, не выполнено, а для неустановившихся — выполнено, если Йе Йе т « — — или 51 « —, о Мз Мз' Ре» 1, где Ре = ср1рв/и — число Пекле. Последнее неравенство группы (0.25.11) выполнено, если 51 « Ре. б) Численные оценки для движения вне пограничного слоя: а 340 м/с, М 0.3, Ре 5 ° 107.
Йе 7 ° 107, В зтом случае уравнение притока тепла можно записать в виде Ни р Ир ~Ь вЂ” = ( — ) — или — = О. а рз а 51 25.3 Сила тяжести входит только в проекцию уравнения движения на вертикаль: до, дц, дц, дц, до, 1 др — = — + си — + о„— + н, — = — д — — —. п1 д1 ' дх " ду ' дх р дх' Здесь ось г направлена вертикально вверх. Если характерный линейный масштаб 1 и характерная скорость о для всех направлений одинаковы, то 2 2 — — — + — = — 1+— и'1 й 1 т 1 ~, 51/ ' где 51 = си/1 — число Струхаля. Из уравнения движения в проекции на горизонталь получаем где 51 = ь и/1 — число Струхаля.
Первые два неравенства группы (0.25.11) также выполняются или не выполняются одновременно и дают 25. Механика сжимаемой жидкости Величиной д можно пренебречь, если иг Г' 1'~ сг 1 д (( — ~ 1+ — ), т. е. (Гг) = — >> 51) ' д! 1+ 1/51' где гг = и/~/д! — число Фруда, Например, если движение установившееся, т. е. т = оо и 1/51= О, и пусть и ° 100 м/с, ! 10 м, тогда д!/иг 10 з. 25.4 В этом случае удобно рассматривать в качестве термодинамических параметров со~таяния не р и Т, а р и а, так как в каждой частице а = сопа1. В частности, уравнение состояния записывают в виде Р = Р(р, а) или а = а(р, р).
Система уравнений газовой динамики имеет вид: Нр . ап 1 Иа!Р, р) — + р г))ч п = О, — = — — 5гаг)Р, ' = О. аг р ' 1г 25.5 а) Эти выражения имеют вид, см. задачу 15.2, и = — — + сопя!а а = ск !и ! — ( + сопИ, 7 1Р Р г = и+ — = сеТ+ сопяФ = — + сопа$, а Р, 7 Р г 1Р у — 1Р б) Система уравнений Ир, Ип 1 И /р'1 — + рг!'пап = О, — = — — раг)р, — ~ — ! = О. й г)! р ' а0)~р / Эту систему иногда записывают в другом виде, считая искомыми функциями давление р и энтропию ж Учитывая, что е)р = аЧР в силу условия Иа/ггг = О, получаем )р г . Ип 1 йа — +а рг!)ив= О, — = — — 5гас)р, — =О, !1 ' й р 1 а = т —, р = Ср'~ест, С = роро е 'е = сопаФ.
Р Глава 5. Механика жидкости и газа 192 Глв = о;ах'. ь Пусть Ь -- линия, проходящая все время через одни и те же частицы жидкости. Вычислим изменение Г.4в со временем. Введем на линии Е лагранжеву координату С. Тогда запишем дх' о, = га(С,1), Их' = — Ы~, и выражение для циркуляции Глв имеет вид дх' Глв = о — сК ' д~ где сл, св = сопвС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
