Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 40
Текст из файла (страница 40)
31.14 а) Нет. В этом можно убедиться следующим образом: воспользоваться уравнением поверхности нагружения (Мизеса) и показать,что в процессе изменения напряжений при щ = сопе1 параметр упрочнения т не изменяется, поэтому Л = О. Изменение деформации, следовательно, происходит в соответствии с законом Гука, если рассматриваемый процесс нагружения описывается по теории пластического течения. Если же его описывать по деформационной теории пластичности, то получится другой закон изменения деформации. б) Нет.
Глава 7. Неупругие деформируемые среды 316 т, Рис. 0.31.2. 31.15 Пластическое деформирование начинается в момент первого перехода напряжения через начальный предел текучести. Кривая е(1) в соответствующей точке имеет излом, если он имеется на диаграмме (РП ег), см. рис. 0.31.2. В момент прохождения напряжения через первый максимум начинается разгрузка. При повторных нагружениях деформация изменяется по упругому закону.
31.16 Учесть, что в условиях плоской деформации, например, егз — — О. Из уравнений Прандтля — Рейсса, см. задачу 31.10, вывести соотношение — + Лргз = О Ргз 2р, и заключить с его помощью, что ргз — — О. Аналогично установить, что ргз = О. Из уравнений Прандтля — Рейсса с использованием условия несжимаемости получить уравнение — +Л( + )=О 2 й 1г Ры Ргг Ры + Ргг и вытекающее из него равенство рзз— 2 31.17 Рассмотреть задачу в цилиндрической системе координат (г, ~Р, г).
Вследствие симметрии физические компоненты скорости имеют внд о„= о,(г), о, = О, о, = О. 31. '1еория пластического течения 317 Ррм+ Рее Рсм = Рея = Рмл = О~ Рлл = 2 а) Если происходит упругое деформирование, то задачасводится к решению системы уравнений, состояшей из уравнений равновесия и закона Гука, с краевыми условиями р„„'1г) = — р при г = а, р„„= О при г = 6. Проверьте, что в силу упомянутых выше свойств перемешений и напряжений часть уравнений системы удовлетворяется тождественно, а оставшиеся уравнения имеют вид Ир„р,„— р Ии„р„„— р — + =О, е1г г ' Нг 4н Решите эту систему при указанных краевых условиях, используя вид перемещений и„= В/г. Ответ: Если происходит лишь упругое деформирование, то распределение перемещения и напряжения в трубе описывается формулами 6гг-г) и, =и„=О, р„„= нг6-г р 21гг1п-г 6-г) ' р(1 — бг ) .-г6-г — 1 ' Ре е + Р~~ Р„=Р,„=Р,=О, р„= 2 б) Показать, что при указанных свойствах напряжений критерий текучести Мизеса приводится к виду ~р„„— р~р~ = 2Й.
Используя найденное распределение напряжений при чисто упругом деформировании, выяснить при каком значении давления и в каком месте поперечного сечения напряжения впервые достигнут поверхности текучести. Ответ: Пластическая зона возникает при условии Р > ро, где ро = (1 — аг/6 ) к и начинает распространяться от внутренней поверхности трубы. Используя условие несжимаемости, покажите, что радиальная компонента скорости представляется в виде о„= А(1)/г.
Заметьте, что аналогичным свойством обладает и перемещение и(г) = ВЯ/г, В = А. Из уравнений Прандтля — Рейсса установите, как в предыдущей задаче, свойства физических компонент тензора напряжений 318 Глава 7. Неупругие дсформируемые среды в) Вследствие осевой симметрии задачи пластическая зона является цилиндром, примыкающим к внутренней поверхности трубы. Задача о нахождении напряжений в этой зоне статически определима, т.
е. решается лишь с использованием уравнений равновесия, из которых не обращается в тождество лишь одно, и критерия текучести """ + """ Р™ = О, ~р„„ - р„~ = 26 с краевым условием р,„!г) = — р при г = а,. Знак величины р„„— р, определить из условия цеотрицательности множителя Л в ассоциированном законе. Для этого из уравнений Прандтля — Рейеса. см. задачу 31.10, получить соотношение рос, 2/с2 В рассматриваемом случае с учетом указанных выше свойств напряжений н скорости, учитывая условие песжимаемости, привести ее к виду Р.р Рмр Ррр Р ри 2ьг '" 262г и использовать условие ьг > О.
Ответ: Распределение напряжений в пластической зоне описывается формулами р,„= — р+ 21с!и —, р = — р+ 2!с (1п — + ! и и Р~р~р + Ррр Рт~р = Рг~ = Ррл = О~ Рар = 2 г) Пусть й радиус цилиндрической поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны. Тогда упругую зону можно рассматривать как трубу с внутренним радиу~ом Л и внешним радиусом 6, нагруженную изнутри давлением. Последнее определяется по известному решению в пластической зоне и равно — р+ 2Й!п Воспользоваться найденным выше решением для чисто упругого деформирования трубы. 319 31. '1еория пластяче< кого течения Ответ: Распределение напряжений в упругой зоне задается формулами р,„= р — 29 !и— 1 — ог/гг Ьг/11г — 1' 1 + йг ~„г ьг( г1г Рмя+Р Р2Е 2 ЛЛ р = р — 2й!и — ) а р.
=р-=р ° =О д) Для найденых полей напряжений в упругой и пластической зонах выполнены условия непрерывности компонент р,„и р„ на поверхности, разделяюшей зоны. Потребовав непрерывности компоненты р,, получить уравнение для радиуса Й разделяющей цилиндрической поверхности ь11г.! ьг[р ь) 2йьг !и е) Для исследования разрешимости уравнения, см. п. д), 11 1 Лг оог !и — + а 2 2й найти на отрезке [а; о) наименьшее и наибольшее значения функции. стоящей в левой части, и проверить ее монотонность.
Рл = Ргг = Ргз = Ргз = О, привести соотношения закона Гука к виду Л 4Р(Л+ Р) Л егг= — Яп, ггг=О Рп =, сп Рзз= Используя их и единственное не обращающееся в тождество уравнение равновесия, показать, что перемещения имеют вид ~й:~~ агяг + аояг .г иг = а~хппг + аояг, иг = — — + Л 2 Л+2р где, ао, аг = сопя1. 31.18 а) В случае, когда во всем поперечном сечении листа происходит упругое деформирование, описывающая его система уравнений состоит из соотношений закона Гука и уравнения равновесия. Система дополняется соответствующими краевыми условиями. С учетом того, что деформация плоская и напряжения удовлетворяют условиям 320 Глава 7. Неупругие деформируемые среды Показать, что граничные условия — отсутствие нагрузки на верхней и нижней поверхностях листа — удовлетворены в силу указанных в условии задачи свойств напряжений.
Условие о нулевой результирующей силе на краю листа имеет вид Рп "яг = О. -ь Записать аналогично условие о заданном результирующем моменте на краю листа, найти из этих условий константы ап и а1. Ответ: Если происходит лишь упругое деформирование, то распределение перемещений в листе описывается укаэанной выше формулой с постоянными ЗМ(Л+ 2Р) 863Р(Л+ Р) ' а напряжения — — формулой ЗМт2 ЛР11 Ры= Р33= 263 2(Л + Р)' Р12 Р13 = Р23 Р22 О Поверхность текучести достигается впервые при значении момента Мо = 4т,Ь2(3 одновременно на верхней и нижней поверхностях листа. С этих поверхностей начинается распространение внутрь листа эон пластического деформирования.
б) Используя результат п. а), показать, что напряжения достигают поверхности текучести в точке, где (р1 — р2~ = 2г„причем Р1 = РП: Р2 = Р22 = О. Система уравнений, описывающая процессы в зоне пластического деформирования, состоит из уравнений равновесия и определяющих соотношений для упругопластической среды. Последние можно записать аналогично уравнениям Прандтля-рейсса, см. задачу 31.10, в виде выражения для компонент тензора скоростей деформаций через компоненты напряжений р;, скорости их изменения р;, и множитель Л. Выписать эти уравнения с учетом того, что: 1) происходит плоское деформирование; 2) Р12 = Р13 = Ргз = Р22 = О' З1.
Теория пластического течения 321 3) напряжения лежат на участке поверхности текучести (рг — рг) = 2тв~ использовать при этом представление определяющих соотношений в главных осях тензора напряжений, см. задачу 31.9. Показать, что они сводятся к условиям !Р111 = 2тв: рзз = О вы+йгг = О, йгг — — О, йп = Л. В силу непрерывности компонент тензора напряжений на поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, условие рзз — О означает, что компонента рзз сохраняет в точке пластической зоны то значение, которое она имела в момент прохождения через эту точку разделяющей поверхности. Используя на разделяющей поверхности равенства Лрп рзз = 2(Л+ р) и )рп! = 2т, соответственно со стороны упругой и пластической зон, найти значение рзз в пластической зоне.
Ответ: В примыкающей к верхней поверхности листа пластической зоне имеется однородное распределение напряжений Лт, рп = 2тв~ рзз = ~ р~г = р1з = ргз = ргг = О. 2(Л+ р) В пластической зоне, примыкающей к нижней поверхности, напряжения имеют такую же величину и противоположный знак. в) Пластические зоны примыкают к верхней и нижней поверхностям листа, в центральной части располагается упругая зона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
