Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если (и( > 2ао/(т — 1), то поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум, скорость газа на границе с вакуумом равна по величине 2ао/(т — 1) (скорость нестационарного истечения в вакуум). Она вычисляется из условия р = О на границе с вакуумом. Глава 5. Механика жидкости в гвза Граница х! определяется из одного из условий 2ао и(х,!) = ип пока !ип~ ( у — ! 2ао р(хц !) = О при (и!) > т ! или 2ао (7+1)л' Для этой задачи можно построить решение, содержащее разры- вы скорости и давления — — ударные волны.
25.32 а) В результате движения поршня в газе возникает простая волна разрежения, примыкающая к поршню. Пусть поршень движется вправо от плоскости х = О, а влево со скоростью звука ао =,„l~ро/ро движется граница волны разрежения, представляющая собой с.пабый разрыв. Тогда распределение скорости газа в простой волне выража; ется через давление р, см. задачу 25.30, по формуле 25.31 Формально решение можно строить так же, как в задаче 25.30. Получается волна, в которой давление и плотность в частицах газа возрастают (волна сжатия). Однако, по- (п "'о р стает с ростом 1, то характеристики Ь+, выходящие из точек Рнс. 0.25.7. траектории поршня, пересекаются.
Это приводит к неоднозначности скорости и давления, следовательно, начиная с момента первого пересечения характеристик Ь+, это решение непригодно. При и(г) = Л! момент первого пересечения характеристик Ь+ равен 215 2Гь Механика сжимаемой жидкости Используя это соотношение на поверхности поршня, составим уравнение движения 27 топ(1) = лрп = эре 1 оп(1)( 3-1 2ао У Интегрируя, получим 2ао 1 / (у+ 1)ро5' Л т+1 у — 1 ~ (, 2тао При т -+ 0 (или 1-+ оо), о„-+ 2ао/( у — 1). б) Если у -+ оо, формально условие адиабатичности — !п — = 0 переходит в уравнение ар — = О. й При этом в пределе о„= О, т.
е. происходит мгновенный сброс давления, а поршень остается на месте. 25.33 а) Закон движения газа имеет вид х = а(1)~, а(0) =1, А = —, а = ", 1= х„(0) = а х„(1) т а' 1 ' " Яро' Из уравнений адиабатического движения газа в лагранжевой форме получим роа(1)~+ — = О, р = —, р = др Ро Ро(с) д~ ' а ач Здесь у — показатель адиабаты. Разделив переменные ~ и 1, приходим к уравнению ааз = Л = сопя$ > О, Ро(1) = -Лбо.
Отсюда следует, что а' Л оз(оо) 2 (у — 1)ач ~ 21з Вычисление сохраняющейся полной энергии системы при 1 — у оо дает т 216 Глава б. Механика жидкости в газа при этом в силу а -! оо внутренняя энергия газа стремится к нулю. Тогда Л— и„(оо) (7 — 1) Ео(7 — 1) 21з (т+ тд/3)1з ! С учетом равенств Ео —— о )'ро(х)(7 — 1) !!1х н ро — — /(х)ро найдем о (7 — 1)Ео т+ 0.5тл(1 — хз/1г) Я т+ тл/3 б) В этом случае р = ро(С)/а(!), остальные соотношения те же, что и в пункте а), т Ео(-« — 1) т+ Ач' (т+ А4)1з' ( —,—,' )м(-ф' ) Ро— При о -+ 1 ро -+ (7 — 1) Ео/Я и «« — > 1. В начальный момент почти весь газ сосредоточен вблизи х = О, а его энергия распределена равномерно от х = О до х = 1.
25.34 а) Из условий на ударной волне при заданных ро, ро перед волной и о = и за волной можно найти р«, р! н скорость волны й. В частности 7(.« + 1)иг „ц (7 ! 1)зиз + 2 + + Ро 4ао ао 0 = и+ из+аз 4 16 б) Для разности значений энтропий за и перед ударной волной справедливо равенство в! — во = сц !и Обозначим р«/ро —— ! > 1. Уравнение адиабаты Гюгонио, см. задачу 18.11, дает ро 7+ 1+ (7 1)! р 7 — 1+ (7+ 1)!' 25.
Механика сжимаемой жидкости тогда Р1 ро (7 + 1) + (7 1)1 Ро р1 (7 + 1)1 + (7 1) поэтому л1 — ло > О при рг > ро. Для эволюционности ударной волны необходимо, чтобы число Жу характеристик, уходящих от нее, было равно 2, потому что число условий на ударной волне равно 3 (условия сохранения потоков массы, импульса и энергии). Имеется три семейства характеристик с каждой стороны ударной волны; их скорости равны ао, — ао, О впереди волны и и+ аы и — аы и — позади. Из условия сохранения массы р1(Р— и) = роР > О следует, что Р > и > и — а„т.
е. характеристики дх/а1 = и и Нх/й = и — а1 уходят от волны. Тогда все остальные характеристики должны приходить на нее, т. е. условия эволюционности (25.1) принимают вид — ао < О < ао < Р, и — а1 < и < Р < и+ а1. Первое неравенство удовлетворяется в силу формулы для Р из пункта а), а второе (с учетом ро < р1) — в силу формулы )г г 7 1+ (7+ 1)ро/Р1 (Р— о1) = а, 27 которая может быть выведена из условий на ударной волне.
в) В этом случае р1/ро < 1 и неравенства пункта б) не выполнены, см. также задачу 15.16. 25.35 а) В силу сферической симметрии. верны равенства од = о„= О, о, = о(г,г), р= р(г,1) и р= р(г,1) для компонент вектора скорости, давления и плотности газа соответственно. Только компонента а„не равна нулю и система уравнений принимает вид др д(ро) 2 — + + — ро = О, д1 дг г 218 Глава 8. Мгханика жидкости и газа б) Пусть т = 4х ~р(гы1)г1 дгь о Тогда, рассматривая г как функцию т и 1, получим дг 1 Р= дя ' 4хг' дг(д1п' Искомые уравнения будут иметь вид — + 4хг — = О, — = Дт).
до з др р д1 дт ' рз в) Уравнение энергии принимает форму — — + [+ — (4хг ро) = О. д1 2 (у — 1)р дт г) Пусть г = Н(1) — закон движения разрыва. В терминах массы этот закон имеет вид т = М(1), причем Л(1) = г(М(г), 1). Радиальная скорость движения разрыва 0 = й(1). Для скачка потока массы [р(о — В)] имеем [р(ц — В)] =, о — о — — М = — — — = О. Условия сохранения импульса и энергии дают [р(~ — В) + р] = [ — Мп+ 4~й~р] = О, р(о — Р) — + + ро иа.
Механика < жнмаемой жндкоетя 219 25.36 а) Используя П- теорему, можно записать закон движе- нпя в виде 1 1 ~Ео Роз й та г = г1(т, О), На ударной волне выполнено Ео Ро г г1=1, т=таЯ, М гг~ т и=— Функция / равна Ео/г (7) ч-г тро дЕ , дЕ и р = — 4я ггри, — = — + дг ' дт, 2 (у — 1)р В силу условия на ударной волне, связанного с сохранением энергии, см. задачу 25.35 г), и отсутствия перед ударной волной скорости газа и давления выполнено Е(М(с),1) = О. В соответствии с постановкой задачи 11п1 Е(М.1) = Ге, ~-++о следовательно, Г(М,1) = Ен.
Согласно теории размерности выполнено Е(т,1) = ЕеЕ|(т), причем Е1(т,) = 1. Дифференцируя это соотношение по т и 1, исключал производную Е,'(т) и используя выражения для произ- водных дЕ/д1 и дЕ/дт,, получим /иг р '~ 10п т — + ) = — г~ри1. (у — 1)р/ 3 в) Вычисляя плотность и скорость через закон движения среды г(т, 1), см. пункт а), получим 1 1 4я.
т гз(1 — 5и/2) Тогда интеграл энергии, см. пункт б), дает уравнение для гг(т) 1 ( 3 ') з, /г(5уи/2 — 1) 2 1,4н/ (у — 1)г' 1~ 1(1 — 5и/2) ' 220 Глава 5. Механика жидкости и газа которое интегрируется с использованием параметра и. Из условий на ударной волне, см. задачу 25.35 г), можно вывести соот- ношения 7+1 о8 Рв — = (.-ц..' откуда определяются значения 5(у+1) 57' 5 ' 2 4н 7+1 т, Величину т, можно найти из интегрального уравнения энер- гии Е(М, ~) = Ео, см.
пункт б), которое имеет вид г е, Уравнение для г~ допускает степенное решение вида 2 г1 = сопел. тзч — ' при значении и = 37 — 1 которое совпадает с и, = 4/(5(7+ 1)) при,7 = 7. Этот случай исследуется особо. Если 7 у- '7, решение представляется в параметрической форме. При 7 у'= 2 2/1( )з( 1) 2 2 / При 7=2 г 4 <р = ела-з, и 5и — 1 ' ' 15 Из монотонности функции у(и) следует, что 2 4 если 1 < 7 < 7, то и е ( —; 57' 5(7+ 1) 4 2х если 7 > 7, то и Е ~5(7+ 1)' 5 При 7 > 7 асимптотика решения при т '-+ 0 (т -+ оо) в силу и = 04 имеет вид с=сопв1, Р7а > 0;если 7< 7,тон=04/7и 25. Механика сжимаемой жидкости 221 г — сопн1 Р~ьттттгт Нтз'т -+ О. Таким образом, при 7 > 7 имеется расширяющаяся полость.
г) Если7=7,то 1 и = —, гт = —, т'т = б "=,',(-'.)' "=(".';:)"' т = — — — тп4. Й 25.37 а) Из уравнений движения газа в лагранжевой форме, см. решение задачи 25.35 б), дзх др / дх 'т + =О, р=т'(тп)р~, р= [] а дш ' ' ] дш,] где 7 — показатель адиабаты, следует, что 1 С от(тп)(т + т~) (т' + тт)~ ~)р где С вЂ” постоянная. б) Из условий на разрыве в лагранжевых координатах, см. ре- шение задачи 25.35 г), [о — р1',(т)] = — + — ри1',(тп) = О, — [2 ( -1)р получим два уравнения для функций о и 1, С1', 02 Со/ =О, 1~= —, (1~ + 1т) 2 (7 1)(1а + 1т)т ор решая которые, найдем о ч-т ~ з 3(7 1)1 ЛХ Начальное распределение массы определяется из условия [х] = О х = о(то)(1,(тп)+1~) — 1=1 1 —— 222 1'лава 5.
Механика жидкости и газа или з(~-11 — =1 — 1+— откуда находится 4у — 2 йп 3(-» — 1) М / х'1 .У41 Ро(У) = — = )х1+ ) -~.—,+1 1~ 1) в) Распределение плотности энергии в расчете на единицу массы имеет вид г 4 При 1 -+ оо плотность внутренней энергии почти всюду пренебрежимо мала и равна плотности кинетической энергии только на ударной волне. Плотность кинетической энергии н2/2, в свою очередь, стремится к бесконечности при 1-+ сю и т -+ М. Полная энергия, сообщаемая газу, равна (3/2)Мо2 и полностью переходит в кинетическую энергию газа.
Скорость ударной волны Р = й,(») = н„11+ — ) ~+1 Г И 2 2 ~, 1~ ) скачок температуры (Т] = —" 1+— где с~ — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. 25.33 а) В силу условия отсутствия давления на границах слоя начальное давление газа всюду равно нулю. Пусть ро и 1о — начальные плотность и толщина слоя.
На первом этапе данная задача эквивалентна задаче о вдвигании поршня в газ с постоянной скоростью ( — во) (задача 25.34). В момент удара (1 = 0) в газе возникает ударная волна, которая проходит слой с постоянной скоростью Р. В области между стенкой и ударной волной газ покоится. Его плотность р2 и давление р1 постоянны и определяются, вместе с Р, из условий на ударной волне, связанных с сохранением масс~ы, импульса и энергии э+1 1+1 , т — 1 Р1= Ро Р2 = Ро~о Р= ~о. 'у — 1 2 ' 2 25. Механика сжимаемой жидкости 223 з-т т+1 (а~(1 — 11) ты у — 1 1, 2а111 — 11) хс = — 11 1+ Сравнивая с получим хс > хь. б) В рамках линейной теории упругости процессы нагрузки и разгрузки при ударе упругой пластины обратимы.
Распределения скорости и напряжений кусочно постоянны. Разрывы распространяются со скростью продольных волн. После удара вблизи стенки образуется область напряженного состояния На втором этапе, после выхода ударной волны на свободную поверхность слоя в момент 11 = 21о/(~+ 1)оо, возникает простая волна разрежения 1волна Римана), связанная с истечением газа в вакуум 1задача 25.30). Свободная поверхность начинает двигаться в противоположном направлении в силу сохранения соответствующего инварианта Римана со скоростью оь 2 ~~В ~Ь вЂ” 1) нь= — аы а1= 1 — = оо у — 1 ' 11 р1 2 На третьем этапе в момент 1г —— 11+11/аы где 11 — — 1о( 1 — 1)/('у+1), волна разрежеия отражается от стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
