Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Следовательно, существует момент времени 1„такой, что при ! > 1, распределение р по х станем неоднозначным. Этот эффект называется опрокидыванием простой волны. 26.26 1) Опрокидывания простой волны не произойдет, если, например, в начальный момент времени др/дх > О на отрезке а < х < о, а вне его давление постоянно. (др1 — > О. /'~р) ',дх/с=о 3) Можно, так как д1/+ $'4 д'р др йх + обращен в, сторону 26.28 В газах, у которых >О, —, >О, в неопрокидывающейся простой волне температура частицы убывает, а ее удельный объем увеличивается.
26.27 В простой волне, фронт которой области х > О, выполняются неравенства ир аи пр а) — <О, — <О; й! ' й! б) — > О, Й а в простой волне, фронт которой обращен ор и'и сфр а) — <О, — >О; б) — > О, и'! ' й! в'! и'и — >О, Й в область х < О: ди — < О.
й! 248 Глава 5. Механика жидкости н газа 26.29 Граница между областями 1 и 2 должна быть поверхностью слабого разрыва, т. е. характеристической поверхностью семейства С+ (или семейства С ). На ней должны быть постоянны и непрерывны и, р и в, а следовательно, и оба инварианта Римана 1+ и 1 . Поэтому в области 2 иньариант,У (инвариант э'+) и энтропия будут иметь постоянное и одинаковое значение на соответствующих характеристиках. 26.30 а) и, р и в — константы. / 'г' б) и~ / — Ыр= сопв1, в = сопв1, х = (и~а)1.
а Искомое частное решение должно содержаться в частных решениях, найденных в задаче 26.21, так как из и = и(п), р = р(п) следует, что и = и(р). Зависимость и и р от х и 1 будет иметь искомый вид в тех случаях, когда произвольные функции 1(р) и ~р(р) в решении задачи 26.21 равны нулю. 26.31 Уравнения имеют вид ир — > О, и(0) — ио — — гоо', 0и ир — с О, и(0) — ио = гао, и'и 2 где г= 7 1 26.32 Для рассматриваемой центрированной волны 2а х 2ао и.
— = 1о . и+ а = —, 1о — — ио — = сопвФ, 7 1 1' а уравнение С вЂ” характеристик: Их/й = и — а. Из указанных соотношений следует, что с Ых 'и х х = (1 2«) + 2«эо и = (1 — «) + «1о . а,)— С Проинтегрировав эти уравнения, получим уравнения С -характеристик и закон движения частиц соответственно: х = 1о 8 + с~8 , х = эо 8 + сз8 где « = (у — 1)/(у+1); сп и сз — константы; ио — скорость газа; ао — скорость звука перед фронтом волны. 249 26. Газовая динамика 26.33 Для совершенного газа частное решение системы (29. 9), соответствующее простой волне, фронт которой обращен в сторону области х > О, см. задачу 26.21, имеет вид и — 2о = с,.
л = сг, х = (и + а)1+ Яр). (А) у — 1 Чтобы построить решение рассматриваемой задачи, надо по заданным условиям определить произвольные постоянные сы сг и функцию г(р). Определим сначала сг и сг. На фронте простой волны и, р, л непрерывны, а перед ее фронтом, в покоящемся газе, и = О, р = ро, л = ло. Следовательно, согласно (А), 2ао ел =— и сг — — ло.
Учитывая, что 7 1 и, согласно (А), а, = ао + и, представим соотношения (А) в 2 иной форме р / у — 1и1ч л / 7+1 — = ~1+, — ), я=во, т= (ао+ и)~1+Пр). ро ( 2 ао) (, 2 ) (в) Функцию ((р) определим по известному закону движения поршня, имея в виду, что на нем должно выполняться граничное условие и = Х(1). Предварительно отметим, что на каждой уходящей от поршня звуконой волне С+ скорость газа и давление остаются постоянными. Каждому значению и, а также р, можно поставить в соответствие парамерт т — момент времени, в который соответствующая звуковая волна С+ уходит от поршня. Очевидно, что соответствие между и и т, а также между р и т, будет взаимно однозначным, если при 1 > О производная Х(1) не меняет знака.
Полагая в третьем соотношении в (В) 1 = т, х = Х(т), и = Х(т), определим ~(р) как функцию параметра т г'(р(т)) = Х(т) — ао + Х(т) т. 'у+ 1 !'лава б. Механика жидкости н газа 250 Решение задачи в области Х(!) < х < ао! представляется в па- раметрическом виде 2Х у — 1. и = Х(т), р=ро 1+ Х(т)), в= во 2ао х = Х (т) + ао + Х(т) (! — т), т > О, 'у+ 1 авобластих >ао! — ввиде: и=О,р=ро,в=во Согласно решению задачи максимальное по модулю значение скорости газа в простой волне достигается'при р — у 0 и равно и(0) = — 2ао/(у — 1). Следовательно, поршень не оторвется от газа и вакуум вблизи него не образуется, если при всех ! > 0 выполняется неравенство Х(!) > — 2ао/(у — 1).
Если же, начиная с момента времени 1ы выполнено Х(!) < — 2ао/(у — 1), то образуется зона вакуума. Ее границы определяются неравенствами Х(!) < х < Х(!!) — 2ао у — 1' а границы простой волны в этом случае — неравенством Х(!1) — 2ае < х < ао! у — 1--"- т+! < дх'т .у+ 1- 7 1 — Х(т)(! — т) — Х(т) — ао, дт)с 2 2 1+ Х(.) (А) Из соотношений (А) следует, что на поршне, при ! = т, для каждого р Е (О, ро) н соответствующего ему значения т производная (дх/дт) ! отрицательна.
26.34 Чтобы ответить на поставленные вопросы, надо изучить, как и в задаче 26.25, поведение поизводных ди/дх и др/дх со временем при фиксированном р. В рассматриваемом случае, см. решение задачи 26.33, р = р(т), а производные ди/дх и др/дх, как функции ! и параметра т, определяются следующими соотношениями 251 26. Газовая динамика (у — 1)Х(т) + 2ае 1(г) = т+— (э + 1)Х (т) х(т) = Х(т) + ао + Х(т)( (1(г) — г). 2+1 . Время 1, п место х„образования ударной волны определяют- ся из условия 1„= ппп1(г). т Вычисления значений 1„и х„при 1~+1 Х(1) =Ь и Ь>О п+ 1 дают следующий результат: 2ао х* = ао1.. (у+ 1)Ь' При и =1: а("~+ 1) + у — 1 „2(п — 1)ао "'"""' '= (.-1)Ь+1) " '""=.И+1)+, 1 2ао((2 у + 1) и — 1)1, (.+ 1Н.Ь+ 1)+у- 1)' Если Х(1) < О, то неравенство (дх/дт1, < О выполняется и при ~ > т. Это значит, что при Х(1) < О производные ди/дх и др/дх будут при каждом фиксированном р Е (О., ро) монотонно убывать, стремясь к нулю с ростом 1, и опрокидывания простой волны не произойдет.
Если же Х(1) > О, то при некотором 1 > т производная (дх/дг)о обращаясь в нуль, изменит свой знак, а производные ди/дх и др/дх при этом. согласно (А). изменят свой знак, обращаясь в бесконечность. Иными словами, если Х(1) > О, то произойдет опрокидывание простой волны. Совокупность значений 1 и х, при которых ди/дх и др/дх обращаются в бесконечность, образует в плоскости (х; 1) кривую 1 = 1(т), х = Ыт), где Глава 5.
Механика жидкости и газа 252 и=О, р=ро, л=ло. 2+1 В области (ао — оо) г < х < аог: 2 р у — 1 т-1 2ао х, и= — + —, — оо< .~+ 1 у+1 В области Х(с) < х < (ао — оо) г: 2 л= во и < О. 2т и = Х(т), — = 1+ Х(т) ро, 2оо х = Х(т)+ ао+ Х(т) (1 — т), т > О.
т+1 2 л = ло, 26.36 Решение задачи должно зависеть от х и 1 и постоянных ро, К>, Гало, Н и т, входящих в начальные и граничные условия и соотношения, определяющие термодинамические свойства среды. Из х, 1 и перечисленных постоянных можно образовать только одну независимую безразмерную переменную и = х/61, где постоянная 6 имеет размерность скорости.
Следовательно, движение будет автомодельным. Возможны следующие случаи. а) Уо > Π— в газе образуется ударная волна, б) Уо < Π— — в газе образуется центрированная волна; 2ао при Уо = — центрированная волна примыкает к поршню; 7 1 2ао при Уо < — поршень отрывается от газа. -~ — 1 В последнем случае между поршнем и задним фронтом центрированной волны, где р = О, образуется вакуум. 26.35 В этом случае в газе образуется простая волна, головная часть которой будет центрированной волной. Можно также сказать, что в газе образуются две волны — центрированная волна и примыкающая к ней простая волна. Решение имеет вид В области х > ао1: 253 2Г1. Разовая динамика 26.37 Г увеличивается (уменьшается) с увеличением (уменьшением) Ц1 (илн Ро, нли у).
Р' увеличивается (уменьшается), если ко уменьшается (увеличивается). 26.38 а) Го больше в газе, у которого 1то больше. б) Во больше в газе, у которого 7 меньше. 26.40 Ограничения на начальные данные таковы: а) 002(1то 1) < оу(иог и01) < Аъ'о~~ б) оо1(по — 1) < от(иог — ио1) < Въ~ом, (1 — тс) тпах(1Л, В) В) и02 — и01 ~/1+ тс Здесь о — 1 В = аог о и.'+ х 7 1 тт = 7+1' по — 1 .4 = ао1 ~т~т~ + тт Р02 1то= —, 27о=у — 1, Р01 26.41 Ограничения на начальные данные таковы: с а а02 а) ао!+ а02 > то(и01 и02) > 001(1 по) ао1 ' б) пот+ аог > уо(ио1 — иог) > ао1 — аог, и 002 00 = ао1 у — 1 о = 27 Р02 в) 7о(и01 — и02) > а01 + а02 по = Рот 26.39 а) Решение задачи должно зависеть от х и 1 и постоянных й, У, ио„ро; и ~о„1 = 1,2.
Из х, 1 и пеРечисленных постоЯнных можно образовать только одну независимую безразмерную переменную ц = х/61, где постоянная 11 имеет размерность скорости. Следовательно, движение будет автомодельным. б) Могут образовываться следующие комбинации 1) й К й+: 2) й К'т'+: 3) У К й+; 4) У КУ+. Возможны частные случаи: й й+: й О й+; й У+; У й+; У 1'+. 254 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.42 Из начальных условий для р и и следует, что в газе должна образоваться волна Н и волна У+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
