Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В несжимаемой среде И = 0 и 1з выражается через 11 и 1з. 29. Нелипейиан теории упругости 299 В зтих формулах Л а= — + 2 дю1 и = дх 6= Л+2р+д+ — т, 3 2 р+р+у+ч; дю и а— дх О=2, 3. 29.5 Предполагаем, что в данном случае возможны перемещения лишь в направлении оси х, тогда ю1 = в1(х, 1), юз —— юз = О. Воспользуемся формулой предыдущей задачи для км. Получим ~1ип = и, о1вз — — Г~во = О, лы = (Л+ 2р)и+ Заия = р, где а = -' Л+ р+ д+ у+ и. При а < О график функции лы(и) выпуклый вверх, при а > Π— вогнутый.
до1 ди1 ди1 у' диз диз Л ро = (Л+ 2р) — + Заи1 + 26 | из — + из дг дх дх дх дх до ди г ди ди1Л ро =р — +6~и~ — +иа — ), о=2, 3. И д, (, д.. ад)' где Л 3 а = — + р+д+ у+ и, 6 = Л+2р+,3+ — у. 2 2 ' В чисто продольной волне юз — — юз — — О. Второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно, а для продольной компоненты имеется система уравнений для и1 и о1 до1 дич ди1 до1 ди1 ро = (Л+2р) + Заи1 —, д~ дх дх' дх д~ ' которая может иметь ненулевое решение и| ~ О.
29.6 Волны распространяются вдоль направления оси х, т. е. и; = и,(х, ~). Уравнения движения в лагранжевых переменных в декартовой системе начального состояния имеют вид до, дл.,1 д6 — дх где ро — плотность в начальном состоянии, о; = дю,/д~ — компоненты скорости. Для компонент тензора напряжений Пиолы возьмем выражения, полученные в задаче 29.4. Введем обозначение и; = дв;/дх. Уравнения движения имеют вид Глава 6. Теория упругости 300 Для чисто поперечных волн выполнено игг — — О, что приводит к системе уравнений диг доз~ ди ди 26 иг — +из ) =О; Ро =Р—.
дх ' дх) ' д~ дх' Этой системе может удовлетворить только такая поперечная волна, в которой дх — (и +и)=О, т. е. иг+ из~ = сопн1. Если начальные деформации отсутствуют, то <опнс = О и иг = О, из = О, т. е. таких волн не существует. 1тобы существовала волна. с иг + иг ф О, надо допустить, что в уравнении движения в проекции на ось х, кроме члена д(игг+ и~~)/дх, присутствуют другие члены, содержашие иы не превышающие его по порядку.
То есть в таких волнах наряду с компонентами игг+ игч ~ О поЯвлЯетсЯ и пРодольнал компонента иг иг+ иг. Такие волны называют квазипоперечными. 29.7 В несжимаемой среде — 1= — О, см. задачу 29.3. Для плоских одномерных движений 1г —— г; — — иг + — (и, + иг + из), 1г = — — (иг + из), 1з = О.
г г г ' ~ г Условие несжимаемости д = О дает иг —— О для продольных деформаций, следовательно, и продольных волн нет. 29.8 Для среды Мурнагана, см. задачу 29.3, система уравнений для плоских одномерных движений получена в задаче 29.6. В несжимаемой среде иг — — О и уравнения для поперечных волн имеют вид г г г й (иг + из) = О, иг + из = сопя~, д'и г ди, д'р др иг дР дх ' дгг дх' из' Волна, в котоРой иг г+ изг — — сопвФ, обладает кРУговой поЯЯРизаиией: для второй волны интегральная кривая лежит в плоскости (иг, из).
Такие волны называют плоскополяризованными. 29. Нелинейная теория упругости 301 29.9 Для уравнений плоских продольных волн в лагранжевых переменных, см. задачи 29.5 и 29.6, до ди ди ди до ро — = (Л+ 2р) — + Заи —, д1 дх дх' д1 дх' где дю дю 1 и=, о= —, а= -Л+р+д+ у+и, дх,' д1' 2 ищем решение вида о = у(и) (волна Римана). Подставляя в систему уравнений решение такого вида, получим уравнение для определения функции о = ~р(и) ао аи — с+ З вЂ”.
И.и Ро Зависимость и(х,1) находится как решение уравнения Ыи ди ди — = — + с(и) — = О Й де дх Их — = с(и), й т. е. линии и = Дх — с(и)1). Каждое состояние перемещается со своей скоростью с(и), называемой характеристической скоростью и равной Л+2и а с + 3 — и. Ро Ро Так как доз а ди =6 — —, дх ро дх' то возмущение при движении меняет форму. Эти волны имеют тенденцию к опрокидыванию при а > О, если в волне при а < О, если в волне Н зак. 2369 вдоль линии, определяемой уравнением ди — >О и дх ди — < О.
дх Глава 6. Теория упругости 302 30. Моментная теории упругости и осреднение ! лс ~" — — с "'~~фа = — 7)(~7 ш" — ~7" ю ). 2 и( ) — †+ со'лф~, 30.2 Использовать алгебраические свойства тензора ЛевиЧивита и симметричность вторых ковариантных производных. 30.3 В силу соотношения 1 где Ф= — го12в и T;Ф'=О, 2 выполнено рУ = — (с'.;) + рс;,еб + 2и~7,Ф ~7'Ф2 + 2Л7,Ф '72Ф', 2 причем 2 Л + — )2 > О, )2 > О, и + 6 > О, и — б > О. Так как яс — тензор третьего ранга, перекрестные члены между лт и и отсутствуют.
Уравнения состояния: р~ ) — — р — = Лд с,ь+ 2рм (') дс;, дУ Яо = р = 4и~2Ф'+ 46~7'Ф2, д'7,Ф; Уравнения движения: дзв' 2 ~ +)2) 30.1 В линейном приближении имеет место уравнение 1 дФ Ф д~ф! ы= — го)п= — = — —, 2 д1 !Ф! д1 ' откуда следует, что )Ф) — величина угла поворота частицы среды как твердого тела вокруг вектора Ф/~Ф~. В силу уравнений Нв) ) д) =мх в~ ) величины (и' ) представляют собой матрицу соответствую2цего поворота и приближенно равны 30. Моментная теория упругости и осреднение 303 30с4 ИСКОМЫЕ ураВНЕНИя дпя КОЭффИцИЕНта В И ВЕКтОра Ф: дгВ р — = (Л+ 2Р)ЬВ+ РО1с.г", д~г дгф РР— = РЬФ вЂ” иЬКФ+ — гонг . д12 2 30.5 Уравнения продольной н поперечной волн: д'и ' д'ю' д12 ( + "') д(,.1)г' д'ю' д'ю' д'ю' д42 Р д(.1р д(. 1)4 где Л + 2Р „Р + ийг „ Ш2— Р Р Суммарная волна имеет вид (при вещественном Аг) юг = 2Аг сов — ((ш' — ш")2 — (а'' — 'ян)х) соя — [(ы~'+~")~ — (к'+ й")т).
В пределе ш' — шя ско аэ — кя нк Для продольных вопи: для поперечных: ,~,„, й(Р + 2рйг) щ,р) ш Н шр Й~ а 30.6 Компоненты ю' = юэ = О; шг(х1) удовлетворяет уравнению Р(ю~) Я вЂ” и(ю~) '» = О. а) При и = ~Ь выполнено (ю )" = —, 11(ю )' — и(ш )'" = О. 2и' С учетом юг(О) = О .1 2 сп(Е/1) 1 Глава 6. Теория упругости 304 б) При х' = ~Ь выполнено р(тп ) — ( ) " = р, (ю )п(1,) = — —, (пт )Я(-1) = —. 2и' 2и При этом имеет место р т', Е вп(х'/т') ') тг(, 2вп(Ь/т) / При 1/Ь -+ О решения стремятся почти всюду за исключением краевых точек (пограничных слоев) к решениям соответствующих задач в рамках классической теории упругости. 30.7 а) Выражение для вектора Ф и тензора Я: рдп 4прд Ф = — — (лег — уез), (4 = — (и — б)(егез — езег). Е Е При уг + гг = Д~ выполнено 4п рд Я„= — (и — б) (гег — уез); ЕК при х = 0 и х = — Ь выполнено Нагрузка самоуравновешена.
Отметим, что коэффициент б не входит в уравнения равновесия, но входит явно в краевые условия. М 4М б) Ф = — (ояет + хез), Ч = — ((б+ итт)етез+ (бп+ и)езет). Е1 ' Е1 П и г+ г 1тг 4М Я„= — (б+ ип)геы Е1В при х =О 4М Я„= — — (бп+ и)ез, прн х= Е 4М Ц„= — (бтт + и)ез. Е1 Н з г рузк а самоу рав повешен а. 305 30. Моментная теория упругости и осреднение а в) Ф= —— 2 При хг+ у (хе1 + уег — 2хез), (е = — 2а(и+о) (е~ег+егег — 2езез). дг 2а Я„= — — (и+ е) (хе1+ уег), при я=О Я„= — 4а(и+ о)ез,.
Я„= 4а(и+ д)ез. при г= Ь Нагрузка самоуравновешена. 30.8 Из уравнения равновесия ры'(х') = О следует .! При х' = Ь ю (А)=Ь(е )ь=Ьр Л+2иу ь откуда ы ~ 1 ~ — 1 (еы), Л Л+ 2р/, Для всякой периодической функции у'(х) с периодом 1, Е ~п. = -' 6~е = -, "1'я*и*= (ь А,/ Пусть т' (х1) — = ~ — ~ +~ где ~ — = нг — целая часть, ~ Е (О; 1). \ Тогда Л 2 Последние два слагаемых образуют при ~ Е К периодическую функцию с периодом 1. Глава 6. Теория упругости 306 30.9 Считая р и д функциями С и выбрав масштаб Ь = 1, получим + — Жг+ +1г 1+2 Откуда при 1/е имеем — 1+— д(ге) дх +, + 0(е). =О, где %1 = Осредняя член уравнения порядка 1, получим дг(ю) 1 дг(и) д1г (1/р) дхг или (и) = /(х — с1) + д(х+ с1), , -г/г где с = (р)( — )), а / и д — произвольные функции.
И Сравнить уравнение для (и) с исходным уравнением при постоянных р и р. 30.10 Пусть амплитуды прошедшей и отраженной волн равны Аг и В1 соответственно; 1гы Рг и йы йг — моДУли УпРУгости и волновые числа до и после скачка. Здесь й = и/с,, где с„= „/р„7р,о = 1, 2 — скорости звука. Тогда 2ргй1 1 И1й1 — ргйг А Игйг + Ийг Игйг + ргйг При соударении материальных точек с массами ты пгг и первоначальными скоростями юы О, конечные скорости равны г т1 — тг 2т1п1 ег~ —— пг и ег = тг+ тг т1+ тг 307 30. Моментная теория упругости н осредненне 30.11 В силу законов сохранения энергии и импульса после прохождения волны столкновений ОЭ т о Е— тп гг Е тООО 2 " 2 п=о / тпоп = топо.
п=о В силу неравенства Коши — Буняковского 2(М+ тО) ~ — пе„'2 > ~ ~ т„е„') = тец~„ п=о 2 =о топо причем равенство достигается и о„ = , что отвечает М+ то тоно 2 наибольшему значению Е = (1 — 6), где 6 = то/(М+то). 2 Исключая скорости оп, о„' из формул полученных в задаче 30.10, найдем оптимальное распределение масс то(1 — 6) (1+ (в — 1)б)(1+ 6) ' причем ~ т; = М. В рамках механики сплошной среды соот1=1 ветствующее движение разрыва вдоль оси х описывается уравнениями, см., например, задачу 19.16, И (о~-1) Р2о2% о2) ~ в'г сЬ ой — — Рг(Р— о2), Ж и 2оп21 1 2 4х Р2ог (О о2)1 в'1 '1 2 ) 2 ' Й 6= оо М = / Рг(х) "х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
