Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 42
Текст из файла (страница 42)
33.4 Приведенные в решении задачи ЗЗ.З преобразования— „повороты на мнимый угол" — очевидно представляют группу. В качестве действительного параметра, аддитивного при преобразованиях группы, можно выбрать уг=агсй(и/с), — оо<ег<оо, — с<и<с; Значение у = О соответствует тождественному преобразованию, значение м = ~оо гоответствует и = ~с. Пусть заданы и1 — — сй у1 и ог — — с$Ь ~рг. Тогда произведение соответствующих преобразований Лоренца будет преобразованием Лоренца с 1а = у1 +уз (в этом можно убедиться и непосредственно). Соответствующее у значение скорости и определяется из равенства о = сй(~р1+ ~рг), поэтому и (и1/с) + (ог/с) с 1+ (и и /сг) Это равенство носит название релятивистского правила сложения скороспгей.
ЗЗ. Пространство Минковского. 329 33.5 Воспользуемся тождеством 2д;.х'уг = д; х'хг + д;.у'уг — дб(х' — у'Ихг — у~). При общих преобразованиях Лоренца согласно их определению сохраняется величина каждого из трех членов, стоящих в правой части. Ортогональность пространства и времени следует из диагонзльности д; . 33.6 Пусть общее преобразование Лоренца преобразует переменные х, у, х, ~ в х', у', х', г'. Ось ~' при этом должна лежать внутри светового конуса хг+ уз +хг < сглаз Это следует из сохранения величины д;,х'уг, и, следовательно, ее знака.
Будем считать, что положительные направления осей Г и Г могут быть непрерывным образом совмещены. В противном случае следует изменить направление оси Г с помощью отражения. Рассмотрим двумерную плоскость, проходящую через оси г и г'. В этой плоскости пространственную ось, ортогональную к 1, обозначим через ('. Пространственые оси ~г, ~з ортогонзльны к ~'. Переход от переменных х, у, х к ~', ~г, ~э дается ортогональным преобразованием. В плоскости (Г,(') совершим частное преобразование Лоренца так, чтобы ось ~ совпала с У. При этом ~г перейдет в ~', а ~г и ~з не преобразуются.
Очевидно, что подпространство, натянутое на оси ~', ~~, ~~ совпадает с подпространством х', у', х', так как легко проверить, что оба они ортогональны оси Г и, следовательно, преобразование от одних переменных к другим — ортогональное. Таким образом, общее преобразование Лоренца представлено последовательностью перечисленных выше преобразований. 33.7 Определим тенэор до, который в одной иэ систем координат х' = х,, хг = у, хз = х, х = 1 имеет перечисленные 4 компоненты д". Тогда в произвольной лоренцевой системе координат (хв) выполнено Так как координаты (х") произвольны, получаем, что д,'" = д, .
330 Глава 8. Специальная теория относительности 33.8 а) Как известно, преобразование базисных векторов дается обратной сопряженной матрицей по отношению к матрице преобразования координат. Так как обратное преобразование Лоренца получается заменой о на ( — и), см. решение задачи 33.1, то преобразование базисных векторов е;, направленных по координатным осям х' = х, хг = у, тз = г, х4 = сг, имеет вид ) ! ( ) е1 — — а„е, +а.„е4, е, =ег, ез — — ез, е4 — — агге, +агге4, где 1 и/с а11 = агг = п!г 1 — пг/с' 1 — п2/с' Очевидно, векторы е', и е4 на плоскости (х, сг) расположены сим- метрично относительно прямой х = сг, причем при изменении о концы этих векторов пробегают гиперболы, пересекающие оси координат при х = 1 и сг = 1, с асимптотами т = с1 и х = — с1.
б) Если на плоскости (х, сг) для пары точек (х1, 11) и (тг, 12) тан- генс угла наклонаотрезка (,зх; (."11), где ("1х = хг — х1, гз1 = 12 — 11, по отношению к оси т меньше единицы, то согласно предыдуще- му можно выбрать скорость о таким образом, чтобы вектор е' был бы параллелен вектору (гзх, сЬ1) (т. е. Ы( = О), в про- тивном случае можно добиться того, чтобы вектор е4 был бы параллелен этому вектору (т: е. Ьт) = О).
в) При преобразованиях Лоренца, сохраняющих ориентацию, якобиан преобразования равен единице, так как в силу принципа относительности системы координат равноправны. Для частно- го преобразования Лоренца равенство якобиана единице легко проверяется непосредственно. г) Рассмотрим тождество, получаемое интегрированием (фор- мула Гаусса — Остроградского) Д/) / — Ю(.) =/1 4Я;, мн Я где 5 — гиперповерхность, ограничивающая У141,(гз; — проек- ции элемента гиперповерхности на координатные гиперповерх- ности. Подчеркнем, что интеграл по (1Я; (так же как и по (1У141 — см.
выше) понимается в том же смысле, что принят в анализе: 331 33. Пространство Минковского. как интеграл от произведения дифференциалов независимых переменных по множеству точек, являющихся проекциями на координатные гиперплоскостн точек, принадлежащих НЯ. Пусть 1' — компоненты произвольного контравариантного вектора, отличного от нуля на поверхности 5 только на элементе поверхности с15 с проекциями п5;.
Считая 1' произвольнымн постоянными, можно заключить, что И5; представляют компоненты ковариантного вектора, так как левая часть написанного выше равенства скаляр. 33.9 Пусть координаты концов стержня в,,собственной" системе координат таковы: х~ — — О, х~з —— 1. х' х=!1/1-н 'с Рис. 0.33.1. Используя результаты задачи 33.1, нетрудно, получить, что движение концов стрежня задается уравнениями — * =~ф: *7~ ~ Очевидно, см. рис.
0.33.1, что 33.10 Пусть в движущейся системе события произошли при х~ — — О, 1~ —— О и х~ —— О, 1~я —— т. Тогда, по формулам задачи 33.1, в системе наблюдателя т Т 1 х~ = О, 1~ — — О, хз =о1з, 1з =— Т— 1 — е'/сз 1 — о'/с' 332 Глава 8. Специальная теория относительности 33.11 Согласно решению задачи 33.10, на ракете пройдет время ссм При движении ракеты с постоянной скоростью оба наблюдателя равноправны и, с точки зрения каждого, у другого прошло времени меньше. чем у него. НеравноРис. 0.33.2. правие возникает в момент изменения скорости ракеты при замене системы координат (з', г'), движущейся со скоростью и, на систему координат (з"; 1"), движущуюся со скоростью (-и).
При этом время неподвижного наблюдателя (1 при т = О) как функция собственного времени, прошедшего на ракете, испытывает скачок, обозначенный на рис. 0.33.2 как Ы. Если и = п(1), то Величина т — инвариант (не зависит от системы координат, в которой она вычисляется), так как ~Ь Йт = —, с где ~Ь = с Й вЂ” Ия — Ну — Иг, см.
задачу 33.2. Величина т достигает максимума, если интегрирование на плоскости (я; 1) ведется вдоль прямой, соединяющей точки А и В. Это утверждение очевидно в системе координат, в которой прямая АВ является осью времени. Упомянутое выше неравноправие наблюдателей (неподвижного и на ракете), можно объяснить тем, что один из них, согласно исходному предположению о виде метрики, все время находится на одной и той же геодезической, а второй — нет.
334 Глава 8. Специальная теория относительности 34.4 При взрыве бомбы 4-импульс ее продуктов остается равным 4-импульсу бомбы до взрыва (сохранение импульса и энергии), хотя масса покоя частиц, составляющих продукты взрыва, уменьшится. Согласно решению задачи 33.3, ее скорость и масса при этом не изменяются. 34.5 Пусть известна производная от 4-импульса по собственному времени ар — = Г', '=,...,4, и'т дт.' где р' = 1п —, /1 — четырехмерный вектор. Йт Пренебрегал величинами порядка ц2/с2 по сравнению с единицей, получим ( ) ( + ~ ) 2 4 Й ' Й =с 1 откуда в том же приближении 1241 + 242 + ззсз у4 Й с2 При и = 0 (в собственной системе координат) справедливы равенства 12т Нт м Й Нт Здесь штрих означает, что компонента 2'4 рассматривается в собственной системе координат.
34.6 Пусть в собственной системе координат ускорение точки равно п. За интервач собственного времени 11т точка получит в собственной системе приращение скорости ас1т. Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей (задача 33.4), скорость точки в неподвижной системе получит приращение о+ а4т ' п2'1 ац = — и = 1 1 — — ) а 11т. 1+ а с~т(о/с2) 1, с2) Интегрируя, получим и а(т — то) 335 34 11онятия релятивистской кинематики и динамики По определению 0,г 1 о= — и Йт=~(1 — — Й, с Интегрируя последние соотношения, получим с /а (1 — 1о) = — вй ( — (т — го)(, (я — яо) = — ( сй | — (г — го) — 1 а (,с ( а (, с Точка на плоскости (я; 1) при изменении собственного времени т описывает гиперболу, задаваемую уравнением зх2 4 с (1 — 1о) — т — то+ — 2) 2 2 а а 34.7 Определим количество 4-импульса, прошедшее через некоторую площадку с проекциями ИЯ; на координатные гиперплоскости, см.
задачу 33.8, равенством Это равенство очевидно, если вектор ИЯ направлен по одной из пространственных осей. Тогда выражение Ф = т2 с1о"„ (без суммирования по о) определяет соответствующий поток 4-импульса, как это следует из условия задачи. Если вектор с15. направлен по оси времени, то формула с1р' = Т'4 054 определяет содержание 4-импульса в элементе пространства 054, что можно принять за поток импульса из прошлого в будущее через элемент ги перповерхности а54. Для получения формулы Нр, = Т" 051 для произвольно ориентированной площадки ИЯ рассмотрим притоки 4-импульса к малому четырехмерному пентаэдру, четыре грани которого лежат в координатных гиперплоскостях, а пятая — замыкает эти четыре, ограничивая малый четырехмерный объем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
