Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е. Гс = пп11, п. = 1, 2,... и имеется дискрет- ный набор значений силы Р = Е|ягпг/Гг (собственные значения Р), дающих изогнутую форму стержня. Минимальное (крити- ческое) значение силы Р, прн котором появляется бифуркация, равно Р„= Е1пг11г. 28.79 Задача приводится к уравнению предыдущей задачи, если начало координат выбрать в точке приложения силы Р. Граничные условия в точке закрепления г11 — 1) = г1'à — 1) = О. КритиЕ1хг ческое значение силы Р„р —— ЯР— 41г 28.80 Прямолинейному стержню, сжатому вдоль оси силой Р, дается малое отклонение его свободного конца в поперечном направлении, см. рис.
28.24, силой Я. Устойчивому равновесию соответствует минимум энергии, т. е. для выведения стержня из этого состояния надо совершить положительную работу с1А = Я Нп. При выбранной системе координат, в которой прогиб считается положительным, а начало взято в точке приложения силы 1, отклонение Иу отрицательно. Следовательно, чтобы работа ИА была положительной, нужно приложить силу Ч < О. Найдем равновесие изогнутой формы стержня под действием сил Р и Я.
Дифференциальное уравнение для отклонения изогнутой оси имеет вид с1гу Р Ч = — — у — — х. ,1 г Е1 Е1 28. Линейная теория упругости 291 Его решение 9 = С1 ып 1х+ Сз сов лх — — х, Д где л~ = Р1(Я1). Из граничных условий у(0) = О, у'( — 1) = 0 находим константы С1 и Ся. Стержень имеет форму Р й совпасл Максимальный прогиб в точке х = — 1 равен Я(И вЂ” 18 И) Упзак— Р/с > О.
Условие устойчивости Ч < 0 дает $8И > И. Следовательно, положение устойчиво при И < л/2. При И > л/2 положение неустойчиво, я Е1л~ ~кр — 1 1 кр 2Р др При Р > Р„р прямолинейная форма стержня неустойчива. 28.81 Уравнение для прогиба балки Нц 1 Ихя Е1 Величина д пропорциональна полному прогибу — сумме начального и текущего, т. е. 14 4 = ~0+Чов1п — ). пх4 Е1 (~ 1,) Интеграл этого неоднородного уравнения таков: 0(х) = С1 ып ах+ Сзсовкх+ Саванах+ „14 лх + С4БЬ Йх + 4 чев1п л4Е1 — а14 Граничные условия п(0) = ОЯ = О, цп(0) = ОР(1) = 0 определяют константы С| — — Сз = Сз = С4 = О.
Решение имеет вид лх л4Е1 лх лх Ч Цоьчп — + 0 = 4 ООБ!П вЂ” — а'7/Π—, л4Е! — а14 4Е1 где м = 4 4 — коэффициент усиления амплитуды. Ко4Е1 ~4 эффициент м равен 1 при о = 0'и растет с ростом а. При 292 Глава 6. Теория упругости о = о„р —— п4ЕУ/14 коэффициент усиления обращается в беско- нечность, наступает потеря устойчивости. Предельное значение о равно о„р.
28.82 Задача решается аналогично предыдущей; 112 1 — Т' 48Е1 ( 1. 28.83 Непосредственной подстановкой компонент перемещения ю,(х, г) в уравнение движения линейной упругой среды в перемещениях получаем '~'~* гдю д "Ъ, гдюр, И '2 г 2 2 1дг' д12 г дг ~( Эта система имеет решение ю =Дх~с11), ю„=ю,=О. Это продольная волна; го$ю = О. Два других решения этой системы Л+ 222 С1 = юр,л 'г'(х ~ с21)1 юх = О представляют собой две поперечные волны, Йч ю = О. В изотермическом процессе используются коэффициенты Даме Л и р, в адиабатическом Л,д и р д, см. задачу 28.15.
где д2ю д'юг 1й1 р 2 (Л+ 222)Ью1, ггг Р— ДЬюг. дгг дг По условию го11й1 = О, Йр 4212 = О. Непрерывная функция 1й, для которой во всем пространстве гос 1й = О и Й1р 421 = О одновременно и которая обращается в нуль вне некоторой конечной области, есть тождественный нуль. Таким образом, получаем уравнения ДЛЯ Ю1 И Ю2 д'ю1 .— г — — С1 ЬЮ1 дгг д юг г, г Л+2И г Р = сгЬюг, с, = сг— д22 28.84 Подставляя ю = ю1+юг в уравнение Ламе, приведенное в задаче 28.23, и применяя к этому уравнению последовательно операции Й1р и гоФ, получим Й1р1й1 = О, го$фг = О, 28. Линейная теория упругости 293 28.85 В тонком стержне с боковыми границами, свободными от напряжений, выполнены равенства ры = Есы, рд = р1з = О.
Уравнение движения в проекции на ось стержня имеет вид дзи др11 дзи р — = — = Š—. д12 дх дхз ' Это волновое уравнение, скорость волны равна Е р<ОЛ + 2р) Л + 2р с= г ( С1 = рО+ р) 1 ю где с1 — скорость продольной волны в неограниченной упругой среде. я ГГ я й = — (1+2п) и ю= ~( — — (1+2п), и =1, 2, 21 '11' Р 21 28.87 Уравнение, описывающее поперечные перемещения точек осн стержня 1од — — и, см. задачу 28.37, имеет вид д ч ч дх4 Е1' Здесь 1 — момент инерции сечения 5; о = ЕЕ, где Š— массовая сила, приложенная к единице длины стержня.
В нестационарных задачах массовой силой является сила инерции — р дзп/д1з. Уравнение для перемещения принимает вид Е1 дл дз роД 4 д1г' Решение ищем в форме и = Оое"1" '1. Подстановка в уравнение дает связь между м и й — дисперсионное уравнение Е1 4 — к =ы. рд 28.86 Уравнение для продольных волн в стержне, получено в задаче 28.85: д2 д2 д1я =Едх с1тобы обеспечить условие закрепления и10,1) = О, ищем решение в виде стоячей волны и = Агйп их совю1.
Оно удовлетворяет уравнению, если ~о = ~/Е/рй. Волновое число Й определяется из условия на втором конце ры(1, 1) = О; Глава 6. Теория упругости 294 Фазовал скорость волны зависит от к. В этом случае группоепа скорость нс совпадает с фозооой Г = 2с. 28.88 В упругой среде при отражении возникают как продольная, так и поперечная волны. Векторы перемещения в этих волнах можно записать в виде У г~ .Л,Ф яп„ в1 = ~1(х сои а+ дони а — с11)п1 для продольной волны и вз = ~г(х сооД+ дяп ~3 — его)тг точ для поперечной волны, где п1 (сои а, яп а) и пэ(сое,З, яп Я Рис. 0.28.3. Уо(уо1п ао+ с1~) яп ао+ Д(уяп а — с11)чйп а+ + ~э(уя1п Д вЂ” сэг) совр = О. Для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы все функции имели одинаковые аргументы при любых у и ~, т.
е. уяпао+ с1$ = уяп а — с11 = уяп~3 — сэва. Отсюда получаем яп а = — яп ао и яп Д = — (сэ/с1) яп ао. суть единичные векторы направлений, вдоль которых распространяются соответственно продольная и поперечная отраженные волны; тз( — япД,сооЯ Г аз — направление в плоскости фронта поперечной волны; сэ = т/р/р -- скорость поперечной волны. Амплитуды (1 и Л и углы а и Д отражеиных волн определяются из условия равенства нулю вектора т|еремещений на жесткой границе: яоо+ ш1+ юг — — О при х = О. В проекциях на нормаль и касательную к границе получаем Уо (у яп ао + с~ 1) сои ао + Д (у яп а — с1 1) сои а— Уг(у яп ~3 — его) яп ~3 = О, 1 ю 28.
Линейная теория упруго< ти а) Решая систему уравнений для 3~ и Зз, находим амплитуды отраженных волн сз ив ое — с~ сон овсов ~3 3 Л=Ь сгзш ое+с~созоесоз13 с~ яп 2ое л=-ь сз з~н ое + с~ соз ое соз Д где созд = б) Поперечная отраженная волна отсутствует, т. е. Зз — — О, если падение продольной волны зпе происходит точно по направлению нормали к границе ае — — О. в) Если падающая волна поперечная, то аналогичное выражение для угла отраженной продольной волны яп 3 = — (с~/сз) зш ое имеет смысл только для таких углов падения ое, для которых ~, пое(< — =~~Л сз р с~ )/ Л+ 28 Л+2р ~р р+т с~ —— сг=~1 —, сз= р 28.90 Задача обладает сферической симметрией ю, = и(г.1), Введем потенциал перемещений р(г, Г) так, чтобы и = ду/дг.
Функция р удовлетворяет волновому уравнению д ~о з з1 д / зд~о1 з Л+2Р. н з ггйг ( бг(' Его решение у = я3(с1 — г)(г. Уравнение для функции ф получается из граничного условия р,„(В) = — ро ф" уф' т~'~ (Л + 2р) — + 4р ( — + —. ) = — ро Д (Дг 11з) 28.89 Одномерное движение с плоскими волнами имеет компоненты перемещения ~о;(я,1). Подставляя их в уравнения движения трансверсально изотропной среды, получим в проекциях на оси координат три волновых уравнения, дающих в качестве решения одну продольную волну со скоростью с~ и две поперечные волны со скоростями сз и сз.
Глава б. Теория упругости Интегрируя его, получим р,В'1 (с = — е т(" ") [Ав)пд(сй — г) + Всов(с( — г)) — ), г где с,, )г г г Д=~( — — 1у, у=2 —, сг — — —. =~)(сг = Вс '= р Для определения констант А и В используют начальные условия й(и и = О, — = О, р„= О при й = О. й При решении удобно воспользоваться переменной ~ = сй — (г — Н): оз сс = — — 1 — е тй — гйп(3~+ совЯ 28.91 Воспользуемся представлением вектора перемещения в виде ю = ю(') + ю(г), где гойю(') = О, Йч ю(г) = О, слл. задачу 28.85. В данной плоской задаче зто означает дю дюя дю дю„ (г) (г) (й) (й) + = О, — = О.
(0.28.2) дя др ' ду дя Каждая из компонент удовлетворяет своему волновому уравнению дгю(а) дгю(а) дг (а) 1д. а = .дг72~рр, „= „'~7р —,,р„.„,р,д„„,„, и поперечных волн. Решение ищем в виде ю( ) = ( е'(ь д —— л() ~~ Функции ~, (д) удовлетворяют уравнению (а) ,(гу( ), г (а) Так как нас интересует решение, затухающее при у — ~ — со, то знак козффициента в уравнении должен быть положительным огг г й' — —,= ',>О, й'-" —,= ',>О. (О.гВ.З) сг г — г !'ешение имеет вид ю(са) = Ааехр(гсау+((кх — юй)), ю(а) = Ваехр(гсау+((кз — юй)).
28. Линейная теория упругости 297 Для определения четырех констант А, В воспользуемся условиями (0.28.2) и граничными условиями на свободной поверхности р„„= р „= О при у = О. Задача разрешима, если между 1о и к имеется соотношение которое называется уравнением Рэлея. Это кубическое уравнение относительно величины и2/Й2 = с2 = т з /3 2Л а/1 2Л Ф(т) = т — 8сзт + 8с [ — — — ) т — 1бс ( — — — ) = О. 2 ~,г2 с2) 2(с2 с2) '2 1 2 1 Согласно условиям 10.28.3) величина с2 может принимать значения лишь в пределах О < с2 < с22. Кубическое уравнение имеет на этом отрезке вещественный корень, т. к. П1(0) < О, пр(с~~) > О, и притом только один, т. к.
в этом диапазоне ~'(т) не имеет корней. Если 1с и о1 вещественны, то с = ь2/к — скорость распространения волны вдоль оси я. Доказано, что поверхностная волна (волна Рзлея) существует, ее скорость с < с2 < с1 и она не обладает дисперсией. 28,92 Используем решение задачи 28.91. Константы А„и В найдем из условий на свободных границах р„„= р „= О при 9 = ~6. Для скорости с = о2/к получается уравнение С1 2 а) Л» 6, т. е.
тЬ « 1, и6 « 1 (длинные волны). Уравнение принимает вид т 492 от и (т2+ ь2)2 и имеет два решения с' =с2= — и с =2с2 1 — — 2= р с, р(1 — и) где с(1) равна скорости волны сдвига; с(2) равна скорости продольной волны в пластине. б) Л « 11 (короткие волны). Уравнение для скорости 4й~~~ = (т2+ к~)2 совпадает с уравнением Рэлея, см. задачу 28.91, и с = ср„„. 299 Глава 6. Теория упругости 29. Нелинейная теория упругости дУ 29.1 ны = — (б,~+ Г,юя). дг,~ 29.2 Относительное изменение обьема определяется формулой, см.
я 3, — 1 ! где 2( 1 )' 11 =йя, л 29.3 Функция свободной энергии имеет вид РоУ( б) = -'ЛУ1'+РУ, +дУ,У, + ТУз+ цУз, 2 где 3 — нос 1 — е., А =сь, л 'Уз — н зс о 29,4 Упругий потенциал для среды Мурнагана имеет вид РоУ = — А1 + РУг + РА Аз + 7 1з + 911 Л 2 з где /м,1з, 1з — инварианты тензора деформаций с,. в лагранжевом базисе начального состояния, см. предыдущую задачу. Система координат в начальном недеформированном состоянии выберем декартовой прямоугольной. Компоненты кы для среды Мурнагана найдем по формулам дРоУ Яы = (блв+ ~абел), де;у ны = (Л + 2и)и + Заи + — Ь(из + из), н„,„= Ли + (- Л + Р + Зц) и + — (Л + 11) (и~ ~+ из) + (Р + — -«) и~, 3 н1„— — Рио + (Р + д + — у) иио, но1 — — Ри + бии . 2 с, — компоненты деформации в начальном лагранжевом базисе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
