Главная » Просмотр файлов » Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения

Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 35

Файл №1119115 Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах) 35 страницаМеханика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115) страница 352019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Равенство напряжений в сечениях х и (х — <1х) дает уравнение (а — рь< х <1я)Ь Ь вЂ” <1Ь 2 2 Отсюда получаем Ь(я) = Ьое й и 28.33 Компоненты тензора деформаций: р< — ррз р2 — «р< ь (р< + ря) е<< = , язз = , сзз =— Е ' Е Г недиагональные компоненты тензора равны нулю. Относительное изменение объема и максимальное касатель- ное напряжение соответственно равны <11' 1 1 — = — (р< + рг)(1 — 2р), т ~„= —,(р< — рз). 28.34 Используя принцип Сеи-Венана, решение ищем в виде р = — оу, с< = сопя1, остальные р; = О. Граничные условия на боковых поверхностях удовлетворены. На торцах У;= риаз<15=0< М =М„=О, М,=о1=М, и где 1 = 1' у~<15 ††мо инерции поперечного сечения стержня 5 относительно оси г.

Отсюда получаем о = М/1. Деформации вычисляются по закону Гука М М е = — —.у, е„„=н„=и — у, е; =О при <фу. Е1 ' Е1 272 Глава 6. Теория упругости Рис. 0.28.2. По ним находятся перемещения. Обнаруживается, что имеется нейтральная ось. на которой е = О, а сечения стержня поворачиваются, оставаясь плоскими и ортогональными оси. Обозначим через ц прогиб балки, т. е.

перемещение точек нейтральной М 2 оси вдоль у. Уравнение нейтральной оси — — парабола и = —, я 2Е1 М 8з с кривизной — = — ., Й Е1 г1я' 28.35 Предполагаем наличие нейтральной оси, длина элемента волокна которой не меняется при изгибе. Рассмотрим элемент балки между двумя близкими сечениями, см. рис. 0.28.2. До изгиба длина 5 всех продольных волокон этого элемента равна одной и той же величине Яо. После изгиба длина волокна нейтральной оси Й = Ьо = Й~р сохранится, где Й вЂ” радиус кривизны нейтральной оси, со — угоп поворота сечения при изгибе.

Длина волокна на расстоянии у от оси на основании гипотезы плоских сечений составит 5 = Яо+ Ь5 = (Й вЂ” у) р. Таким образом, ,ЬЯ у Яы =— 8о Й Из закона Гука ры — — — Еу/Й. Такое распределение напряжений соответствует моменту Е Г г ~! ,1Р ~„г,11 Й/ Й 273 28..Пинейная теория упругости Отсюда получаем уравнение для изогнутой оси балки Ц2~ М й Нх2 Е1' где ц(х) -- прогиб балки — вертикальное перемещение точек нейтральной осв.

28.38 Находим величину изгибающего момента в каждом сечении, рассматривал равновесие части балки, расположенной правее этого сечения М (х) = — Р(1 — х) . Пользуясь результатами задачи 28.35, находим М(х) Р Е1 Е Р рии = — (2 — х)р, Уц я Р— = — — (1 — х). йх2 у Е1 Отсюда получаем 2 Р~з 8= — — х (32 — х) и ~Ч~ ж — /з7(Р)! = —. 6Е1 ЗЕ1 28.37 Дифференцйальное уравнение нейтральной оси балки имеет вид Нц 1 — = — М(х).

422 Е1 Изгибающий момент в сечении х вычисляется по формуле ось х направлена вдоль балки, начало отсчета на левом заделанном конце. Подставим это выражение для М(х) в дифференциальное уравнение изогнутой оси и продифференцируем его два раза по х. При этом М"(х) = д(х) и уравнение для 8(х) примет требуемый вид. 274 Глава б. Теория упругости 28.38 Дифференциальное уравнение нейтральной оси балки имеет вид Х2 — = — ЛХ(х), 3хз Е1 где М(х) — изгибающий момент в сечении х. При указанном закреплении балки в ее торцевых сечениях возникают неизвестные реакции Л и моменты Мо, в силу симметрии одинаковые по величине на обоих торцах.

Они тоже дадут свой вклад в М(х). В результате: ЛХ (х) = — д1 атс + Мо + Лх = — — дх + Мо + Кх 2 2 о и получаем уравнение изогнутой оси балки з 0(х) = — — — тХх + — Лх + ЛХо — + Сх+ Со Е1 ~ 24 6 2 Неизвестные постоянные Л, ЛХо, С и Со определяются из гра- ничных условий закрепления балки тт(0) = п(1) = О, т~'(0) = тф) = О. В результате получим 24Е1 ' '""" 384 Е1' 2 М(х) ~ т 2 ~ 21 Л = —, тХт, Мо — — — — т1т'~, р„= — = — т1(хз — тх+ — ~з)н. 2 ' 12 ' '' ! 21 6 Замечание.

Это решение можно получить, интегрируя уравнение задачи 28.37 с указанными граничными условиями. 28.39 Использовать уравнение задачи 28.37 или решение задачи 28.38; — х(хз — 21х~ + 1з). 24Е1 28.40 См. указание к предыдущей задаче; и = — х(2хз — 31х~+ 1з), /О!~,„= п(0.427) = 0.0054 48Е1 275 28. Линейная теория упругости 28.41 Профиль продольной деформации имеет вид Коэффициент 6 найдем иэ граничных условий для температуры ГМ / 61 я~ь — = о(Т~ — То), еы — — = о(Тэ — То), (2) ' (, 2) отсюда Тр — Т~ а=а и уравнение изогнутой оси имеет вид 1'и (г, - т,) (Т, - Т,) — = 6 = гл ч=о х (х — 1). с1хз 6 ' 26 28.42 Изгибающий момент в сечении х равен М(х) = — ф И( = — д(1 — х), 1 3 2 о где д = сопя1 вес единицы длины балки. Тогда 1 1 ры = — М (х) у = — д(1 — х) у.

1 21 Компонента р я определяется из уравнения равновесия дры др! з — + — = О. дх ду В результате интегрирования получим рдэ = — (1 — х)у +1(х). Воспользовавшись граничными условиями р~э~ „= О, можно ~и 2 определить функцнго 1 (х) 6г Лх) = — — (1- х) 81 тогда 1цэ — у (1 х), р~з „„р~з 21(,4 ) "* ~я=о,у=а 81 ' Глава 6. Теория упругости 276 28.43 Согласно гипотезе плоских сечений еы — — йу по всей тол- щине балки.

При этом ось х должна проходить по нейтральной оси балки, еы(0) = О, положение которой а неизвестно и требует определения. По закону Гука р„= )сЕ у, о = (, 2. Суммарный изгибающий момент М задан, М = иЕг у с(5+)сЕг у 45 = )с(Е11г+Ег1г), 51 Яа где 5 — площади сечений балок; 1 — - их моменты инерции. По М определяются Й и, следовательно, р„: М МЕУ /с = Ег1г + Ег1г Ег11 + Ег1г Ры = Положение нейтральной оси а находится из условия равенства нулю суммарной силы на торцах -(Лг-а) а йЕ у у+)сЕг ус(у=Π— (Ьа+а1 — а) -(- +л,) Отсюда ( Егйгг -)- Егйгг (- 2Е )г )г 2 Егйг + Ег)гг 28.44 Ищем перемещения в виде огу пгг = охх апз = 1(х У) где г — координата вдоль оси стержня, а = сопя(,. По перемещениям вычисляются деформации и напряжения р,з — о)г -у+ — ~, ргз — о)г (х+ — ~, остальные р; = О. О) ' (, Оу/ Задача сводится к определению функции 1(х,у) из уравнения равновесия Ь1 = 0 и граничного условия на боковой поверхности, свободной от напряжений р„(г = В) = О, что в случае кругового цилиндра дает = О.

ф~ Йп, и 28. Линейная теория упругости Это означает, что Д~я, у) = сопй = О. Сечения, перпендикулярные оси г, остаются плоскими и поворачиваются одно относительно другого на угол Ьд = о Ьг. Величина о определяется по заданному на торцах крутяьтему моменту М, = М 1 4 2М хт= (Ьр — хр,„)хя= хта г х я, 2 ряЛ я где 1 = — яй — полярный момент инерции сечения. 4 2 28.45 В предыдущей задаче найдено, что р!3 = — отху и ргз = 1ътхх. Напряжение р„на произвольной площадке с нормалью и равно р„= ргзпзя+ ргзпзу+ (ргзп1+ ргзпг)й. Так как задача обладает осевой симметрией, то достаточно рассмотреть вектор и, лежащий в плоскостях продольных сечений, проходящих через ось стержня, т.

е. пг = О. Тогда раа = р1заш 2д, р„= рхзсоя2д, где пг —— соя 8. Максимальное растягивающее напряжение величины )р„„! = орй будет достигаться на внешней поверхности стержня на площадках, расположенных под углом 45' к оси г. Максимальные касательные напряжения на площадках, перпендикулярных оси г, тоже будут на внешней поверхности стержня Рттах ттр~' 28.46 Воспользоваться указанием к задаче 28.45; Р 18Мг х, Р 18Мг раз+ 2, ггг11~ + ргВг( ~ '" 2.ог + ргог.

28.47 Воспользоваться результатами задачи 28.44: г Г 24(1 — г) т=~ (ях =/ / р„Д4 ~~д.Д4' 278 Глава б. Теории упругости 28.48 Освободим правый конец вала В, заменив жесткую заделку реактивным моментом Мн противоположного с Мо направления. Суммарный угол <ря, на который повернулось бы правое сечение под действием моментов Мн и Мо, равен а б уя = (Мо — Мн) — Мв Р1а Р16' где 1 = 1' г2 НЬ' - — полярный момент инерции сечения. Из услал вия ~ря — — О (конец закреплен) определяется Мв.

Затем находим угол уо поворота сечения стыка и из условия Мо = Мл + Мв вычисляем реактивный момент М4 на левом конце М~йд4 М д4 2М аД4 + 5Д4 ' аД4 + 5Д4 ' яр((~Д4 + 5Д4) ' 28.49 Согласно результата задачи 26.44, максимальное касательное напряжение обратно пропорционально моменту инерции стержня, то„„1(1. Моменты инерции для сплошного и полого валов равны соответственно д4 11 (О б)4)д4 1о= и 1= 2 2 Следовательно, о'" — 1.15, — = О.54. 2 и РО 2 28.50 Обозначим 1 = ь и ИЬ' = — — полярный момент 2 Я инерции сечения, тогда М Мсу Д Маь Дь Г'.1. +Сь1ь Г1 1 +Сь1ь С 1 +Сь1ь 28.51 Существование У' следует из уравнения равновесия в отсутствие массовых сил. ЬУ' = — 2ор, Ь вЂ” — оператор Лапласа.

Граничные условия для функции У имеют вид У'(о = сопе1 = О. 28.52 рзз = Л(сы + сяя) = и(рм + р22). 28 Линейная теория упругости 28.53 езз = — Л = — Л Л+ 2р 2Р Дг гп г Е р — = рг" +,, цгас! (ем+сгг!+ Ьлгп, Д1г 2(1 — и) 2(1 + и) где 8гайл и ллл — ДвУмеРные опеРатоРы. Д ~Р ДхДу 28.56 По лр(х,у) находим компоненты напряжений р,„=с, р„„=по р „= — 6. Такое состояние р я может быть, если на сторонах образца, перпендикулярных оси х, задано р,, = с, а на сторонах, перпендикулярных оси у задано Р„„= а и всюду на границе касательное напряжение равно т = — 6. 28.57 Зная функцию ~р(х, у), находим напряжения а) Р, = ба, р „= р„„= Π— — чистый изгиб; б) р =2сх, Р„„=О, р „= — 2су.

Эти напряжения соответствуют граничным условиям: р, =2сх, р „=~2сй при у=~6, р =~2с1, р „= — 2су при х=Ы. 28.54 Уравнения совместности деформаций для плоского состояния имеют вид Дгнля Дгечч Дг'-'зз Дгны д сгг Д елг = — =О,, + =2 Дхг Дуг ДхДу ' Дуг Дхг ДхДу' Первая группа этих уравнений дает сзз = Ах + Ву+ С. Из закона Пука выражаем р р через с ш о = 1, 2, и подставляем в оставшееся уравнение совместности. Получим д'Ры д'Ргг, Д'Ргг дг дг дд Д* где Ь оператор Лапласа по двум переменным. Д4 Дч Д4 2855 а) Ьсл~= 4+2 г г+ 4 О. — Дхя Д гД г Ду4 дг„дг б) рм Д г Ргг= ~ г+Руу 280 Глава 6.

Теория упругости 28.58 Искомые выражения имеют вид 1ду 1 д'~о д'у д /1д~рЛ Рсс= + ~ Ряб= ~ Рея — 1 )~ "" =гдг сядем =дг "= д 6дВ,) г 28.59 Функция напряжений: <Р = А!и г+ Вгз !и г+ Сг'+ 1Э, Компоненты тензора напряжений: А р„„= — + 2В1п г+ В+ 2С, А рея = — — + 2В !и г+ ЗВ+ 2С, гз р„я=О. 28.60 Уравнения равновесия имеют вид (Л+ Р) игас! с!1ч в+ РЬв = О. Используя формулу векторного анализа игадс1!ч ю = Ьв+ гогго1в, уравнения движения можно представить в виде (Л+ 2п) 8гас1йч ю — Рго1 гоГю = О. Задача обладает сферической симметрией, т.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,57 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее